Integrál szinusz

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2019. április 23-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

Az integrál szinusz egy speciális függvény , amelyet az [1] integrál határoz meg :

$\operátornév {Si}\,x=\int \limits _{0}^{x}{\frac {\sin t}{t}}\,dt.$

Néha ők is használják a jelölést $\operátornév {si}\,x:$

$\operátornév {si}\,x=-\int \limits _{x}^{\infty }{\frac {\sin t}{t))\,dt=\operátornév {Si}\,x-{\ frac {\pi }{2}}.$

Az integrál szinusz az integrál exponenciális függvénnyel definiálható a szinusz [2] analógiájával :

$\operátornév {si}\,x={\frac {1}{2i}}\left(\operátornév {Ei}\,(ix)-\operátornév {Ei}\,(-ix)\jobb).$

Az integrál szinust Lorenzo Mascheroni vezette be 1790-ben.

Tulajdonságok

Integrált szinusz- páratlan függvény :

\operátornév {Si}\,(-x)=-\,\operátornév {Si}\,x.

Az integrál szinusznak aszimptotái vannak :

\lim _{{x\to +\infty }}\operátornév {Si}\,x={\frac {\pi }{2)),

\lim _{{x\to +\infty }}\operátornév {si}\,x=0,

\lim _{{x\to -\infty }}\operátornév {Si}\,x=-{\frac {\pi }{2)),

\lim _{{x\to -\infty }}\operátornév {si}\,x=-\pi .

Az integrál szinusznak vannak lokális extrémi pontjai $x=\pm \pi ,\,\pm 2\pi ,\,\pm 3\pi ,\,\cdots$

A sorozat bővítése

\operátornév {Si}\,x=x-{\frac {x^{3}}{3\cdot 3!}}+{\frac {x^{5}}{5\cdot 5!}}-{ \frac {x^{7}}{7\cdot 7!}}+\cdots =\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {(-1)^{{n}} }{(2n+1)!(2n+1)}}x^{{2n+1}}.

Ezt a sorozatot az integrál szinusz gyakorlati kiszámítására használjuk, és a Leibniz-tétellel összhangban a hiba kisebb lesz, mint a sorozat utolsó felvett tagjának modulusa.

Lásd még

Jegyzetek

↑ Korn G., Korn T. Matematika kézikönyve tudósok és mérnökök számára. // M.: Nauka, 1968. - S. 625.
↑ Bateman G., Erdeyi A. Magasabb transzcendentális funkciók, 2. kötet // M.: Nauka, 1974. - 149. o.

Irodalom

Matematikai enciklopédikus szótár. - M. , 1995. - S. 238.