Kvázanalitikus függvény

A kvázianalitikus függvények a matematikai elemzésben a függvények egy osztályát jelentik, amelyek lazán szólva kis területen (például egy régió határán) teljesen rekonstruálhatók értékeikből. Ez a tulajdonság nagyban megkönnyíti a differenciálegyenletek megoldását és egyéb elemzési problémák tanulmányozását. Mivel ez a tulajdonság az analitikus függvényekre érvényes (lásd a komplex elemzést ), így a kvázi-analitikus függvények osztálya tartalmazza a közönséges analitikus függvények osztályát, és annak kiterjesztésének tekinthető [1] .

Definíciók

Egyváltozós függvények

Az analitikus függvény egyik meghatározó jellemzője : legyen a függvény végtelenül differenciálható a szegmens minden pontjában , és legyen olyan szám (a függvénytől függően), hogy az egyenlőtlenség minden pontra érvényes legyen: $f(x)$ $[a,b]$ $A$ $x\in[a,b]$

|f^{(n)}(x)|\leqslant A^{n}n!

(egy)

Ekkor a függvény analitikus ( a fordított tétel is igaz) [2] . $f(x)$

Jacques Hadamard 1912-ben javasolta a fenti egyenlőtlenség általánosítását oly módon, hogy a sorozatot a pozitív valós számok általános formájának sorozatával helyettesítik . Az [ a , b ] intervallumon a következőképpen definiálta a C M ([ a , b ]) függvényosztályt: $n!$ ${\displaystyle M=\{M_{k}\}_{k=0}^{\infty ))$

Az osztály bármely függvénye végtelenül differenciálható ( f ∈ C ∞ ([ a , b ])), és minden x ∈ [ a , b ] pontban és az összes alábbi feltétel teljesül: $f$ $k\geqslant 0$

\left|{\frac {d^{k}f}{dx^{k}}}(x)\right|\leqslant A^{k}k!M_{k}

(2)

ahol A valamilyen állandó (a függvénytől függően).

Ha az M k =1 sorozatot vesszük , akkor a szakasz elején elmondottak szerint pontosan a közönséges valós analitikus függvények osztályát kapjuk az [ a , b ] intervallumon.

A C M ([ a , b ]) osztályt kvázi analitikusnak nevezzük, ha bármely f ∈ C M ([ a , b ]) függvényre teljesül az egyediség feltétele : ha egy ponton x ∈ [ a , b ] mindenre k , akkor f egyenlő nullával. ${\frac {d^{k}f}{dx^{k}}}(x)=0$

A kvázianalitikus osztály elemeit kvázi-analitikus függvényeknek nevezzük . A fenti feltétel azt jelenti, hogy két, valamikor egybeeső függvény az összes deriváltjával mindenhol egybeesik. Más szóval, egy függvény értékei tetszőlegesen kis területen teljesen meghatározzák az összes értékét.

Több változó függvényei

Egy függvényre és egy indexkészletre a következőket jelöljük: $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ ${\displaystyle j=(j_{1},j_{2},\ldots ,j_{n})\in \mathbb {N} ^{n))$

{\displaystyle |j|=j_{1}+j_{2}+\ldots +j_{n))

D^{j}={\frac {\partial ^{j}}{\partial x_{1}^{j_{1}}\partial x_{2}^{j_{2}}\ldots \ részleges x_{n}^{j_{n}}}}}

j!=j_{1}!j_{2}!\ldots j_{n}!

x^{j}=x_{1}^{j_{1}}x_{2}^{j_{2}}\ldots x_{n}^{j_{n}}.

Ekkor kvázi analitikusnak nevezzük egy nyitott tartományban , ha minden kompakthoz létezik egy olyan állandó , amely: $f$ $U\subset \mathbb {R} ^{n},$ $K\subset U$ $A$

\left|D^{j}f(x)\right|\leqslant A^{|j|+1}j!M_{|j|}

a halmaz összes indexére és minden pontra . $j\in \mathbb {N} ^{n}$ $x\in K$

A változók kvázi-analitikus függvényeinek osztálya egy halmazon lévő sorozatra vonatkozóan jelölhető -vel , bár a forrásokban más jelölések is találhatók. $n$ $M$ $U$ $C_{n}^{M}(U)$

Kvázianalitikus osztályok logaritmikusan konvex sorozatokhoz

Tegyük fel, hogy a fenti definícióban , és a sorozat nem csökkenő. Ezt a sorozatot logaritmikusan konvexnek mondjuk, ha teljesül a feltétel: $M_{1}=1$ $M_{k}$

A sorrend növekszik.

