Konjugácia osztály
A konjugált osztály a csoport elemeinek halmaza, amely egy adotthoz konjugált elemekből alakul ki , vagyis a forma összes eleme , ahol a csoport tetszőleges eleme .
![G](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b)
![g\in G](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1be73903416a0dd94b8cbc2268ce480810c0e62)
![hgh^{{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f122a972848120fa9849267b40ffd5b3dbb19232)
![h](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a)
![G](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b)
Egy elem konjugáltsági osztályát , vagy -vel jelölhetjük .
![g\in G](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1be73903416a0dd94b8cbc2268ce480810c0e62)
![[g]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6545341f409fd77429f02ba8bb88e4445bc2002a)
![{\displaystyle g^{G}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ab61469635c0f9fc7e433496af70b4a089d256b)
![{\mathrm {Cl}}(g)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42517f78a32206622aa6dda64509447b9bdb8ac8)
Definíció
Az elemeket és csoportokat konjugáltnak nevezzük, ha van olyan elem , amelyhez . A konjugáltság egy ekvivalencia reláció , ezért ekvivalenciaosztályokra oszlik , ez különösen azt jelenti, hogy a csoport minden eleme pontosan egy konjugáltsági osztályba tartozik, és az és osztályok akkor és csak akkor esnek egybe , ha és konjugáltak , és más módon nem metszik egymást. .
![g_{1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3755e3e04ec295992b2b5331655ef83a500a05c1)
![g_{2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0261c34f2ad1e1b5317708b7f98ae13ee70ff1b)
![G](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b)
![h\in G](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c938e8bf0bc7fa38baf00c88fa8aa6acf633f823)
![hg_{1}ó^{{-1}}=g_{2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f3343907829ccb4e43f370394a43f2fd584c0c4)
![G](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b)
![[g_{1}]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f8c586017aafbc5333c62867de8c6acec12d12d)
![{\displaystyle [g_{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be1f4a2f280c149a15dcf2b6f888dc23ecdbf89e)
![g_{1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3755e3e04ec295992b2b5331655ef83a500a05c1)
![g_{2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0261c34f2ad1e1b5317708b7f98ae13ee70ff1b)
Jegyzetek
Példák
- A négy elem mind a 24 permutációjából álló
szimmetrikus csoportnak öt konjugáltsági osztálya van:
![S_4](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc1632bc1d95d33ccb5473b9d8cc333c2dd0d13a)
- a sorrend nem változik (1 permutáció): , "1A" vagy "(1) 4 ";
![\{\{1,2,3,4\}\}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c433033a7808f5e415a6e8f683aed6fc7b8a1805)
- két elem permutációja (6 permutáció): , "6A" vagy "(2)";
![\{\{1,2,4,3\},\{1,4,3,2\},\{1,3,2,4\},\{4,2,3,1\}, \{3,2,1,4\},\{2,1,3,4\}\}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b63e05978d7b180ad558ecaa0ce75fd9224a8925)
- három elem ciklikus permutációja (8 permutáció): , "8A" vagy "(3)";
![\{\{1,3,4,2\},\{1,4,2,3\},\{3,2,4,1\},\{4,2,1,3\}, \{4,1,3,2\},\{2,4,3,1\},\{3,1,2,4\},\{2,3,1,4\}\}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a69d2e9e512f2fda05dcf739d5a4d701ef91a1c)
- mind a négy elem ciklikus permutációja (6 permutáció): , "6B" vagy "(4)";
![\{\{2,3,4,1\},\{2,4,1,3\},\{3,1,4,2\},\{3,4,2,1\}, \{4,1,2,3\},\{4,3,1,2\}\}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c1851c3cc987b42c2698f6dc70e0a3f6090d856)
- páronkénti permutáció (3 permutáció): , "3A" vagy "(2)(2)".
![\{\{2,1,4,3\},\{4,3,2,1\},\{3,4,1,2\}\}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e0465e5edf4fc0a20da2bab625e34b7a7f601d8)
- Általános esetben egy szimmetrikus csoportban a konjugált osztályok száma megegyezik a szám partícióinak számával , mivel minden konjugált osztály pontosan a ciklusokba való permutáció egy partíciójának felel meg .
