Hajlítás (mechanika)

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2019. február 7-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 7 szerkesztést igényelnek .

Hajlítás - az anyagok ellenállásában az alakváltozás egy fajtája , amelyben az egyenes rudak tengelyeinek görbülete vagy ívelt rudak tengelyeinek görbülete megváltozik, a középső felület görbülete / görbülete megváltozik. a tányért vagy a héjat. A hajlítás a gerenda vagy a héj keresztmetszete hajlítónyomatékaihoz kapcsolódik. A gerenda közvetlen hajlítása akkor következik be, amikor a hajlítási nyomatékegy adott keresztmetszetben a gerenda a szakasz egyik fő központi tehetetlenségi tengelyén áthaladó síkban hat. Abban az esetben, ha a hajlítónyomaték hatássíkja a gerenda adott keresztmetszetében nem halad át ennek a szakasznak egyik fő tehetetlenségi tengelyén sem, a hajlítást ferdenek nevezzük .

Ha egyenes vagy ferde hajlításnál csak egy hajlítónyomaték hat a gerenda keresztmetszetében, akkor tiszta egyenes vagy tiszta ferde hajlításról van szó . Ha a keresztmetszetben keresztirányú erő is hat, akkor keresztirányú egyenes vagy keresztirányú ferde kanyar van .

Az "egyenes" kifejezést gyakran nem használják a közvetlen tiszta és közvetlen keresztirányú hajlítás elnevezésében, és ezeket tiszta hajlításnak és keresztirányú hajlításnak nevezik.

A sugárhajlítás klasszikus elmélete ( Euler - Bernoulli elmélet )

Ez az elmélet a gerendák és keretek analitikai számításainak alapja.

Fő hipotézisek

Síkmetszet-hipotézis (Bernoulli hipotézise): Azok a gerendaszakaszok, amelyek síkbeliek és a tengelyre merőlegesek az alakváltozás előtt, síkbeliek és a gerenda hajlított tengelyére merőlegesek deformáció után. Így a rétegek egymáshoz viszonyított nyírási deformációját nem vesszük figyelembe. Az egyetlen feszültség ebben az elméletben az axiális feszültség ; $\sigma _{z}$

Feltételezzük, hogy az elmozdulások és deformációk kicsik. Feltételezzük, hogy a gerenda nyújthatatlan;

A gerenda szakasz méreteit a gerenda tengelyének görbületi sugarához képest kicsinek kell tekinteni;

Az anyagot a Hooke-törvény szerint lineárisan rugalmasnak tekintjük .

Az erőtényezőket feszültségekhez és alakváltozásokhoz kapcsolódó egyenletek levezetése

Geometriai arányok

A fő hipotézisekből az következik, hogy az alakváltozás a szelvény magassága mentén lineáris törvény szerint oszlik el. Hooke törvénye szerint $\varepsilon_{z}$

\sigma _{z}=E\varepsilon _{z}

vagyis a feszültségek is lineárisan oszlanak el.

A gerenda metszetében (sík esetben) hajlítónyomaték , keresztirányú és hosszanti erő keletkezik . Külső elosztott terhelés hat a szakaszra . $M_{x}$ $Q_{y}$ $N$ $q$

Tekintsünk két szomszédos szakaszt, amelyek egymástól távol helyezkednek el. A deformált állapotban egymáshoz képest szögben elfordulnak . Mivel a felső rétegek feszítettek, az alsók pedig összenyomódnak, nyilvánvaló, hogy van egy semleges réteg , amely feszítetlenül marad. Az ábrán pirossal van kiemelve. A semleges réteg görbületi sugarának változását a következőképpen írjuk le: $dz$ $d\théta$

{\frac {1}{\rho }}={\frac {d\theta }{dz}}

A semleges tengelytől távol eső AB szakasz hosszának növekedését a következőképpen fejezzük ki: $y$

\Delta l=(y+\rho )d\theta -\rho d\theta =yd\theta

Tehát a deformáció:

\varepsilon _{z}={\frac {\Delta l}{l))={\frac {yd\theta }{\rho d\theta }}={\frac {y}{\rho }}

Teljesítményarányok

Feszültség ( Hooke törvénye szerint ):

\sigma _{z}=E\varepsilon _{z}=E{\frac {y}{\rho }}

Kössük össze a feszültséget a szakaszban fellépő erőtényezőkkel. Az axiális erőt a következőképpen fejezzük ki:

N=\int \limits _{A}^{{\color {White}.}}{\sigma _{z}}\,dA=\int \limits _{A}^{{\color {White}. }}{E{\frac {y}{\rho }}}\,dA={\frac {E}{\rho }}\int \limits _{A}^({\szín {Fehér}}.} } y\,dA