{M_{k+1} \over M_{k}}

Ha a sorozat logaritmikusan konvex, akkor: $M_{k}$

{\displaystyle (M_{k})^{1/k))

is növekszik.

M_{r}M_{s}\leqslant M_{r+s}

mindenkinek .

{\displaystyle (r,s)\in \mathbb {N} ^{2))

Logaritmikusan konvex esetén a kvázianalitikus osztály egy gyűrű . Különösen a szorzás és az összetétel alatt zárva van . Ez utóbbi jelentése: $M$ ${\displaystyle C_{n}^{M))$

Ha és , akkor .

{\displaystyle f=(f_{1},f_{2},\ldots f_{p})\in (C_{n}^{M})^{p))

{\displaystyle g\in C_{p}^{M))

{\displaystyle g\circ f\in C_{n}^{M))

Denjoy-Carleman tétel

A Denjoy-Carleman tételt Arnaud Denjoy ( Denjoy (1921 )) fogalmazta meg és részben megoldotta, Thorsten Carleman ( 1926 ) pedig teljesen bebizonyította . Ez a tétel kritériumot ad annak eldöntésére, hogy a C M ([ a , b ]) függvények mely M sorozatok alatt alkotnak kvázi analitikus osztályt.

A tétel szerint a következő állítások egyenértékűek:

A C M ([ a , b ]) egy kvázi analitikus osztály.
$\sum 1/L_{j}=\infty ,$ ahol . $L_{j}=\inf _{k\geq j}(k\cdot M_{k}^{1/k})$
$\sum _{j}(jM_{j}^{*})^{-1/j}=\infty ,$ ahol M j * a legnagyobb logaritmikusan konvex sorozat, amelyet fent M j határol .
$\sum _{j}{\frac {M_{j-1}^{*}}{(j+1)M_{j}^{*}}}=\infty .$

Annak bizonyítására, hogy a 3., 4. állítás ekvivalens a 2.-al, Carleman-egyenlőtlenséget használunk .

Példa : Denjoy (1921 ) [3] rámutatott, hogy ha adott az egyik szekvencia $M_{n}$

1,\,{(\ln n)}^{n},\,{(\ln n)}^{n}\,{(\ln \ln n)}^{n},\, {(\ln n)}^{n}\,{(\ln \ln n)}^{n}\,{(\ln \ln \ln n)}^{n},\pontok ,

akkor a megfelelő osztály kvázi analitikus. Az első sorozat (az egységek) a szokásos analitikai függvényeket adja.

További tulajdonságok

Egy logaritmikusan konvex sorozat esetén a megfelelő függvényosztály alábbi tulajdonságai érvényesek. $M$

$C^{M}$ akkor és csak akkor esik egybe az analitikus függvények osztályával . $\sup _{j\geq 1}(M_{j})^{1/j}<\infty$
Ha egy másik logaritmikusan konvex sorozat, amelyre (itt van néhány állandó), akkor . $N$ ${\displaystyle M_{j}\leqslant C^{j}N_{j))$ $C$ $C^{M}\subset C^{N}$
$C^{M}$ akkor és csak akkor stabil a differenciálás tekintetében . $\sup _{j\geq 1}(M_{j+1}/M_{j})^{1/j}<\infty$
Bármely korlátlanul differenciálható függvényhez találhatunk olyan kvázi analitikus gyűrűket és elemeket , amelyek . $f$ $C^{M}$ $C^{N}$ $g\in C^{M},h\in C^{N}$ $f=g+h$

Felosztás Weierstrass szerint

Meghatározás . Egy függvényt szabályos sorrendűnek mondunk az if és függvényhez képest . $g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ $d$ $x_{n}$ ${\displaystyle g(0,x_{n})=h(x_{n})x_{n}^{d))$ $h(0)\neq 0$