![S_{n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f049ac28d4ac8097b625f9d71c1f22b2ebd1bc4)
![n](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
![\{1,2,\pontok ,n\}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89b43a8431dde909b1835b098104af537dc78125)
Tulajdonságok
- A semleges elem mindig saját osztályt alkot
![[e]=\{e\}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1038e4cb6bb735e89ef5bfecb01f1582a6cc0c23)
- Ha Abel , akkor , tehát a csoport minden elemére.
![G](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b)
![{\displaystyle \forall {g,h\in G}\ghg^{-1}=h}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c73807f5498c48eebb36b7fb31b783bb1c05388)
![[g]=\{g\}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71aeb186d39fa0e0f8e825da71d775b0f5077a1f)
- Ha két elem vagy csoport ugyanabba a konjugáltsági osztályba tartozik, akkor azonos sorrendűek .
![g_{1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3755e3e04ec295992b2b5331655ef83a500a05c1)
![g_{2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0261c34f2ad1e1b5317708b7f98ae13ee70ff1b)
![G](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b)
- Általánosabban fogalmazva, minden csoportelméleti állítás egy elemről egyenértékű egy elemre vonatkozó kijelentéssel , mivel a konjugáció a csoport
automorfizmusa .![\malac)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02a7ee07121e0e1b6fa039e9c8805b27e9415674)
![g\in G](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1be73903416a0dd94b8cbc2268ce480810c0e62)
![h\in[g]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84dd8238b69264bcdaf8686d4e103c69f8239b91)
![x\to xgx^{{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c1e81f64546571f89f955f7ba5485393a5ca633)
![G](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b)
Egy elem akkor és csak akkor van a középpontban , ha konjugált osztálya egyetlen elemből áll: .
![Z(G)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a45cef6993e3ea964232c8014e96998bb0aa3d0)
központosítója ) indexe megegyezik a konjugált osztály elemeinek számával ( az pályastabilizációs tétel szerint ).![Z_{G}(g)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a87d00af9887be9ac1736112396eb0de0d0f17ca)
![g](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77)
Ha a és konjugált, akkor a és a képességeik is konjugáltak .![g_{1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3755e3e04ec295992b2b5331655ef83a500a05c1)
![g_{2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0261c34f2ad1e1b5317708b7f98ae13ee70ff1b)
![g_{1}^{k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4a1e7c057d1cb0d250e7d22b126ab7acf994b2e)
- A csoport bármely elemére a konjugált osztály elemei egy az egyhez megfelelnek a központosító konjugált osztályainak , sőt, ha , akkor néhány esetén, ami ugyanahhoz a konjugált elemhez vezet: . Különösen:
![g\in G](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1be73903416a0dd94b8cbc2268ce480810c0e62)
![Z_{G}(g)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a87d00af9887be9ac1736112396eb0de0d0f17ca)
![h_{1}\in [h_{2}]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44e20a12c93365cc725d3c1fcbdc31ad71127ff7)
![{\displaystyle h_{1}=h_{2}z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd78278e14fdb04e2313585d2b931bab2c2f1668)
![z\in Z_{G}(g)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b480b423d881faccb8fd808e68a749b1248a716)
csoport , akkor a konjugált osztály elemeinek száma a központosító indexe .![G](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b)
![[g]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6545341f409fd77429f02ba8bb88e4445bc2002a)
![[G:Z_{G}(g)]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/641912fb66a3f6e3a5794c42a0b3a7fd2e16e52f)
- Az egyes konjugált osztályok sorrendje a csoport sorrendjének osztója.
A csoport sorrendje az egyes konjugált osztályokból kiválasztott képviselő centralizáló indexeinek összege: . Figyelembe véve, hogy egy csoport centralizálója egyetlen elemből (magából) alkot konjugált osztályt, ezt a konjugáltsági osztályok egyenletének [2] nevezett összefüggést a következőképpen írjuk le:
![GI](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ce36142a0a1c6660e82bdf3ef3f1551317efe0c)
![|G|=\Sigma {_{i}}[G:Z_{G}(g_{i})]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/591b26d836373f76ba84ea770426b946ae08bec0)
![Z(G)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a45cef6993e3ea964232c8014e96998bb0aa3d0)
,
ahol az összeget átveszik az egyes konjugálati osztályok összes képviselője, akik nem tartoznak a központba.
