Tű probléma

A tűprobléma az, hogy meghatározzuk egy figura minimális területét egy olyan síkon, amelyben egyetlen szegmens, a "tű" 180 fokkal elforgatható, és fordított tájolással visszaállíthatja eredeti helyzetébe. Ezt 1/2 sugarú körben lehet megtenni. Egy másik példa - egy deltoid által határolt figura - látható a képen, ennek kisebb a területe.

Kiderült, hogy tetszőlegesen kis területtel is lehet figurát szerkeszteni.

Történelem

Ezt a kérdést Kakeya vette figyelembe . Bebizonyította, hogy konvex régiók esetén a minimális területet egy 1 magasságú egyenlő oldalú háromszög éri el . Területe [1] .

Talán Kakeya azt is feltételezte, hogy egy deltoid által határolt alaknak van a legkisebb területe, mint az ábrán is. Ezt az állítást Besikovich cáfolta .

A Besicovitch készlet

Besikovich megszerkesztett egy kompakt nulla mértékhalmazt, amely bármely irányú egységszegmenst tartalmazott.

Ebből könnyen következik, hogy a tű tetszőlegesen kis területű alakban kihajtható. Valójában könnyen belátható, hogy az egységkör szektorokra osztható, és egy párhuzamos fordítással a halmaz tetszőlegesen kis környezetébe helyezhető .

Vegye figyelembe, hogy az egységszegmens tetszőlegesen kis területű ábrán párhuzamos egyenesre mozgatható. Ezért egy szegmens elforgatásával az egyik szektorban a másikba húzható, áthaladva egy tetszőlegesen kis terület halmazán; ezt a műveletet többször megismételve megkapjuk a szükséges fordulatot.

Változatok és általánosítások

• Besikovich konstrukciójában, mivel egy figura területe nullára hajlik, az átmérője a végtelenre hajlik. 1941-ben H. J. Van Alphen megmutatta [2] , hogy egy tűt egy tetszőlegesen kis területű alakban is el lehet helyezni, amely egy 2 + ε sugarú körön belül van (tetszőleges ε > 0 esetén).

• Vannak egyszerűen összekapcsolt megfelelő (amelyben a tű forgatható) készletek, amelyek területe kisebb, mint a deltoid által határolt ábra.
  • Ilyen példákat találtak 1965-ben. Melvin Bloom és I. Yu. Schoenberg megmutatta, hogy területük tetszőlegesen közel tehető .
  • 1971-ben Cunningham kimutatta [3] , hogy bármely ε > 0 esetén létezik egy megfelelő egyszerűen összefüggő alakzat, amelynek területe kisebb, mint , és egy 1 sugarú körben található.

• Egy Besicovitch-halmazt definiálunk R n - ben , mint nulla mérték halmazát, amely bármely irányú egységszegmenst tartalmaz (az ilyen halmazt Kakeya halmaznak vagy Kakeya halmaznak is nevezik). Az úgynevezett Kakeya-sejtés azt állítja, hogy a Besicovitch-halmazok n dimenzióval rendelkeznek ( Hausdorff és Minkowski szerint ), azaz megegyezik a környezeti tér dimenziójával.
  • Kakei sejtése az 1. és 2. dimenzióban igaz [4] .
  • Wolff megmutatta [5] , hogy egy n - dimenziós térben a Besicovitch halmaz dimenziója legalább ( n + 2)/2 legyen.
  • 2002-ben Katz és Tao javította Wolff becslését [6] , megmutatva, hogy a dimenzió nem lehet kisebb, mint . Ez a becslés n > 4 esetén jobb.

• Egy ( n , k )-Besicovitch-halmazt úgy definiálunk , mint egy kompakt halmazt R n -ben a nulla mértékegységben, amely minden k - dimenziós irányban tartalmaz egy k - dimenziós egységkorongot. Sejtés az ( n , k )-Besicovitch halmazokról: ( n , k )-Besicovitch halmazok nem léteznek k > 1 esetén.
  • 1979-ben Marstrand bebizonyította [7] , hogy nincs (3, 2)-Besicovitch halmaz.
  • Körülbelül ugyanebben az időben Faulkner bebizonyította [8] , hogy 2 k > n esetén nincs ( n , k )-halmaz .
  • Az eddigi legjobb becslés Bourgainéé, aki bebizonyította [9] , hogy 2 k -1 + k > n halmazok nem léteznek.

