Bartlett-kritérium

A Bartlett - teszt egy statisztikai teszt , amely lehetővé teszi több (két vagy több) minta varianciáinak egyenlőségének ellenőrzését . A nullhipotézis azt feltételezi, hogy a szóban forgó mintákat ugyanolyan szórással rendelkező populációkból vettük.

A Bartlett-teszt parametrikus , és azon a további feltételezésen alapul, hogy az adatminták normálisak . Ezért a Bartlett-teszt alkalmazása előtt javasolt normalitástesztet végezni . A Bartlett-teszt nagyon érzékeny ennek a feltevésnek a megsértésére.

Előnyök :

a minták mérete eltérő lehet (ez az előnye a Cochran-kritériumhoz képest ),
Bartlett kritériuma eltéréseket tár fel, mind a legnagyobbak, mind a legkisebbek felé ;

Hátrányok :

számítási bonyolultság ( a Cochran-kritérium kevesebb számítási költséget igényel. Ez különösen igaz a kézi számítások esetében),
az egyes minták méretének háromnál nagyobbnak kell lennie ,
a kritérium nagyon érzékeny a kiindulási adatok eloszlási törvényének normalitásáról szóló feltevés megsértésére .

Mintaproblémák – A Bartlett-kritérium alkalmazása

Példa 1. A Bartlett-teszt használható segédeszközként – például más statisztikai teszt ellenőrzésekor , amely a varianciaegyenlőséget használja. Például a Bartlett-kritérium használható segédanyagként az analitikai kémiában [1] . Laboratóriumközi kísérletek lefolytatása során egyfajta probléma merül fel, amikor egy mintát több laboratóriumban elemeznek, majd az eredményeket feldolgozzák és összesítik. Így általában különböző méretű minták vannak. Össze kell hasonlítani a kapott minták átlagértékeit . Ehhez először meg kell győződnie arról, hogy az eltérések egyenletesek a Bartlett-teszt segítségével. Ha a szórások heterogének, akkor az átlagok összehasonlítása nem végezhető el. $k$

2. példa Egy bizonyos termék méretét megmérjük. Összességében ( ) mérésekből álló kísérletsorozatot hajtanak végre. Ebben az esetben a mérések sorozata különböző kísérletezőknek tulajdonítható, különböző mérési technikák alkalmazhatók. Az eloszlás normalitási feltételezésének teljesülése mellett szükséges a minták összehasonlítása a variancia homogenitása szempontjából. $k$ $n_{i}$ $i=1,...,k$

3. példa [2] A csatornakapacitás monitorozásának eredményei alapján a különböző tesztelési napokon rendezett mintákat képeztünk. Adott szignifikanciaszinten ellenőrizni kell a minták homogenitását. $\alpha$

Megjegyzések :

Az eltérések homogenitásának ellenőrzése során végzett számításokhoz a legnehezebb eset az, amikor a mintaszórásokat nem egyenlő méretű mintákból kaptuk, vagy az előzetes feldolgozás eredménye alapján a hiányzóként elismert értékeket kizártuk az adatokból. Ekkor javasolt a Bartlett-kritérium alkalmazása.
Ennek a kritériumnak a számítási bonyolultsága miatt a gyakorlatban esetenként megpróbálnak lemondani róla, ha lehetséges.

Kritérium leírása

Mindegyik ( ) méretű minta található . — j-edik érték (mérés) az i-edik sorozatban. A minta szórásait és a szórások mintabecsléseit rendre és -vel jelöljük . $k$ $x_{1}^{n_{1}},...,x_{k}^{n_{k}}$ $n_{i}$ $i=1,...,k$ ${\displaystyle X_{ji))$ ${\displaystyle \sigma _{i}^{2))$ ${\displaystyle s_{i}^{2))$

További javaslatok

$x_{1}^{n_{1}},...,x_{k}^{n_{k}}$ A minták normálisak . A Bartlett-kritérium nagyon érzékeny a vizsgált valószínűségi változók normális eloszlásától való eltérésekre. Ha nincs bizalom az eloszlás normalitásában, akkor nem ajánlott használni. És az összes minta azonos mennyiségével a Bartlett-teszt helyett jobb a Cochran-tesztet használni .

