Konstruktív bizonyíték

A konstruktív bizonyítás olyan bizonyítás , amelyben egy matematikai objektum létezését közvetlen konstrukcióval igazolják – szemben a nem konstruktív bizonyítással (más néven tiszta létezési tétel ), amely bizonyos tulajdonságokkal rendelkező objektum létezését bizonyítja anélkül, hogy megadná. konkrét példa.

A konstruktív matematika mindent elutasít, kivéve a konstruktív bizonyítást. Ez az elfogadható bizonyítási módok korlátozásához vezet (különösen a kizárt középső törvény nem használatos), valamint a kifejezések eltérő értelmezéséhez. Például a „vagy” kifejezés erősebb jelentéssel bír a konstruktív matematikában, mint a klasszikus matematikában.

Néha az "effektív bizonyíték" kifejezést használják [1] .

Példák

Prímszámok végtelensége

Először is nézzük meg azt a tételt, hogy végtelen számú prímszám van . Eukleidész bizonyítása építő jellegű.

Ennek a bizonyításnak az általános leegyszerűsítése azonban, amely abból a feltételezésből ered, hogy csak véges számú prím van, ellentmondásos, nem konstruktív.

Nem konstruktív bizonyítás

Tegyük fel, hogy M a legnagyobb prímszám. Akkor M! A + 1 nem osztható egyik elérhető prímmel sem, ezért egy új prím.

Konstruktív bizonyíték

Vegyünk egy prímszámot, például a 1 = 2 . Építünk egy sorozatot a 2 = 2! + 1 , a 3 = a 2 ! + 1 stb. Ezek a számok prímszámok lesznek.

Az irracionális mértéke az irracionális

Most nézzük meg a tételt

Vannak irracionális és racionális számok . _ $a$ $b$ $a^{b}$

Ez a tétel konstruktívan és nem konstruktívan is bizonyítható.

Nem konstruktív bizonyítás

Dov Jarden következő, 1953-ból származó bizonyítását legalább 1970 óta széles körben használják a nem konstruktív bizonyításra [2] .

Ne feledje, ez irracionális . Vegye figyelembe, hogy racionális vagy irracionális. Ha racionális, akkor a tétel igaz, és -vel . Ha irracionális, akkor a tétel igaz, együtt és mivel ${\sqrt {2}}$ ${\sqrt {2}}^{{{\sqrt {2}}}}$ ${\sqrt {2}}^{{{\sqrt {2}}}}$ $a={\sqrt {2}}$ $b={\sqrt {2}}$ ${\sqrt {2}}^{{{\sqrt {2}}}}$ $a={\sqrt {2}}^{{{\sqrt {2}}}}$ $b={\sqrt {2}}$

({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}})^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{2}=2

Ez a bizonyítás nem építő jellegű, mert azon az állításon alapul, hogy bármely szám racionális vagy irracionális. Ez egy példa a kizárt középső törvény alkalmazására , amely konstruktív bizonyítás esetén nem érvényes.

Megjegyzendő, hogy a nem konstruktív bizonyítás nem ad példát az és -re; csak néhány lehetőséget ad (jelen esetben kettőt), és megmutatja, hogy ezek közül az egyik a kívánt példa, de nem mondja meg, hogy melyik. $a$ $b$

Valójában a Gelfond-Schneider tétel szerint irracionális , de ennek a ténynek semmi köze a fenti nem konstruktív bizonyítás érvényességéhez. ${\sqrt {2}}^{{{\sqrt {2}}}}$

Konstruktív bizonyíték

Hadd

a={\sqrt {2)),\quad b=\log _{2}9,\quad {\text{then))\quad a^{b}=3.

Mindkét szám irracionális; a négyzetgyöke 2 -nek és ha , akkor , ami lehetetlen, mivel az első szám páratlan, a második páros. $a$ $b={\tfrac {m}{n))$ ${\displaystyle 3^{2\cdot n}=2^{m))$

Lásd még

Jegyzetek

↑ A gyakorlat az igazság kritériuma a tudományban. - M . : Társadalmi-gazdasági Irodalmi Kiadó, 1960. - 151. o.
↑ Dov Jarden. Egyszerű bizonyíték arra, hogy egy irracionális szám hatványa egy irracionális kitevőhöz racionális lehet // Scripta Mathematica. - 1953. - Nem. 19 . - 229. o .