Petrov osztályozása

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. október 3-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

A Petrov-osztályozás (néha a Petrov-Pirani osztályozás , ritkán a Petrov-Pirani-Penrose osztályozás ) a Weil-tenzor lehetséges algebrai szimmetriáit írja le minden eseményre egy pszeudo-Riemann-féle sokaságon .

Ezt az osztályozást használják legaktívabban az Einstein-egyenletek egzakt megoldásainak tanulmányozásában , bár általában véve ez egy absztrakt matematikai eredmény, amely nem függ semmilyen fizikai értelmezéstől. A besorolást először 1954 - ben A. Z. Petrov , 1957-ben pedig egymástól függetlenül Felix Pirani javasolta .

Az osztályozási tétel

Egy 4. rangú tenzor antiszimmetriával az első és második indexpárban, például a Weil-tenzor a sokaság minden pontjában lineáris operátorként ábrázolható : a bivektorok vektorterében működik : $C$ $T_{{p}}\times T_{{p}}\jobbra T_{{p}}\times T_{{p}}$

X^{{ab}}\rightarrow {\frac {1}{2}}\,{C^{{ab}}}_{{mn}}X^{{mn}}

Ebben az esetben természetes, hogy felvetjük a sajátértékek és sajátvektorok (vagy sajátbivektorok ) megtalálásának problémáját úgy, hogy $\lambda$ $X^{{ab}}$

{\frac {1}{2}}\,{C^{{ab}}}_{{mn}}\,X^{{mn}}=\lambda \,X^{{ab}}

A négydimenziós pszeudo-Riemann-féle sokaságban minden pontban a bivektorok tere hatdimenziós. A Weyl-tenzor szimmetriái azonban négyre korlátozzák a sajátbivektorok terét. Így a Weil-tenzor egy adott pontban legfeljebb négy lineárisan független sajátbivektorral rendelkezhet.

Csakúgy, mint a lineáris operátor szokásos sajátvektor-elméletében , a Weyl-tenzor sajátbivektorai többszörösek is lehetnek. A sajátbivektorok sokasága a Weyl-tenzor további algebrai szimmetriáját jelzi egy adott pontban; ez azt jelenti, hogy a Weyl-tenzor szimmetriatípusa egy 4. rendű egyenlet megoldásával határozható meg sajátértékeire.

A Weyl-tenzor sajátbivektorai bizonyos izotróp vektorokhoz kapcsolódnak a sokaságon, amelyeket fő izotróp irányoknak (egy adott pontban) nevezünk. Az osztályozási tétel kimondja, hogy az algebrai szimmetriának pontosan hat lehetséges típusa van, amelyeket Petrov-típusoknak nevezünk :

I. típus : négy fő izotróp irány,
II. típus : egy kettős és két egyetlen fő izotróp irány,
D típus : két kettős izotróp irány,
III. típus : egy hármas és egy egyszeri áttétel,
N típus : egy izotróp irány 4-es multiplicitással,
O típus : A Weyl-tenzor nulla.

Az I. típusú Weyl-tenzort (egy ponton) algebrailag általánosnak mondjuk ; más típusú tenzorokat algebrailag speciálisnak nevezzük . A téridő különböző pontjai eltérő Petrov típusúak lehetnek. A Petrov-típusok közötti lehetséges átmeneteket az ábra mutatja, ami úgy is értelmezhető, hogy egyes Petrov-típusok különlegesebbek , mint mások. Például az I. típus , a leggyakoribb típus, degenerálódhat II. vagy D. típusba , míg a II. típus III. , N. vagy D. típusba .

Bel kritériumai

Egy pszeudo-Riemanni (Lorentzi-féle) sokaság esetén a Weyl-tenzor a metrikus tenzorból számítható ki . Ha egy ponton a Weil-tenzor algebrailag speciális , akkor létezik egy hatékony szabálykészlet (Luis Bel fedezte fel) a Petrov-típus meghatározására a ponton . Jelölje a Weyl-tenzor összetevőit egy pontban (és tegyük fel , hogy nem nullák, azaz nem O típusú ), akkor a Behl-kritérium a következőképpen fejezhető ki: $M$ $p\in M$ $p$ $p$ $C_{{abcd}}$

$C_{{abcd}}$ akkor és csak akkor N típusú , ha létezik olyan egyedi (egy faktorig terjedő) izotróp vektor , amely kielégíti $k(p)$

C_{{abcd}}\,k^{d}=0

Ha nem tartozik az N típusba , akkor akkor és csak akkor tartozik a III -as típusba , ha létezik egyedi (egy tényezőig) kielégítő izotróp vektor. $C_{{abcd}}$ $C_{{abcd}}$ $k(p)$

C_{{abcd}}\,k^{b}k^{d}=0

$C_{{abcd}}$ akkor és csak akkor II -es típusú , ha létezik olyan egyedi (legfeljebb egy faktoros) izotróp vektor , amely kielégíti $k$

C_{{abcd}}\,k^{b}k^{d}=\alpha k_{a}k_{c}

és ( )

{}^{*}C_{{abcd}}\,k^{b}k^{d}=\beta k_{a}k_{c}

\alpha \beta \neq 0

$C_{{abcd}}$ akkor és csak akkor D típusú , ha van két lineárisan független , izotróp vektor , amelyek kielégítik a feltételeket: $k$ $k'$

C_{{abcd}}\,k^{b}k^{d}=\alpha k_{a}k_{c}

, ( )

{}^{*}C_{{abcd}}\,k^{b}k^{d}=\beta k_{a}k_{c}

\alpha \beta \neq 0

és

C_{{abcd}}\,k'^{b}k'^{d}=\gamma k'_{a}k'_{c}

, ( ).