• 1997-ben [10] és 1999 -ben [11] Wolff bebizonyította, hogy a tetszőleges sugarú gömböt tartalmazó halmazoknak teljes dimenzióval kell rendelkezniük, vagyis a környezeti tér dimenziójával.

• Elias Stein bebizonyította [12] , hogy minden olyan halmaznak, amely minden pont körül gömböt tartalmaz, pozitív mértékkel kell rendelkeznie n ≥ 3 esetén, Marstrand pedig ugyanezt bizonyította [13] n = 2 esetre .

• 1999-ben Wolff megfogalmazta a tűprobléma analógját véges mezőkre . Legyen F  véges mező. A K ⊆ F n halmazt Besicovitch-halmaznak nevezzük, ha minden y ∈ F n vektorhoz létezik x ∈ F n úgy, hogy K tartalmazza az összes { x + ty  : t ∈ F } alakú vektort.

• Tűprobléma a térben véges mező felett : A K elemeinek száma legalább c n | F | n , ahol c n >0 egy olyan állandó, amely csak n -től függ .
• Dvir [14] [15] bebizonyította ezt a sejtést c n = 1/ n !-re a következő érveléssel. Dvir megjegyezte, hogy minden olyan polinom, amelynek n fokos változója kisebb, mint | F |, amely egyenlő nullával a Besicovitch halmazban, azonosan nullával kell egyenlőnek lennie. Másrészt olyan polinomok, amelyek n fokváltozója kisebb, mint | F | dimenziós vektorteret alkotnak

Ezért létezik legalább egy nem triviális polinom, amelynek mértéke |-nél kisebb F |, amely egyenlő nullával egy tetszőleges, kisebb számú ponthalmazon. Ezért a Besikovich-készletnek legalább | F | n / n ! pontokat. Dvir írt egy áttekintést erről a problémáról. [tizennégy]

Alkalmazások

• 1971-ben Fefferman a Besicovitch-halmaz konstrukcióját használta [16] annak kimutatására, hogy 1-nél nagyobb dimenziók esetén a csonka Fourier-integrálok, amelyek az origó középpontjában végtelenbe hajló sugarú golyókat vettek át, nem konvergálnak az L p normában p ≠ esetén . 2 (ellentétben az egydimenziós esettel, ahol az ilyen csonka integrálok konvergálnak).