Legyen egy reguláris sorrendű függvény tekintetében . Azt mondják, hogy a változók valós vagy összetett függvényeinek gyűrűje kielégíti a Weierstrass-felosztást arra vonatkozóan, hogy mindegyikre létezik- e olyan is , hogy: $g$ $d$ $x_{n}$ $A_{n}$ $n$ $g$ $f\in A_{n}$ $q\in A$ ${\displaystyle h_{1},h_{2},\ldots ,h_{d-1}\in A_{n-1))$

f=gq+h

, hol .

h(x',x_{n})=\sum _{j=0}^{d-1}h_{j}(x')x_{n}^{j}

Példa : Az analitikus függvények gyűrűje és a formális hatványsorok gyűrűje egyaránt kielégíti a Weierstrass-osztás tulajdonságát. Ha azonban logaritmikusan konvex, és nem esik egybe az analitikus függvények osztályával, akkor nem teljesíti a Weierstrass-osztás tulajdonságát -ra vonatkozóan . $M$ $C^{M}$ $C^{M}$ ${\displaystyle g(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=x_{1}+x_{2}^{2))$

Történelem

Ennek a témakörnek a kulcskérdése egy analitikus függvény azon képessége, hogy egy tetszőleges szabályos pontban magának a függvénynek és származékainak értékeiből egyedileg vissza tudja állítani „globális megjelenését” [4] . Émile Borel volt az első, aki felfedezte, hogy ez a tulajdonság nem csak az analitikai funkciókra vonatkozik.

1912-ben Jacques Hadamard megfogalmazta a kérdést: mi legyen a fenti „ egyediségi feltétel ” sorrendje a megfelelő osztály bármely függvénypárjára. Arnaud Denjoy 1921-ben elegendő feltételt adott a kvázi analiticitáshoz, és számos példát adott a kvázi analitikus osztályokra (lásd Denjoy (1921 )). A probléma teljes megoldását öt évvel később Thorsten Carleman adta meg (lásd Carleman (1926 )), aki megteremtette a kvázi-analiticitás szükséges és elégséges feltételeit [1] . $M_{n},$

Később S. N. Bernshtein és S. Mandelbroit általánosította a kvázi analiticitás fogalmát a nem differenciálható, sőt nem folytonos függvények osztályaira. A legegyszerűbb példa egy folytonos együtthatós lineáris differenciálegyenlet megoldásainak halmaza ; az ebben a megoldásban szereplő függvényeknek általánosságban elmondható, hogy nincs végtelen számú deriváltja [5] ..

Jegyzetek

↑ 1 2 Mathematical Encyclopedia, 1979 , p. 798.
↑ Mandelbroit, 1937 , p. 10-12.
↑ Leontyev, 2001 .
↑ Mandelbroit, 1937 , p. 9-11.
↑ Gorny, 1938 , p. 171.

Irodalom

Gorny A. Kvázi-analitikus függvények // Advances in Mathematical Sciences . - M. , 1938. - 5. sz . – S. 171–186 .
Leontiev A.F. Kváziananalitikus függvényosztály // Matematikai enciklopédia (5 kötetben). - M .: Szovjet Enciklopédia , 1979. - T. 2. - S. 798-800.
Mandelbroit S. A függvények kvázianalitikus osztályai. - M. - L .: ONTI NKTP, 1937.
Mandelbroit S. Csatlakozó sorozatok, szekvenciák szabályosítása. Pályázatok, ford. franciából, Moszkva: Külföldi irodalom, 1955.
Carleman, T. (1926), Les fonctions quasi-analytiques , Gauthier-Villars (fr.)
Denjoy, A. (1921), Sur les fonctions quasi-analytiques de variable réelle, CR Acad. sci. Paris T. 173: 1329–1331
Hörmander, Lars (1990), Lineáris parciális differenciáloperátorok elemzése I , Springer-Verlag, ISBN 3-540-00662-1
Leont'ev, A.F. Kvázi-analitikai osztály // Hazewinkel, Michiel . Matematikai Enciklopédia. - Springer Science+Business Media BV / Kluwer Academic Publishers, 2001. - ISBN 978-1-55608-010-4 .

Linkek

Cohen, Paul J. (1968), A Denjoy-Carleman tétel egyszerű bizonyítéka , The American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America). – T. 75 (1): 26–31, ISSN 0002-9890 , DOI 10.2307/2315100