Az utolsó kifejezés integrálja a szakasz tengely körüli statikus nyomatéka . Tengelynek szokás venni a szakasz központi tengelyét, úgy, hogy $x$ $x$

S_{x}=\int \limits _{A}^{{\color {White}.}}y\,dA=0

Így, . A hajlítási nyomatékot a következőképpen fejezzük ki: $N=0$

M_{x}=\int \limits _{A}^({\color {White}.}}{\sigma _{z}y}\,dA={\frac {E}{\rho }}\int \limits _{A}^{{\color {White}.}}{y^{2}}\,dA={\frac {E}{\rho }}J_{x}

ahol a szakasz tehetetlenségi nyomatéka a tengely körül . $J_{x}=\int \limits _{A}^{{\color {White}.}}{y^{2}}\,dA$ $x$

A szakasz feszültségei is pillanatnyilag csökkenthetők . Ennek elkerülése érdekében a következő feltételnek kell teljesülnie: $Az én}$

M_{y}={\frac {E}{\rho }}\int \limits _{A}^({\color {White}}.}}{yx}\,dA={\frac {E}{ \ rho }}J_{{xy}}=0

vagyis a centrifugális tehetetlenségi nyomatéknak nullának kell lennie, a tengelynek pedig a szakasz egyik főtengelyének kell lennie. $y$

Így a gerenda hajlított tengelyének görbülete a hajlítási nyomatékhoz kapcsolódik a következő kifejezéssel:

{\frac {1}{\rho }}={\frac {M_{x}}{EJ_{x}}}

A feszültségek eloszlását a szakasz magassága mentén a következő képlet fejezi ki:

\sigma ={\frac {M_{x}}{J_{x}}}y

A szakasz maximális feszültségét a következő képlet fejezi ki:

\sigma _{{max}}={\frac {M_{x}}{J_{x}}}{\frac {h}{2}}={\frac {M_{x}}{W_{x} }}

ahol a szakasz hajlítási ellenállásának pillanata, a gerenda szakasz magassága. $W_{x}={\frac {J_{x}}{{\frac {h}{2}}}}$ $h$

Az egyszerű szakaszok (kerek, téglalap alakú) és értékeket analitikusan számítják ki . Kör alakú metszethez, amelynek átmérője : $J_{x}$ $W_{x}$ $d$

$J_{x}={\frac {\pi d^{4}}{64}}$

$W_{x}={\frac {\pi d^{3}}{32}}$

Téglalap alakú szakasz magasságához és szélességéhez $h$ $b$

$J_{x}={\frac {bh^{3}}{12}}$

$W_{x}={\frac {bh^{2}}{6}}$

Bonyolultabb szakaszok esetén (például csatorna , I-sugár ), amelyek szabványos méretekkel rendelkeznek, ezeket az értékeket a referencia irodalom tartalmazza.

Egy szakaszon a hajlítónyomatékot metszetmódszerrel (ha a gerenda statikailag meghatározott) vagy erő/elmozdulás módszerekkel kaphatjuk meg.

Az egyensúlyi differenciálegyenletek. Az elmozdulások meghatározása

A hajlítás során fellépő fő elmozdulások a tengely irányú elhajlások . Ezeket a szakaszon lévő hajlítónyomatékhoz kell társítani. Írjuk fel az elhajlásokat és az íves tengely görbületét összekötő pontos összefüggést: $v$ $y$

{\frac {1}{\rho }}={\frac {v''}{(1+v'^{2})^{{{\frac {3}{2}}}}}}

Mivel az elhajlásokat és az elfordulási szögeket kicsinek feltételezzük, az érték

v'^{2}=\left({\mathrm {tg}}\,(\theta )\right)^{2}\approx \theta ^{2}

kicsi. Következésképpen,

{\frac {1}{\rho }}\approx v''

Eszközök,

v''={\frac {M_{x}}{EJ_{x}}}

Írjuk fel a tengely irányú szakaszának egyensúlyi egyenletét : $y$

Q_{y}+qdz-Q_{y}-dQ_{y}=0\Rrightarrow {\frac {dQ}{dz}}=q

Felírjuk a tengely körüli nyomatékegyensúlyi egyenletet : $x$

M_{x}+Q\,dz+q\,dz{\frac {\,dz}{2}}-M_{x}-\,dM_{x}=0

A mennyiség 2. kicsinységi sorrendű és eldobható. Következésképpen, $q\,dz{\frac {\,dz}{2))$

{\frac {\,dM_{x}}{\,dz}}=Q_{y}

Így 3 differenciálegyenlet létezik. Hozzájuk adjuk az elmozdulások egyenletét:

{\frac {\,dv}{\,dz))={\mathrm {tg))\,\theta \kb. \theta

Vektor-mátrix formában a rendszer a következőképpen van felírva:

{\frac {\,d\overrightarrow {Z}}{\,dz}}+A\overrightarrow {Z}=\overrightarrow {b}

ahol

A={\begin{Bmatrix}0&0&0&0\\-1&0&0&0\\0&-\displaystyle {\frac {1}{EJ_{x}(z)))&0&0\\0&0&-1&0\end{Bmátrix))

Rendszerállapot vektor:

\overrightarrow {Z}=(Q,M,\theta ,v)^{T}

Külső terhelési vektor:

\overrightarrow {b}=(q,0,0,0)^{T}

Ezzel a differenciálegyenlettel kiszámítható a hossz mentén változó metszetű tehetetlenségi nyomatékkal rendelkező többtámaszú gerendák és összetett módon elosztott terhelések. Az egyszerű gerendák kiszámításához egyszerűsített módszereket használnak. Az anyagok ellenállásában a statikailag meghatározott gerendák számításánál a hajlítónyomatékot metszetmódszerrel találjuk meg. Az egyenlet

v''={\frac {M_{x}}{EJ_{x}}}

kétszer integrálva:

v'=\theta (z)=\int {\frac {M_{x}(z)}{EJ_{x}}}\,dz+C_{1}

v(z)=\int \left(\int {\frac {M_{x}(z)}{EJ_{x}}}\,dz\right)\,dz+C_{1}z+C_{2 }

A , konstansok a gerendára szabott peremfeltételekből származnak. Tehát az ábrán látható konzolos gerendákhoz : $C_{1}$ $C_{2}$

M_{x}(z)=-P(Lz)

\theta (z)=-PL{\frac {z}{EJ_{x}}}+P{\frac {z^{2}}{2EJ_{x}}}+C_{1}

v(z)=-PL{\frac {z^{2}}{2EJ_{x}}}+P{\frac {z^{3}}{6EJ_{x}}}+C_{1}z+ C_ {2}

Határfeltételek:

\theta (0)=0\Rjobbra C_{1}=0

v(0)=0\Rrightarrow C_{2}=0

Ily módon

\theta (z)=-PL{\frac {z}{EJ_{x}}}+P{\frac {z^{2}}{2EJ_{x}}}

v(z)=-PL{\frac {z^{2}}{2EJ_{x}}}+P{\frac {z^{3}}{6EJ_{x}}}

Timosenko elmélete a sugárhajlításról

Ez az elmélet ugyanazokon a hipotéziseken alapul, mint a klasszikus, de a Bernoulli-hipotézis módosul: feltételezzük, hogy azok a szakaszok, amelyek az alakváltozás előtt laposak és merőlegesek voltak a gerenda tengelyére, laposak maradnak, de megszűnnek az íves tengellyel normálisak lenni. Így ez az elmélet figyelembe veszi a nyírófeszültséget és a nyírófeszültséget. A nyírófeszültségek figyelembevétele nagyon fontos a kompozitok és faalkatrészek számításánál, mivel ezek megsemmisülése a kötőanyag nyírás közbeni tönkremenetele miatt következhet be.

Főbb függőségek:

M=EJ{\frac {\,d\theta }{\,dz))

Q={\frac {GF}{\alpha }}\left(\theta -{\frac {\,dv}{\,dz}}\jobb)

ahol a gerenda anyagának nyírási modulusa , a keresztmetszeti területe, olyan együttható, amely figyelembe veszi a nyírófeszültségek egyenetlen eloszlását a szakaszon, és annak alakjától függ. Érték $G$ $F$ $\alpha$

\gamma =\theta -{\frac {\,dv}{\,dz))

a nyírási szög.

Gerendák hajlítása rugalmas alapon

Ez a tervezési séma szimulálja a vasúti síneket , valamint a hajókat (az első közelítésben).

Az elasztikus alapot egymáshoz nem kapcsolódó rugók halmazának tekintjük.

A legegyszerűbb számítási módszer a Winkler -hipotézisen alapul : egy rugalmas alap reakciója arányos az elhajlással egy pontban, és arra irányul:

$p=-k\cdot v$

hol van az elhajlás; $v$

$p$ - reakció (a sugár egységnyi hosszára vonatkoztatva);

$k$ - arányossági együttható (úgynevezett ágyegyüttható ).

Ebben az esetben az alapot kétoldalasnak tekintjük, vagyis a reakció akkor következik be, amikor a gerendát az alapba nyomják, és amikor elválik az alaptól. Bernoulli sejtése igaz.

