Konjugácia osztály

A konjugált osztály a csoport elemeinek halmaza, amely egy adotthoz konjugált elemekből alakul ki , vagyis a forma összes eleme , ahol a csoport tetszőleges eleme . $G$ $g\in G$ $hgh^{{-1}}$ $h$ $G$

Egy elem konjugáltsági osztályát , vagy -vel jelölhetjük . $g\in G$ $[g]$ $g^{G}$ ${\mathrm {Cl}}(g)$

Definíció

Az elemeket és csoportokat konjugáltnak nevezzük, ha van olyan elem , amelyhez . A konjugáltság egy ekvivalencia reláció , ezért ekvivalenciaosztályokra oszlik , ez különösen azt jelenti, hogy a csoport minden eleme pontosan egy konjugáltsági osztályba tartozik, és az és osztályok akkor és csak akkor esnek egybe , ha és konjugáltak , és más módon nem metszik egymást. . $g_{1}$ $g_{2}$ $G$ $h\in G$ $hg_{1}ó^{{-1}}=g_{2}$ $G$ $[g_{1}]$ $[g_{2}]$ $g_{1}$ $g_{2}$

Jegyzetek

A konjugált osztályokat úgy is meghatározhatjuk, mint egy csoport önmagára gyakorolt hatásának pályáit az [1] képlettel megadott konjugációkkal . $(g,m)=gmg^{{-1}}$

Példák

A három elem mind a hat permutációjából álló szimmetrikus csoportnak három konjugáltsági osztálya van: $S_{3}$
- a sorrend nem változik ( , "1A"), $abc\to abc$
- két elem permutációja ( , , , "3A"), $abc\to acb$ $abc\to bac$ $abc\to cba$
- mindhárom elem ciklikus permutációja ( , , "2A"). $abc\to bca$ $abc\to cab$

A négy elem mind a 24 permutációjából álló szimmetrikus csoportnak öt konjugáltsági osztálya van: $S_4$
- a sorrend nem változik (1 permutáció): , "1A" vagy "(1) 4 "; $\{\{1,2,3,4\}\}$
- két elem permutációja (6 permutáció): , "6A" vagy "(2)"; $\{\{1,2,4,3\},\{1,4,3,2\},\{1,3,2,4\},\{4,2,3,1\}, \{3,2,1,4\},\{2,1,3,4\}\}$
- három elem ciklikus permutációja (8 permutáció): , "8A" vagy "(3)"; $\{\{1,3,4,2\},\{1,4,2,3\},\{3,2,4,1\},\{4,2,1,3\}, \{4,1,3,2\},\{2,4,3,1\},\{3,1,2,4\},\{2,3,1,4\}\}$
- mind a négy elem ciklikus permutációja (6 permutáció): , "6B" vagy "(4)"; $\{\{2,3,4,1\},\{2,4,1,3\},\{3,1,4,2\},\{3,4,2,1\}, \{4,1,2,3\},\{4,3,1,2\}\}$
- páronkénti permutáció (3 permutáció): , "3A" vagy "(2)(2)". $\{\{2,1,4,3\},\{4,3,2,1\},\{3,4,1,2\}\}$

Általános esetben egy szimmetrikus csoportban a konjugált osztályok száma megegyezik a szám partícióinak számával , mivel minden konjugált osztály pontosan a ciklusokba való permutáció egy partíciójának felel meg . $S_{n}$ $n$ $\{1,2,\pontok ,n\}$

Tulajdonságok

A semleges elem mindig saját osztályt alkot $[e]=\{e\}$
Ha Abel , akkor , tehát a csoport minden elemére. $G$ $\forall {g,h\in G}\ghg^{-1}=h$ $[g]=\{g\}$
Ha két elem vagy csoport ugyanabba a konjugáltsági osztályba tartozik, akkor azonos sorrendűek . $g_{1}$ $g_{2}$ $G$
- Általánosabban fogalmazva, minden csoportelméleti állítás egy elemről egyenértékű egy elemre vonatkozó kijelentéssel , mivel a konjugáció a csoport
automorfizmusa . $\malac)$ $g\in G$ $h\in[g]$ $x\to xgx^{{-1}}$ $G$

Egy elem akkor és csak akkor van a középpontban , ha konjugált osztálya egyetlen elemből áll: .

g\in G

Z(G)

[g]=\{g\}

Általánosabban: egy részcsoport ( egy adott elem

központosítója ) indexe megegyezik a konjugált osztály elemeinek számával ( az pályastabilizációs tétel szerint ).