Lásd még

• Deltoid
• Lebesgue probléma
• Sok Nikodémus

Jegyzetek

1. ↑ Pali, Julius. Ueber ein elementares variationsproblem // Kongelige Danske Videnskabernes Selskab Math.-Fys. Medd.. - 1920. - T. 2. - S. 1–35.
2. ↑ Alphen, HJ Uitbreiding van een stelling von Besicovitch // Mathematica Zutphen B. - 1942. - V. 10. - S. 144–157.
3. ↑ Cunningham, F. A Kakeya probléma egyszerűen csatlakoztatott és csillag alakú halmazokhoz // American Mathematical Monthly. - 1971. - T. 78, sz. 2. - S. 114-129. - doi : 10.2307/2317619 .
4. ↑ Davies, Roy. Néhány megjegyzés a Kakeya-problémához // Proc. Cambridge Philos. Soc .. - 1971. - T. 69, 1. sz. 3. - S. 417-421. - doi : 10.1017/S0305004100046867 .
5. ↑ Wolff, Thomas. Továbbfejlesztett korlát Kakeya típusú maximális függvényekhez // Rev. Mat. Iberoamericana. - 1995. - T. 11. - S. 651-674. - doi : 10.4171/rmi/188 .
6. ↑ Katz, Nets Hawk; Tao, Terence. A Kakeya-problémák új határai // J. Anal. Math.. - 2002. - T. 87. - S. 231-263. - doi : 10.1007/BF02868476 .
7. ↑ Marstrand, JM Packing Planes in R 3 // Mathematika. - 1979. - T. 26. szám. 2. - S. 180-183. - doi : 10.1112/S0025579300009748 .
8. ↑ Falconer, KJ K-sík integrálok és Besicovitch halmazok folytonossági tulajdonságai // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc .. - 1980. - T. 87, 1. sz. 2. - S. 221-226. - doi : 10.1017/S0305004100056681 .
9. ↑ Bourgin, Jean . Besicovitch típusú maximális operátorok és alkalmazások a Fourier-analízishez // Geom. Funkció. Anal.. - 1997. - 1. évf., szám. 2. - S. 147-187. - doi : 10.1007/BF01896376 .
10. ↑ Wolff, Thomas. Kakeya probléma körök számára // American Journal of Mathematics. - 1997. - T. 119. szám. 5. - S. 985-1026. - doi : 10.1353/ajm.1997.0034 .
11. ↑ Wolff, Thomas (1999).
12. ↑ Stein, Elias. Maximális függvények: gömb alakú eszközök // PNAS. - 1976. - T. 73. szám. 7. - S. 2174-2175. - doi : 10.1073/pnas.73.7.2174 . PMC 430482
13. ↑ Marstrand, JM Packing circles in the plane // Proceedings of the London Mathematical Society. - 1987. - T. 55. - S. 37–58. - doi : 10.1112/plms/s3-55.1.37 .
14. ↑ 1 2 Dvir, Zeev (2009).
15. ↑ Dvir bizonyítéka a véges mezőre Kakeya sejtés Archivált : 2016. május 3. a Wayback Machine -nél // Terence Tao (2008-03-24).
16. ↑ Fefferman, Charles. A labda szorzóproblémája // Annals of Mathematics. - 1971. - T. 94, sz. 2. - S. 330-336. - doi : 10.2307/1970864 .

Irodalom

• Yaglom IM , Boltyansky VG Konvex figurák . - M. - L. : GTTI, 1951. - 343 p. - (A matematikai kör könyvtára, 4. szám).

• Besicovitch, Abram (1963). "A Kakeya probléma". American Mathematical Monthly 70 (7): 697-706. doi : 10.2307/2312249 . JSTOR 2312249 . MR 0157266 .

• Dvir, Zeev (2009). "A véges mezőkben lévő Kakeya halmazok méretéről". Journal of the American Mathematical Society 22 (4): 1093-1097. arXiv : 0803.2336 . doi : 10.1090/S0894-0347-08-00607-3 . MR 2525780 .
• Falconer, Kenneth J. (1985). A fraktálhalmazok geometriája . Cambridge Tracts in Mathematics 85 . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-25694-1. MR 0867284 .
• Kakeya, Soichi (1917). "Néhány probléma a maximummal és a minimummal kapcsolatban az oválisokkal." Tohoku tudományos jelentések 6 :71-88.
• Katz, Nets Hawk; Łaba, Isabella; Tao, Terence (2000). "A Besicovitch-készletek Minkowski-dimenziójának továbbfejlesztett kötése " (PDF). Annals of Mathematics 152 (2): 383-446. doi : 10.2307/2661389 . JSTOR 2661389 . MR 1804528 .
• Wolff, Thomas (1999). "A Kakeya-problémával kapcsolatos legújabb munkák". Rossiban, Hugo. Kilátások a matematikában: Meghívott előadások a Princetoni Egyetem 250. évfordulója alkalmából . Providence, RI: American Mathematical Society. pp. 129-162. ISBN 978-0-8218-0975-4. MR 1660476 .
• Wolff, Thomas (2003). Łaba, Isabella; Shubin, Carol, szerk. Előadások a harmonikus elemzésről . Egyetemi előadássorozat 29 . Charles Fefferman előszavával és Łaba Izabella előszavával. Providence, RI: American Mathematical Society. doi : 10.1090/ulect/029 . ISBN 0-8218-3449-5. MR 2003254 .
• A Kakeya-probléma és összefüggések a harmonikus elemzéssel a British Columbia Egyetemen.
• Besicovitch az UCLA-n
• Kakeya tűprobléma a matematikai világban
• Besicovitch-Kakeya készletek bemutatása