Duhamel integrál

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2019. április 28-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 3 szerkesztést igényelnek .

A Duhamel -integrál egy speciális integráltípus, amellyel a lineáris rendszerek egy időben tetszőlegesen változó bemeneti műveletre adott válaszát számítják ki. Ennek az integrálnak az alkalmazhatósága a lineáris rendszerek szuperpozíciójának elvén alapul , amelyben több, egyidejű és időben eltolt hatás összegére adott válasza egyenlő a jelek mindegyik tagjából származó válaszok összegével. .

Lineáris mechanikai rendszerek, lineáris elektromos áramkörök stb. reakcióinak kiszámítására szolgál.

Jean Marie Constant Duhamelről , egy francia matematikusról nevezték el , aki a mechanikai rendszerek válaszának kiszámítására javasolta.

A módszer alkalmazásának ötlete a következő. A bemeneti jel néhány szabványos jel összegeként (általában végtelen) van ábrázolva, amelyekre ismert a rendszer válasza , az úgynevezett tranziens függvény . $h(t)$

Ez a módszer a Heaviside step függvényt használja standard bemenetként . A rendszer válaszát a késleltetett és a bemeneti művelet ( függvények konvolúciója ) szorzatának integráljaként fejezzük ki , amelyet Duhamel-integrálnak nevezünk. $H(t)$ $h(t)$

Így a rendszer hatásra adott válaszának ismeretében analitikus formában leírt vagy kísérleti úton kapott Heaviside-függvény formájában előre jelezhető (kiszámítható) a rendszer válasza egy tetszőleges bemeneti hatásra.

Képletek

A Duhamel-integrál használatához először ki kell számítani vagy meg kell mérni a rendszer átmeneti függvényét , amely a rendszer válasza egy lépésenkénti bemeneti jelre (2. ábra). $h(t)$

Az átmeneti függvényt, ha ismeretlen, bármely elérhető módszerrel megtaláljuk (differenciálegyenlet-rendszer megoldása, operátor módszer méréssel stb.). Lineáris rendszer esetén az átmeneti függvény lehet aperiodikus, oszcilláló, csillapított oszcillációs folyamat, vagy több ilyen folyamat kombinációja. Például az ábra szerinti rendszerhez. Az 1. ábrán az átmeneti függvény egy aperiodikus folyamat, amely az 1. ábrán látható. 2 [1] .

Ha a rendszer bemeneti jelét a függvény írja le , ahol egy független változó, akkor a rendszer válaszát erre a jelre a képlet fejezi ki, ahol a bemeneti művelet időbeli deriváltja: $U(\tau )$ $\tau$ $U'(\tau )$

Y(t)=U(0)\cdot h(t)+\int _{0}^{t}U'(\tau )h(t-\tau )d\tau .

Ha a bemeneti jel összetett, és a függvény folytonossági zavarokat tapasztal (időpontok , a 3. ábrán), akkor a fenti képlet csak a [0, ] intervallumon érvényes : $U(t)$ $t_{1}$ $t_{2}$ $t_{1}$

Y_{1}(t)=U_{1}(0)\cdot h(t)+\int _{0}^{t}U_{1}'(\tau )h(t-\tau )d\tau .

A fennmaradó intervallumokra adott választ a szuperpozíció elve alapján következő képletekkel számítjuk ki:

Y_{2}(t)=U_{1}(0)\cdot h(t)+\int _{0}^{t_{1}}U_{1}'(\tau )h(t -\tau )d\tau +\left[U_{2}(t_{1})-U_{1}(t_{1})\right]\cdot h(t-t_{1})+\int _ {t_{1}}^{t}U_{2}'(\tau )h(t-\tau )d\tau ;

Y_{3}(t)=U_{1}(0)\cdot h(t)+\int _{0}^{t_{1}}U_{1}'(\tau )h(t -\tau )d\tau +\left[U_{2}(t_{1})-U_{1}(t_{1})\right]\cdot h(t-t_{1})+

+\int _{t_{1}}^{t_{2}}U_{2}'(\tau )h(t-\tau )d\tau +\left[U_{3}(t_{ 2})-U_{2}(t_{2})\right]\cdot h(t-t_{2})+\int _{t_{2}}^{t}U_{3}'(\tau )h(t-\tau )d\tau .