- Például legyen adott egy véges -csoport (vagyis egy olyan csoport, amelynek sorrendje , ahol egy prímszám és ). Mivel bármely konjugált osztály sorrendjének fel kell osztania a csoport sorrendjét, minden konjugált osztálynak van egy bizonyos hatványával egyenlő sorrendje ( ), majd a konjugált osztályok egyenletéből az következik, hogy:
![G](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b)
![p^{n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6a7a7e74ae90ab94f01e1629177758fb68b423b)
![p](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)
![n>0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27a6a5d982d54202a14f111cb8a49210501b2c96)
![Szia](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bd0312f590cc5a400008938f3cc304d42ad3986)
![p^{{k_{i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2dbbd8ba2fef6af18af37b592eeaffb5aafbec5)
![0<k_{i}<n](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24471a898242877804bdbb1f3efb5955c5d9901f)
![|G|=p^{n}=|Z(G)|+\Sigma {_{i}}p^{{k_{i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca14c10026937785c6f8729358653de54dee6d0a)
,
ez viszont azt jelenti, hogy a számnak osztania kell , így minden véges -csoportra, vagyis a konjugált osztályok egyenlete lehetővé teszi annak megállapítását, hogy bármely véges -csoportnak van nem triviális középpontja.
![p](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)
![|Z(G)|](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af8e89dd49073b3c359fc377418d1b374d8cde13)
![|Z(G)|>1](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19a08e0412d7b4000138ac04c323e4b8bb97ad6d)
![p](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)
Változatok és általánosítások
Egy tetszőleges részhalmaz (nem feltétlenül alcsoport) esetén a részhalmazt konjugáltnak nevezzük , ha van olyan elem , hogy . Ebben az esetben a konjugált osztály az összes részhalmaz halmaza úgy, hogy mindegyik konjugált .
![S\subseteq G](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/661adc96925066de10003e726886d8238cea7302)
![T\subseteq G](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e1a18be292edceb145cdf85ee6afb495f6f2aa8)
![S](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2)
![g\in G](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1be73903416a0dd94b8cbc2268ce480810c0e62)
![T=gSg^{{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a914aa540aadd5abab0ffd1f09afafc8096f3592)
![[S]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/292bbb82029aa583c5d2ac5fa1d7e4fedf537d8b)
![T\subseteq G](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e1a18be292edceb145cdf85ee6afb495f6f2aa8)
![T](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0)
![S](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2)
Egy széles körben használt tétel, hogy egy csoport bármely adott részhalmazára a normalizáló halmazindexe megegyezik a konjugált osztályának sorrendjével :
![S](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2)
![N(S)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e3ea80ce89011c04b5ef106c35f78179384c6da)
![[S]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/292bbb82029aa583c5d2ac5fa1d7e4fedf537d8b)
![|[S]|=[G:N(S)]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da5c18b7418af781578804989edc1004606a22ad)
.
Ez abból a tényből következik, hogy a for holds: akkor és csak akkor, ha , azaz és ugyanabban a normalizáló szomszédsági osztályban szerepel .
![g,h\in G](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23eaf33f751fae514c9b3e99dfb98a7718241dda)
![gSg^{{-1}}=hSh^{{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4b889438c962328341e23daf11f9cd254c522fa)
![g^{{-1}}h\in N(S)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/507cd6e6e8bf497d0fbc3a0018acafa894f9ec82)
![g](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77)
![h](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a)
![N(S)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e3ea80ce89011c04b5ef106c35f78179384c6da)
Az alcsoportok konjugált osztályokra oszthatók úgy, hogy két alcsoport akkor és csak akkor tartozik ugyanahhoz az osztályhoz, ha konjugáltak. A konjugált alcsoportok izomorfak , de az izomorf alcsoportoknak nem kell konjugáltnak lenniük. Például egy Abel-csoport tartalmazhat két különálló izomorf alcsoportot, de ezek soha nem lesznek konjugálva.
Lásd még
Jegyzetek
- ↑ Rács, 2007 , p. 56.
- ↑ Rács, 2007 , p. 57.
Irodalom
- Pierre Antoine Grillet. absztrakt algebra. - 2. - Springer, 2007. - T. 242. - (Matematika érettségi szövegek). — ISBN 978-0-387-71567-4 .