Brahmagupta interpolációs képlete

A Brahmagupta interpolációs képlete egy második polinomrendű interpolációs képlet, amelyet Brahmagupta (598-668) indiai matematikus és csillagász talált meg a Kr.u. 7. század elején. Ennek a képletnek a szanszkrit nyelvű költői leírása megtalálható a Khandakhodyaka kiegészítő részében, mely mű Brahmagupta fejezte be 665-ben [1] . Ugyanez a páros található a Dhyana-graha-adhikara című korábbi munkájában, amelynek pontos dátumát nem állapították meg. A művek belső összekapcsolódása azonban azt sugallja, hogy korábban készült, mint a tudós 628-ban elkészült fő munkája, a „ Brahma-sphuta-siddhanta ”, így egy másodrendű interpolációs képlet megalkotásának tulajdonítható. 7. század első negyedéig [1] . Brahmagupta volt az első, aki megtalálta és felhasználta a másodrendű véges különbség képletét a matematika történetében [2] [3] .

Brahmagupta képlete egybeesik Newton másodrendű interpolációs formulájával , amelyet több mint ezer év után találtak (újra felfedeztek).

Kihívás

Csillagászként Brahmaguptát az érdekelte, hogy a szinusz pontos értékeit származtassa a függvény kevés ismert táblázatos értékéből. Így azzal a feladattal állt szemben, hogy a táblázatban található függvény értékei alapján keresse meg az értéket: $f(x)$ $x_{r}<x<x_{{r+1}}$

$x$	$x_{1}$	$x_{2}$	…	$x_{r}$	$x_{r+1}$	$x_{r+2}$	…	$x_{n}$
$f(x_r)$	$f_1$	$f_{2}$	…	$f_{r}$	$f_{r+1}$	$f_{r+2}$	…	$f_n$

Feltéve, hogy a függvény értékeit állandó lépéssel pontokban számítják ki ( mindenre ), Aryabhata azt javasolta, hogy a számításokhoz (táblázatos) első véges különbségeket használjon: $h$ $x_{{r+1}}-x_{r}=h$ $r$

D_{r}=f_{{r+1}}-f_{r}

A Brahmagupta előtti matematikusok a nyilvánvaló lineáris interpolációs képletet használták

f(x)=f_{r}+tD_{r}

ahol . $t=(x-x_{r})/h$

Brahmagupta ezt a képletet egy véges különbségek ívfüggvényére cserélte, ami lehetővé teszi az interpolált függvény pontosabb értékeinek megszerzését. $D_{r}$

Brahmagupta számítási algoritmusa

A Brahmagupta terminológiájában a különbséget múlt szegmensnek (गत काण्ड), a hasznos szegmenst (भोग्य काण्ड) nevezik . A szakasz hosszát az interpolációs pontig percben tusnak (विकल) nevezzük. A lecserélendő új kifejezést a megfelelő hasznos szegmensnek nevezzük (स्फुट भोग्य काण्ड). A helyes hasznos szegmens kiszámítását a [4] [1] páros írja le : $D_{{r-1}}$ $D_{r}$ $x-x_{r}$ $D_{r}$

Bhuttopala (X. század) kommentárja szerint a verseket a következőképpen fordítják [ 1 ] [ 5 ] : Ha több, akkor vonjuk ki. Meg fogja kapni a megfelelő hasznos különbséget [6] .

900 perc (15 fok) a Brahmagupta által használt szinusz táblázatértékeinek argumentumai közötti intervallum. $h$

Brahmagupta formulája modern jelöléssel

A modern jelöléssel a Brahmagupta számítási algoritmus a következő képletekkel fejeződik ki:

{\begin{aligned}f(x)&=f_{r}+t({\frac {D_{r}+D_{{r-1}}}{2}}+t{\frac {D_{{ r}}-D_{{r-1}}}{2}})\\&=f_{r}+t{\frac {D_{r}+D_{{r-1}}}{2}} +t^{2}{\frac {D_{{r}}-D_{{r-1}}}{2}}.\end{aligned}}

Ez Newton másodrendű interpolációs képlete [7] [8] .

Bizonyítás

Nem ismert, hogy Brahmagupta hogyan szerezte ezt a képletet [1] . Korunkban az ilyen képleteket a függvények kiterjesztésével bizonyítják egy Taylor-sorozatban egy ponton az egyenlőségek növelésének jogában . A képlet azonban elemi módszerekkel is igazolható: a csere után a Brahmagupta-formula három ponton átmenő parabolát állít be . Ennek a képletnek a levezetéséhez elegendő ennek a parabolának az együtthatóit megtalálni egy három lineáris egyenletrendszer megoldásával, amelyeket ezek a pontok határoznak meg . $f(x+kh),k=1,2,...$ $x$ $t=(x-x_{r})/h$ $(x_{{r-1}},f_{{r-1}}),(x_{r},f_{r}),(x_{{r+1}},f_{{r+1}} )$

Precíziós képlet

A számítógépes számítások azt mutatják, hogy a 15 fokos lépésekben lévő csomópontok szinuszának 7 értékét tartalmazó táblázat alapján a Brahmagupta legfeljebb 0,0012 maximális hibával és legfeljebb 0,00042 átlagos hibával tudta kiszámítani ezt a függvényt.

Jegyzetek

↑ 1 2 3 4 5 Gupta, RC Másodrendű interpoláció az indiai matematikában egészen a tizenötödik századig // Indian Journal of History of Science : folyóirat. — Vol. 4 , sz. 1 és 2 . - 86-98 . o .
↑ Van Brummelen, GlenAz ég és a föld matematikája: a trigonometria korai története (angol) . - Princeton University Press , 2009. - P. 329. - ISBN 9780691129730 . (111. o.)
↑ Meijering, Erik. Az interpoláció kronológiája az ókori csillagászattól a modern jel- és képfeldolgozásig // Proceedings of the IEEE : folyóirat. - 2002. - március ( 90. évf. , 3. sz.). - P. 319-342 . - doi : 10.1109/5.993400 .
↑ Dhyana-Graha-Upadesa-Adhyaya, 17; Khandaka Khadyaka, IX, 8
↑ Raju, C K. A matematika kulturális alapjai: a matematikai bizonyítás természete és a kalkulus átvitele Indiából Európába a XVI. CE (angol) . — Pearson Education India, 2007. - P. 138-140. — ISBN 9788131708712 .
↑ Az algoritmus utolsó része annak a ténynek köszönhető, hogy a matematikusok Brahmagupta előtt és hosszú ideig utána nem használták a negatív szám fogalmát. Ezért valójában nem a különbséget számoltuk ki, hanem a különbség modulusát , majd ezt a nem negatív számot a különbség előjelétől függően, az egyenlőtlenség segítségével határoztuk meg, összeadtuk vagy kivontuk. ${\frac {|D_{{r-1}}-D_{{r}}|}{2}}$
↑ Milne-Thomson, Louis Melville. A véges különbségek számítása (neopr.) . - AMS Chelsea Publishing, 2000. - S. 67-68. — ISBN 9780821821077 .
↑ Hildebrand, Francis Begnaud. Bevezetés a numerikus elemzésbe (neopr.) . - Courier Dover Publications , 1987. - S. 138-139 . — ISBN 9780486653631 .