Izotómiás konjugáció

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt hozzászólók, és jelentősen eltérhet a 2013. október 3-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 15 szerkesztést igényelnek .

A planimetriában az izotómiás konjugáció a síkon adott ABC háromszög által generált sík egyik transzformációja .

Definíció

Legyen adott egy háromszög , amelyben - az oldal felezőpontja , - a felezőpontja és - az oldal felezőpontja . Legyen olyan tetszőleges pont is a síkon , amely nem fekszik az oldalait tartalmazó egyeneseken. Ezután vegye figyelembe a vonalakat , és . Hagyja, hogy a háromszög szemközti oldalait tartalmazó egyeneseket a , és pontokban metssék (ha az egyenesek párhuzamosak, akkor a metszéspontnak az egyenes végtelenben lévő pontját tekintjük). Ceva tétele szerint . Ha most a , és pontok szimmetrikusan tükröződnek a , illetve -hez képest, akkor a , és pontokat kapjuk (a végtelenben lévő pont önmagába megy át). Mivel , és ugyanez a többi pontpárra is, megkapjuk , és ugyanazon Ceva-tétel szerint a , és az egyeneseket egy pontban metszik . Ezt a pontot a háromszöghez képest izotómiailag konjugált pontnak nevezzük . $ABC$ $A_0$ $időszámításunk előtt$ $B_{0}$ $AC$ $C_{0}$ $AB$ $P$ $AP$ $BP$ $CP$ $A_{1}$ $B_1$ $C_{1}$ $\frac{AC_1}{C_1B}\cdot\frac{BA_1}{A_1C}\cdot\frac{CB_1}{B_1A}=1$ $A_{1}$ $B_1$ $C_{1}$ $A_0$ $B_{0}$ $C_{0}$ $A_{2}$ $B_{2}$ $C_{2}$ $AC_1=BC_2$ $AC_2=BC_1$ $1=\frac{AC_1}{C_1B}\cdot\frac{BA_1}{A_1C}\cdot\frac{CB_1}{B_1A}=\frac{BC_2}{C_2A}\cdot\frac{CA_2}{A_2B}\ cdot\frac{AB_2}{B_2C}$ $AA_2$ $BB_2$ $CC_{2}$ $P'$ $P$ $ABC$

Az izotómikus konjugáció egy az egyhez megfeleltetést hoz létre a sík pontjai között a kizárt egyenesekkel , és . Ezeken a vonalakon a megfelelés nem egy az egyhez, mivel a vonal bármely pontja megfelel egy csúcsnak (és fordítva, egy csúcsnak - tetszőleges pont ), és így tovább. $AB$ $időszámításunk előtt$ $AC$ $időszámításunk előtt$ $A$ $A$ $időszámításunk előtt$

Koordináták

Ha egy pont baricentrikus koordinátái , akkor az izotómiailag konjugált pont baricentrikus koordinátái . $P$ $(p:q:r)$ $P'$ $\left(\frac1{p}:\frac1{q}:\frac1{r}\right)$

Ha egy pont trilineáris koordinátái , akkor a vele izotómiailag konjugált pont trilineáris koordinátái . $P$ $(p:q:r)$ $P'$ $\left(\frac1{a^2p}:\frac1{b^2q}:\frac1{c^2r}\jobb)$

Egyéb meghatározás

Ha a szimmetrikus cevian helyett egy olyan cevian -t veszünk, amelynek alapja olyan messze van az oldal közepétől, mint az eredetié, akkor az ilyen cevianok is egy ponton metszik egymást. Az így létrejövő átalakulást izotómikus konjugációnak nevezzük . A vonalakat körülírt kúpokra is leképezi . Az affin transzformációk során az izotómiailag konjugált pontok izotómiailag konjugált pontokká alakulnak . Izotómiás konjugáció esetén a leírt Steiner-ellipszis a végtelenben lévő egyenesre megy .

Tulajdonságok

Az izotómiás konjugáció involúció , vagyis a négyzete triviális .

Az izotómikus konjugáció fix pontjai (azaz önmagukban átmenő) a háromszög súlypontja (más nevek: baricentrum vagy tömegközéppont, azaz a mediánok metszéspontja) és a háromszög csúcsaira szimmetrikus pontok. háromszög a szemközti oldalak felezőpontjaihoz képest. $ABC$
A Gergonne és Nagel pontok izotómiailag konjugáltak .
A háromszög Lemoine -pontja (a szimmediánok metszéspontja) izotómiailag konjugált a Brocard-pontjához .
A felezők metszéspontja ( incenter ) izotómiailag konjugált az antifelezők metszéspontjához ,
Az izotómikus konjugáció alatt álló háromszög általános helyzetű vonalai a körülötte leírt kúp alakúakká válnak , és fordítva.

Izotómiás konjugáció

Definíció

Koordináták

Egyéb meghatározás

Tulajdonságok

Lásd még

Linkek