Az utolsó képletek azt jelentik, hogy:

A rendszer reakciója, amely a folyamat fejlődésének korai szakaszában jelentkezett, minden további időintervallumban tovább működik.
Ha a függvényt megtörjük egy értékkel az időpillanatban, az egyenlő azzal, hogy a bemeneti jelhez hozzáadunk vagy kivonunk egy egységfüggvényt a megfelelő együtthatóval és a megfelelő időintervallumtal eltolva , ami további jelet ad a rendszer válaszához . $t_{p}$ $E$ $E\cdot 1(t-t_{p})$ $E\cdot h(t-t_{p})$
A fent jelzett válaszjelekhez a következő időintervallumokban hozzáadjuk az azonos képletekkel számított válaszokat, figyelembe véve a bemeneti jel megfelelő idő szerinti eltolódását.

Példa a Duhamel integrál alkalmazására a

A lineáris áramkörhöz ábra. ábrán látható komplex bemeneti jel hatására a kondenzátoron átmenő áramot találjuk az 1. ábrán. 3. $I_{3}(t)$

Az átmeneti függvény számítása

Az átmeneti függvény formájának megtalálásához megoldásokat találunk a karakterisztikus egyenletre

Z(p)=0,

ahol a rendszer bemeneti impedanciája operátor formában írva a jelforrás oldaláról, egy összetett változó . $Z(p)$ $p$

Z(p)=R_{1}+R_{2}||X_{C}=R_{1}+{\frac {R_{2}}{1+R_{2}pC}}={ \frac {R_{1}+R_{2}+R_{1}R_{2}pC}{1+R_{2}pC}};

R_{1}+R_{2}+R_{1}R_{2}pC=0;

p=-{\frac {R_{1}+R_{2}}{R_{1}R_{2}C}}=-A.

A karakterisztikus egyenletnek egy valós megoldása van, ezért az átmeneti függvény egy kitevő :

h(t)=h_{0}e^{-At}.

Feltéve, hogy abban a pillanatban, amikor a kondenzátor lemerül, azt kapjuk $t = 0$

h_{0}=h(0)={\frac {1}{R_{1))};h(t)={\frac {1}{R_{1))}e^{-At }.

Egy rendszer komplex jelre adott válaszának kiszámítása

Számítási intervallumok
Jel	Intervallum	$U_{i}(t)$	$U'_{i}(t)$
$U_{1}(t)$	$0...t_{1}$	${\frac {2E}{t_{1))}t$	${\displaystyle {\frac {2E}{t_{1))))$
$U_{2}(t)$	$t_{1}...t_{2}$	$E$	$0$
$U_{3}(t)$	$t_{2}...{\mathcal {1}}$	$0$	$0$

Jelábrázolás

Egy komplex bemeneti jelet darabonkénti függvényként ábrázolunk a táblázatban feltüntetett három időintervallumban.

Megoldás

A megoldást darabonként, minden időintervallumra keressük a képletekben $A={\frac {R_{1}+R_{2}}{R_{1}R_{2}C}}.$

Y_{1}(t)=U_{1}(0)\cdot h(t)+\int _{0}^{t}U_{1}'(\tau )h(t-\tau )d\tau =

=0\cdot {\frac {1}{R_{1}}}e^{-At}+\int _{0}^{t}{\frac {2E}{t_{1}}} \cdot {\frac {1}{R_{1}}}e^{-A(t-\tau )}d\tau =

={\frac {2E}{At_{1}R_{1}}}e^{-A(t-\tau )}{\Bigr |}_{0}^{t}={\frac {2E}{At_{1}R_{1}}}\cdot (1-e^{-At}).