Z_{G}(g)

g

[g]

Ha a és konjugált, akkor a és a képességeik is konjugáltak .

g_{1}

g_{2}

g_{1}^{k}

g_{2}^{k}

A csoport bármely elemére a konjugált osztály elemei egy az egyhez megfelelnek a központosító konjugált osztályainak , sőt, ha , akkor néhány esetén, ami ugyanahhoz a konjugált elemhez vezet: . Különösen: $g\in G$ $[g]$ $Z_{G}(g)$ $h_{1}\in [h_{2}]$ $h_{1}=h_{2}z$ $z\in Z_{G}(g)$ $h_{1}gh_{1}^{-1}=h_{2}zg(h_{2}z)^{-1}=h_{2}zgz^{-1}h_{2}^ {-1}=h_{2}zz^{-1}gh_{2}^{-1}=h_{2}gh_{2}^{-1}$
- Ha véges
csoport , akkor a konjugált osztály elemeinek száma a központosító indexe . $G$ $[g]$ $[G:Z_{G}(g)]$
Az egyes konjugált osztályok sorrendje a csoport sorrendjének osztója.

A csoport sorrendje az egyes konjugált osztályokból kiválasztott képviselő centralizáló indexeinek összege: . Figyelembe véve, hogy egy csoport centralizálója egyetlen elemből (magából) alkot konjugált osztályt, ezt a konjugáltsági osztályok egyenletének [2] nevezett összefüggést a következőképpen írjuk le:

GI

|G|=\Sigma {_{i}}[G:Z_{G}(g_{i})]

Z(G)

|G|=|Z(G)|+\Sigma {_{i}}[G:Z_{G}(g_{i})]

ahol az összeget átveszik az egyes konjugálati osztályok összes képviselője, akik nem tartoznak a központba.

Például legyen adott egy véges -csoport (vagyis egy olyan csoport, amelynek sorrendje , ahol egy prímszám és ). Mivel bármely konjugált osztály sorrendjének fel kell osztania a csoport sorrendjét, minden konjugált osztálynak van egy bizonyos hatványával egyenlő sorrendje ( ), majd a konjugált osztályok egyenletéből az következik, hogy: $p$ $G$ $p^{n}$ $p$ $n>0$ $Szia$ $p^{{k_{i}}}$ $0<k_{i}<n$

|G|=p^{n}=|Z(G)|+\Sigma {_{i}}p^{{k_{i}}}

, ez viszont azt jelenti, hogy a számnak osztania kell , így minden véges -csoportra, vagyis a konjugált osztályok egyenlete lehetővé teszi annak megállapítását, hogy bármely véges -csoportnak van nem triviális középpontja.

p

|Z(G)|

|Z(G)|>1

p

p

Az útvonalhoz kapcsolódó topológiai tér alapcsoportjában lévő konjugáltsági osztályok szabad homotópia alatt szabad hurkok ekvivalenciaosztályainak tekinthetők .

Változatok és általánosítások

Egy tetszőleges részhalmaz (nem feltétlenül alcsoport) esetén a részhalmazt konjugáltnak nevezzük , ha van olyan elem , hogy . Ebben az esetben a konjugált osztály az összes részhalmaz halmaza úgy, hogy mindegyik konjugált . $S\subseteq G$ $T\subseteq G$ $S$ $g\in G$ $T=gSg^{{-1}}$ $[S]$ $T\subseteq G$ $T$ $S$

Egy széles körben használt tétel, hogy egy csoport bármely adott részhalmazára a normalizáló halmazindexe megegyezik a konjugált osztályának sorrendjével : $S$ $G$ $N(S)$ $[S]$

|[S]|=[G:N(S)]

Ez abból a tényből következik, hogy a for holds: akkor és csak akkor, ha , azaz és ugyanabban a normalizáló szomszédsági osztályban szerepel . $g,h\in G$ $gSg^{{-1}}=hSh^{{-1}}$ $g^{{-1}}h\in N(S)$ $g$ $h$ $N(S)$

Az alcsoportok konjugált osztályokra oszthatók úgy, hogy két alcsoport akkor és csak akkor tartozik ugyanahhoz az osztályhoz, ha konjugáltak. A konjugált alcsoportok izomorfak , de az izomorf alcsoportoknak nem kell konjugáltnak lenniük. Például egy Abel-csoport tartalmazhat két különálló izomorf alcsoportot, de ezek soha nem lesznek konjugálva.

Lásd még

Jegyzetek

↑ Rács, 2007 , p. 56.
↑ Rács, 2007 , p. 57.

Irodalom

Pierre Antoine Grillet. absztrakt algebra. - 2. - Springer, 2007. - T. 242. - (Matematika érettségi szövegek). — ISBN 978-0-387-71567-4 .