{}^{*}C_{{abcd}}\,k'^{b}k'^{d}=\delta k'_{a}k'_{c}

\gamma \delta \neq 0

hol van a Weil-tenzor duálisa a pontban . ${{}^{*}C}_{{abcd}}$ $p$

Az általános relativitáselméletben a Bel-kritériumot használják, vagyis az algebrailag speciális Weyl-tenzor Petrov-típusát nulla vektorok segítségével találjuk meg.

Fizikai értelmezés

Az általános relativitáselmélet szerint Petrov algebrailag speciális típusainak érdekes fizikai értelmezése van, ezért osztályozásukat gyakran nevezik gravitációs mezők osztályozásának .

A D típusú mezőrégiók az elszigetelt hatalmas égitestek, például csillagok gravitációs mezőihez kapcsolódnak. Pontosabban, a D típusú mezők olyan álló objektumok körül keletkeznek, amelyeknek fizikai jellemzője csak a tömeg és a szögimpulzus. (Egy összetettebb dinamikus testnek nullától eltérő többpólusú nyomatéka van .) A két fő izotróp irány két "sugárirányban" konvergáló és széttartó izotróp családot határoz meg a gravitációs test közelében.

Az elektrogravitációs tenzor (vagy dagálytenzor ) a D -típusú régiókban analóg a gravitációs mezőkkel, amelyeket a newtoni gravitáció ír le Coulomb - típusú gravitációs potenciállal . Az ilyen árapály-mezőt az egyik irányú kiterjedés és az ortogonális irányú összenyomás jellemzia sajátértékek jellegzetes mintázattal rendelkeznek (-2,1,1). Például a Föld körül keringő műhold enyhe radiális tágulást és enyhe ortogonális tömörítést tapasztal. A newtoni gravitációhoz hasonlóan az árapály-mező -val csökken, ahol a gravitációs test távolsága. $O(r^{{-3}})$ $r$

Ha a test valamilyen tengely körül forog, akkor az árapály-hatások mellett különböző gravitomágneses hatások is megjelennek , mint például a megfigyelő giroszkópjain ható spin-spin kölcsönhatás . A Kerr vákuumban , amely a D típusú vákuumtér tipikus példája , a mezőnek ez a része , mint . $O(r^{{-4}})$

A III -as típusú régiók az időben változó gravitációs tér (néha longitudinális gravitációs sugárzásnak) hosszirányú részéhez kapcsolódnak. Ezeken a területeken az árapály-erők eltolódás jellegűek. Ez egy meglehetősen kevéssé vizsgált tértípus, részben azért, mert a gyenge térközelítésben fellépő gravitációs sugárzás N típusú , mivel a III -as típusú mező -val , azaz sokkal gyorsabban csökken, mint az N típusú sugárzás , és ennek megfelelően nem. hagyja el a forrást. $O(r^{{-2}})$

Az N-típusú régiók a keresztirányú gravitációs sugárzáshoz kapcsolódnak , amelyet a csillagászok 2015-ben észleltek . A négyszeres izotróp irány a sugárzás terjedésének irányát leíró hullámvektornak felel meg . A sugárzási amplitúdó általában csökken , így a távoli forrás gravitációs tere mindig sugárzó és N típusú . $O(r^{{-1}})$

A II . típus meglehetősen összetett, nemlineáris módon kombinálja a D , III és N típusú mezők hatásait.

Az O típusú vagy konform euklideszi régiók olyan zónák, amelyekben a Weil-tenzor azonos nullával. Ebben az esetben a görbületi tenzor tiszta Ricci . A konform euklideszi régiókban a gravitációs hatások csak az anyag vagy valamilyen nem gravitációs mező (például elektromágneses tér ) energiájának pillanatnyi jelenléte miatt lépnek fel . Bizonyos értelemben ez azt jelenti, hogy a távoli objektumok nem befolyásolják az ezen a területen zajló eseményeket; pontosabban, ha van némi gravitációs dinamika a távoli régiókban, akkor az erről szóló hír még nem érte el a vizsgált konformális euklideszi zónát.

Az izolált rendszer által kibocsátott gravitációs tér, és ezen keresztül a gravitációs sugárzás általában nem lesz algebrailag különleges a forrástól való véges távolságban. A felosztási tétel leírja, hogy a különböző típusú mezők hogyan "hasadnak le", amikor a megfigyelő távolodik a sugárforrástól, amíg csak az N típusú sugárzás marad nagy távolságban . Hasonló tétel létezik az elektromágnesességben is.

Példák

Az Einstein-egyenletek néhány pontos megoldásához a Weyl-tenzor minden világpontban azonos típusú :

a Kerr-metrika vákuumban D típusú ,
Robinson-Trautman tér – III. típusú ,
a pp-wavesN típusú,
a Friedman-Robertson-Walker metrika mindenhol O típusú .

Általában egy tetszőleges gömbszimmetrikus téridőnek algebrailag speciálisnak kell lennie, és bármely statikus téridőnek D típusúnak kell lennie .

Irodalom

A relativitáselmélet szakaszból archiválva : 2007. július 14. a Wayback Machine at the World of Mathematical Equations - EqWorld Archivált 2008. október 3-án a Wayback Machine -n :