Y_{2}(t)=\int _{0}^{t_{1}}U_{1}'(\tau )h(t-\tau )d\tau +\left[U_{2 }(t_{1})-U_{1}(t_{1})\right]\cdot h(t-t_{1})+\int _{t_{1}}^{t}U_{2} '(\tau )h(t-\tau )d\tau =

={\frac {2E}{At_{1}R_{1}}}e^{-At}\cdot (e^{At_{1}}-1)+(E-2E)\cdot { \frac {1}{R_{1}}}e^{-A(t-t_{1})}+\int _{t_{1}}^{t}0\cdot {\frac {1}{ R_{1}}}e^{-A(t-\tau )}d\tau =

={\frac {2E}{At_{1}R_{1}}}e^{-At}\cdot (e^{At_{1}}-1)-{\frac {E}{R_ {1}}}e^{-A(t-t_{1})}.

Y_{3}(t)={\frac {2E}{At_{1}R_{1}}}e^{-At}\cdot (e^{At_{1}}-1)-{ \frac {E}{R_{1}}}e^{-A(t-t_{1})}+\left[U_{3}(t_{2})-U_{2}(t_{2} )\right]\cdot h(t-t_{2})+\int _{t_{2}}^{t}U_{3}'(\tau )h(t-\tau )d\tau =

={\frac {2E}{At_{1}R_{1}}}e^{-At}\cdot (e^{At_{1}}-1)-{\frac {E}{R_ {1}}}e^{-A(t-t_{1})}+(0-E)\cdot {\frac {1}{R_{1}}}e^{-A(t-t_{ 2})}+\int _{t_{2}}^{t}0\cdot {\frac {1}{R_{1}}}e^{-A(t-\tau )}d\tau =

={\frac {2E}{At_{1}R_{1}}}e^{-At}\cdot (e^{At_{1}}-1)-{\frac {E}{R_ {1}}}e^{-A(t-t_{1})}-{\frac {E}{R_{1}}}e^{-A(t-t_{2})}.

Linkek

Bessonov L. A. Az elektrotechnika elméleti alapjai: Elektromos áramkörök. Proc. egyetemek villamos, energetikai és műszerkészítő szakos hallgatói számára. - 7. kiadás, átdolgozva. és további - M .: Magasabb. iskola, 1978. - 528 p.
Matkhanov P. N. Az elektromos áramkörök elemzésének alapjai. Lineáris láncok.: Proc. elektrotechnika számára rádiótechnika szakember. egyetemek. 3. kiadás, átdolgozva. és további - M .: Magasabb. iskola, 1990. - 400 p.
Ni Zhenhua . A rezgések mechanikája. Xi'an Jiaotong University Press, Xi'an, 1990 (kínai nyelven).
RW Clough, J. Penzien . A struktúrák dinamikája. Mc Graw Hill Inc. , New York, 1975.
Anil K Chopra . A szerkezetek dinamikája – elmélet és alkalmazások a földrengéstechnikában. Pearson Education Asia Limited és Tsinghua University Press , Peking, 2001.
Leonard Meirovich . A rezgéselemzés elemei. Mc Graw Hill Inc. , Szingapúr, 1986.
Duhamel képlete a "Diszperzív Wikiben".
A tranziens folyamat számítása a Duhamel-integrál segítségével .
Duhamel integrál. Állapotváltozós módszer .
Átmeneti és impulzusjellemzők. Duhamel integrálja .
Duhamel integrálja .

Jegyzetek

↑ Neiman L. R., Demirchyan K. S. Az elektrotechnika elméleti alapjai: 2 kötetben Tankönyv egyetemek számára. I. kötet – 3. kiadás, átdolgozott. és további - L .: Energoizdat. Leningrád. osztály, 1981. - 536 p., ill.

Lásd még

Laplace transzformáció