Null hipotézis

A Bartlett-teszt azt a hipotézist $H_{0}$ teszteli , hogy az összes minta szórása azonos. $k$

H_{0}:\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=...=\sigma _{k}^{2}

Alternatív hipotézis $H_1$ : legalább két minta van és ( ) eltérésekkel. $én$ $j$ $i \neq j$

{\displaystyle H_{1}:\sigma _{i}^{2}\neq \sigma _{j}^{2))

(egyeseknek ).

i \neq j

Bartlett statisztikája

A Bartlett-teszt statisztikáit a következő összefüggés alapján számítjuk ki:

T={\frac {M}{c))

Itt

M=(Nk)\cdot \ln(s_{p}^{2})-\sum _{i=1}^{k}(n_{i}-1)\cdot \ln(s_{ i}^{2})

c=1+{\frac {1}{3\cdot (k-1)}}\cdot \left(\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {1} {n_{i}-1}}\jobbra)-{\frac {1}{(Nk)))\jobbra)

ahol és az eltérések teljes becslése, ${\displaystyle N=\sum _{i=1}^{k}n_{i))$ $s_{p}^{2}={\frac {1}{Nk}}\sum _{i=1}^{k}(n_{i}-1)\cdot s_{i}^{ 2}$

s_{i}^{2}={\frac {1}{n_{i}-1}}\sum \limits _{j=1}^{n_{i}}\left(X_{ji }-{\bar {X_{i}}}\jobbra)^{2}

{\bar {X_{i}}}={\frac {1}{n_{i}}}\sum _{j=1}^{n_{i}}\mathrm {X} _{ji }

A nullhipotézis mikor és érvényessége, a Bartlett-teszt statisztikájának khi-négyzet eloszlása van (k-1) szabadságfokkal. $n_{i}>3\;(i=1,...,k)$ ${\displaystyle \chi _{k-1}^{2))$

Kritérium ( szignifikancia szinten ) $\alpha$

Ha , akkor szignifikancia szinten a nullhipotézist elvetjük az alternatíva javára . Itt van egy khi-négyzet eloszlási kvantis (k-1) szabadságfokkal. ${\displaystyle T>\chi _{k-1,\alpha }^{2))$ $\alpha$ $H_{0}$ $H_1$ ${\displaystyle \chi _{k-1,\alpha }^{2))$

Megjegyzés

A normalitástól való eltérés esetén a statisztika helyett annak módosítását javasoljuk: $T$

T^{*}={\frac {f_{2}\cdot M}{f_{1}\cdot \left({\frac {f_{2}^{2)){f_{2}( 2-c)+c}}-M\jobbra)}}

ahol ,. _ $f_{1}=k-1$ ${\displaystyle f_{2}={\frac {k+1}{(c-1)^{2))))$

A statisztikának van -eloszlása szabadságfokkal és -fokkal . Ezért a nullhipotézist el kell utasítani, ha . $T^{*}$ $F$ $f_1$ $f_{2}$ $T^{*}>F_{\alpha }(f_{1},f_{2})$

Irodalom

Kobzar AI alkalmazott matematikai statisztika. — M.: Fizmatlit, 2006. — 816 p.
B.Yu. Lemeshko, E.P. Mirkin. Bartlett és Cochran kritériumai a normáltól eltérő valószínűségi törvényekkel kapcsolatos mérési problémákban // Izmeritelnaya tekhnika . - 2004. - T. 10. sz. - P. 10-16.
G.B. Khodasevich. Kísérleti adatok feldolgozása számítógépen . Archiválva : 2012. július 1. a Wayback Machine -nél

Lásd még

Linkek

Jegyzetek

↑ Az ANOVA alkalmazása az analitikai kémiában . Letöltve: 2019. február 9. Az eredetiből archiválva : 2019. február 10. (határozatlan)
↑ Hasonló kísérleti adatminták feldolgozása (elérhetetlen link) . Letöltve: 2013. június 25. Az eredetiből archiválva : 2013. június 25.. (határozatlan)