A rugalmas alapon lévő gerenda hajlításának differenciálegyenlete a következő:

${\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\left(EJ_{x}(z){\frac {d^{2}v}{dz^{2}}} \jobbra)+k(z)\cdot v=q(z)$

hol van az elhajlás; $v(z)$

$EJ_{x}(z)$ - hajlítási merevség (amely a hossz mentén változtatható);

$k(z)$ - hossz mentén változó ágyegyüttható;

$q(z)$ - megosztott terhelés a gerendán.

Állandó merevség és ágyazati együttható mellett az egyenlet a következőképpen írható fel:

$EJ_{x}{\frac {d^{4}v}{dz^{4}}}+k\cdot v=q(z)$

vagy

${\frac {d^{4}v}{dz^{4}}}+4m^{4}\cdot v=q(z)$

ahol jelezték

${\displaystyle 4m^{4}={\frac {k}{EJ_{x))))$

Nagy görbületű sugár hajlítása

Olyan gerendák esetében, amelyek tengelyének görbületi sugara arányos a metszet magasságával , azaz: $\rho _{0}$ $h$

${\frac {h}{\rho _{0}}}>0.2$

a feszültségek magassági eloszlása eltér a lineáristól, és a semleges vonal nem esik egybe a szelvény tengelyével (amely átmegy a szakasz súlypontján ). Ilyen számítási sémát használnak például a láncszemek és a darukorgok kiszámításához .

A feszültségeloszlás képlete a következő:

$\sigma ={\frac {M}{F\cdot e}}\cdot {\frac {y}{R+y}}$

hol van a hajlítási nyomaték a szakaszon; $M$

$R$ a semleges metszetvonal sugara;

$F$ - keresztmetszeti terület;

$e=R_{0}-R$ - excentricitás ;

$y$ - koordináta a szakasz magassága mentén , a semleges vonaltól számítva.

A semleges vonal sugarát a következő képlet határozza meg:

$R=\int {\frac {\,dF}{u}}=\int \limits _{R_{1}}^{R_{2}}{\frac {b(u)\,du} {u}}$

Az integrál átveszi a keresztmetszeti területet, a koordinátát a görbületi középponttól mérjük. Hozzávetőleges képletek is érvényesek: $u$

$e={\frac {J_{x}}{R_{0}\cdot F}}$

$r_{0}=R_{0}-{\frac {J_{x}}{R_{0}\cdot F}}$

Az általánosan használt keresztmetszetekhez analitikai képletek állnak rendelkezésre. Egy téglalap alakú szakaszhoz, amelynek magassága : $h$

$R={\frac {h}{\ln \displaystyle {\frac {R_{0}+{\frac {h}{2))}{R_{0}-{\frac {h}{2 )))))))={\frac {h}{\ln \displaystyle {\frac {R_{2}}{R_{1}}}}}$

ahol a gerenda belső és külső felületének görbületi sugara, ill. $R_{1},R_{2}$

Kerek szakaszhoz:

$R={\frac {R_{0}+{\sqrt {R_{0}^{2}-r^{2)))){2))$

hol van a szakasz sugara. $r$

Nyaláb erősségének ellenőrzése

A legtöbb esetben a gerenda szilárdságát a megengedett legnagyobb feszültségek határozzák meg:

{\displaystyle \sigma _{max}<{\frac {\sigma _{T}}{n_{T))))

ahol a gerenda anyagának folyáshatára, a folyásbiztonsági tényező . Törékeny anyagokhoz: $\sigma _{T}$ $n_{T}$

{\displaystyle \sigma _{max}<{\frac {\sigma _{b}}{n_{b))))

ahol a gerenda anyagának szakítószilárdsága , a biztonsági tényező. $\sigma _{b}$ $n_{b}$

A műanyagok esetében ezek a képletek jelentősen alábecsülhetik annak a terhelésnek az értékét, amelynél a gerenda elveszíti teherbíró képességét. Valójában a teherbírás csak akkor vész el, ha bármelyik szakaszon a teljes anyag képlékeny állapotba kerül. Ekkor elfogadhatatlan elmozdulások léphetnek fel a szakaszon (ún. műanyag zsanér alakul ki ). Ha a Prandtl -diagramot húzó-nyomó diagramnak vesszük, akkor egy szélességű és magasságú téglalap alakú rúd korlátozó hajlítónyomatékát a következő képlet fejezi ki: $M_{{pr}}$ $b$ $h$

