Véglegesen generált modul

Az asszociatív gyűrűn végesen generált modul olyan modul , amelyet véges számú eleme generál. Például a jobb oldali modulnál ez azt jelenti, hogy van egy véges elemhalmaz, így a -ból származó bármely elem ábrázolható összegként , ahol a gyűrű néhány eleme található . $M$ $A$ $m_{1},m_{2},\ldots ,m_{n}\in M$ $M$ $m_{1}a_{1}+m_{2}a_{2}+\lpont +m_{n}a_{n}$ $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\in A$ $A$

A véges generálással szorosan összefüggő tulajdonságok között vannak végesen reprezentált, véges összekapcsolt és koherens modulok. Egy Noether-gyűrű felett mind a négy tulajdonság egyenértékű.

A mező felett végesen generált modulok pontosan véges dimenziós vektorterek.

Tulajdonságok

Egy homomorfizmus alatti véges generált modul képe is végesen generálódik. Általánosságban elmondható, hogy egy végesen generált modul almoduljai nem feltétlenül végesen generáltak. Vegyük például a polinomok R = Z [ x 1 , x 2 …] gyűrűjét végtelen számú változóban. Ez a gyűrű végesen generálódik R -modulként. Tekintsük annak almodulját (azaz ideálisat ), amely minden olyan polinomból áll, amelynek állandó nulla együtthatója van. Ha ennek a modulnak véges generáló halmaza lenne, akkor minden x i monomnak szerepelnie kellene ennek a halmaznak valamelyik polinomjában, ami lehetetlen.

Egy modult Noetherian -nak nevezünk, ha bármely almodulja végesen előáll. Sőt, egy Noether-gyűrű feletti modul akkor és csak akkor jön létre, ha az Noether-gyűrű.

Legyen 0 → M′ → M → M′′ → 0 a modulok pontos sorozata . Ha itt M′ és M′′ véges, akkor M is véges. Bizonyos állítások is igazak, részben ezzel ellentétesek. Ha M végesen generált, és M'' végesen reprezentált (ez erősebb feltétel, mint véges generálás, lásd alább), akkor M′ végesen generálódik.

A kommutatív algebrában bizonyos kapcsolat van a véges generáltság és az egész elemek között . Az A kommutatív algebrát R felett végesnek nevezzük R felett, ha létezik olyan véges elemhalmaz, hogy A az A legkisebb részgyűrűje , amely R - t és ezeket az elemeket tartalmazza. Ez gyengébb feltétel, mint véges generálás: például az R [ x ] polinomiális algebra végesen generált algebra, de nem végesen generált modul. A következő állítások egyenértékűek az [1]-vel :

A egy végesen generált modul;
A egy véges generált algebra, amely R teljes kiterjesztése .

Finoman bemutatott, véges összekapcsolt és koherens modulok

A végesen generált tulajdonság a következőképpen fogalmazható meg: a végesen generált M modul olyan modul, amelyre van epimorfizmus

f : R k → M .

Tekintsük most az epimorfizmust

φ : F → M

szabad F modulból M -be .

Ha a φ epimorfizmus magja végesen generált, akkor M -et véges kapcsolt modulnak nevezzük . Mivel M izomorf az F /ker(φ)-re, ez a tulajdonság a következőképpen fejezhető ki: M -et egy szabad modulból kapunk véges számú reláció hozzáadásával .
Ha a φ epimorfizmus magja véges, és F rangja véges, akkor M -et végesen bemutatott modulnak nevezzük . Itt M -nek véges számú generátora (az F generátorok képei ) és véges számú relációja van (a ker(φ) generátorok).
A koherens modul egy végesen generált modul, amelynek minden véges generált almodulja végesen van ábrázolva.

Ha az R földgyűrű Noether -féle , akkor mind a négy feltétel egyenértékű.

Bár a koherencia feltétel "nehézkesebbnek" tűnik, mint a véges összefüggő és reprezentált feltételek, azért is érdekes, mert a koherens modulok kategóriája Abel -féle , ellentétben a véges generált vagy végesen bemutatott modulok kategóriájával.

Lásd még

Jegyzetek

↑ Kaplansky, 1970 , 17. tétel, p. tizenegy.

Irodalom

Atiyah M., McDonald I. . Bevezetés a kommutatív algebrába. - M . : Factorial Press, 2003. - ISBN 5-88688-067-4 .
Bourbaki, Nicolas. . Kommutatív algebra. fejezetek 1-7. Franciából fordítva. Az 1989-es angol fordítás utánnyomása. - Berlin: Springer-Verlag, 1998. - xxiv + 625 p. - (Matematika elemei). — ISBN 3-540-64239-0 .
Kaplansky, Irving. . kommutatív gyűrűk. - Boston: Allyn and Bacon Inc., 1970. - x + 180 p.
Lam T.Y. Előadások modulokról és gyűrűkről. - Springer-Verlag, 1999. - (Diplomás szövegek matematikából. 189. sz.). — ISBN 978-0-387-98428-5 .
Lang, Serge. . Algebra. 3. kiadás - Addison-Wesley , 1997. - ISBN 978-0-201-55540-0 .