M_{{pr}}={\frac {1}{4}}bh^{2}\sigma _{T}

A gerendák dinamikus terhelése

Természetes oszcillációk

Vegyünk egy gerendát anyagsűrűséggel , keresztmetszeti területtel és hajlítási merevséggel . A természetes oszcillációk egyenlete a következőképpen alakul: $\rho$ $A$ $EJ$

${\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\left(EJ{\frac {\partial ^{2}x}{\partial z^{2}}} \jobbra)+m_{0}{\frac {\partial ^{2}x}{\partial t^{2))}=0$

ahol a keresztirányú elmozdulás, a rúd egységnyi hosszára eső tömege . A megoldást a következő formában keresik: $x(z,t)$ $m_{0}=\rho A$

$x(z,t)=u(z)\cos(pt+\phi )$

Behelyettesítve a szokásos differenciálegyenletet kapjuk :

${\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\left(EJ{\frac {d^{2}u}{dz^{2}}}\right)-m_{ 0}p^{2}u=0$

Állandó keresztmetszetű gerenda esetén a következő alakra konvertálódik:

${\frac {d^{4}u}{dz^{4}}}-\alpha ^{4}u=0$

ahol

$\alpha ^{4}={\frac {p^{2}m_{0}}{EJ}}$

Kényelmes a megoldás bemutatása a Krylov függvényekkel :

$u=\sum _{i=1}^{4}C_{i}K_{i}(\alpha z)$

hol vannak a Krylov függvények:

$K_{1}(\alpha z)={\frac {1}{2))(\operátornév {ch} \alpha z+\cos \alpha z)$

$K_{2}(\alpha z)={\frac {1}{2))(\operátornév {sh} \alpha z+\sin \alpha z)$

$K_{3}(\alpha z)={\frac {1}{2))(\operátornév {ch} \alpha z-\cos \alpha z)$

$K_{4}(\alpha z)={\frac {1}{2))(\operátornév {sh} \alpha z-\sin \alpha z)$

a állandóak. $C_{i}$

Krylov függvényeit függőségek kapcsolják össze:

${\frac {d}{dz}}K_{1}(\alpha z)=\alpha K_{4}(\alpha z)$

${\frac {d}{dz}}K_{2}(\alpha z)=\alpha K_{1}(\alpha z)$

${\frac {d}{dz}}K_{3}(\alpha z)=\alpha K_{2}(\alpha z)$

${\frac {d}{dz}}K_{4}(\alpha z)=\alpha K_{3}(\alpha z)$

Ezek a függőségek nagymértékben leegyszerűsítik a gerendák peremfeltételeinek megírását:

$C_{1}=u_{z=0};C_{2}={\frac {1}{\alpha }}\left({\frac {du}{dz}}\right)_{z =0};C_{3}={\frac {1}{EJ\alpha ^{2}}}M_{z=0};C_{4}={\frac {1}{EJ\alpha ^{3 }}}Q_{z=0}$

A gerenda mindkét végén két peremfeltétel van megadva.

A természetes rezgések egyenletének végtelen sok megoldása van. Ugyanakkor általában csak az első néhány, a legalacsonyabb természetes frekvenciának megfelelő néhány gyakorlati érdekesség.

A természetes frekvencia általános képlete a következő:

$p_{k}=\lambda _{k}^{2}{\sqrt {\frac {EJ}{m_{0}l^{4))))$

Egyfesztávú gerendák esetén:

Lehorgonyzás		$\lambda_k$
Bal vége	Jobb vég	$\lambda_k$
megszüntetése	megszüntetése	$\lambda _{1}=4,73;$ $\lambda _{2}=7,853;$
Ingyenes	Ingyenes	$\lambda _{1}=0;$ $\lambda _{2}=0;$ k>2 esetén $\lambda _{k}={\frac {2k+1}{2}}\pi ;$
megszüntetése	Artikulált	$\lambda _{1}=3 927;$ $\lambda _{2}=7069;$ k>2 esetén $\lambda _{k}={\frac {4k+1}{4}}\pi ;$
Artikulált	Artikulált	$\lambda _{k}=k\pi$
megszüntetése	Ingyenes	$\lambda _{1}=1875;$ $\lambda _{2}=4 694;$ k>2 esetén $\lambda _{k}={\frac {2k-1}{2}}\pi ;$

Kényszerrezgések

Hajlító héjak

Lásd még

Hajlítási megnyúlás

Irodalom

Biderman VL Mechanikai oszcillációk elmélete: Tankönyv középiskolák számára. - M .: Magasabb. Iskola, 1980. - 408 p.
Feodosiev V.I. Anyagellenállás . - M .: MSTU kiadó im. N. E. Bauman, 1999

Linkek

Tervezési adatok állandó keresztmetszetű szabványos gerendákhoz