Csíkfedési probléma

A csíkfedési probléma klasszikus probléma a kombinatorikus geometriában . A legegyszerűbb esetben így hangzik:

Bizonyítsuk be, hogy egy átmérőjű kört nem lehet lefedni olyan csíkokkal, amelyek teljes szélessége kisebb, mint .

d

d

A csíkos fedőprobléma olyan probléma példájaként ismert, amelynek megoldása során célszerű magasabb méretekre áttérni.

A bizonyításról

A feladat háromdimenziós változatában csíkok helyett párhuzamos síkok közötti területeket veszünk. A probléma ezen változatának megoldása könnyen következik abból a tényből, hogy a gömb alakú réteg oldalsó felületének területe csak a magasságától függ. A gömböt különösen nem lehet olyan rétegekkel befedni, amelyek teljes vastagsága kisebb, mint a gömb átmérője, ami azt jelenti, hogy egy gömb sem lehet.

Ebből a megfigyelésből rögtön következik a kétdimenziós eset. Ezt a megoldást Hugo Steinhaus javasolta .

Változatok és általánosítások

Tarski 1932-ben azt feltételezte, hogy ha egy domború alakot lefedhetünk 1 teljes szélességű csíkokkal, akkor egyetlen 1 szélességű csíkkal is. Töger Bang 1951-ben igenlő választ kapott. [egy]

A csíkok relatív szélességével kapcsolatos probléma következő verzióját javasolta Bang:

Tegyük fel, hogy egy konvex testet véges számú szélességű csík fed le , és a megfelelő irányú szélességek vannak . Bizonyítsd

K

{\displaystyle w_{1},\dots ,w_{n))

v_{1},\dots ,v_{n}

K

{\frac {w_{1}}{v_{1}}}+\dots +{\frac {w_{n}}{v_{n}}}\geq 1.

Lásd még

Monge tétele egy másik klasszikus példa egy olyan állításra, amelynek bizonyítása során hasznos a tér dimenziójának növelése.

Jegyzetek

↑ King, Jonathan L. Három probléma a mértéket keresve // Amer . Math. Havi : folyóirat. - 1994. - 1. évf. 101 . - P. 609-628 . - doi : 10.2307/2974690 .

Irodalom

I. M. Yaglom. T. Bang – V. Édeskömény. Konvex ábrák lefedésére vonatkozó feladat megoldása // Matem. megvilágosodás, ser. 2. - 1957. - 1. sz . - S. 214-218 . (Orosz)
R. Sándor. Probléma a vonalakkal és oválisokkal // The American Mathematical Monthly. - 1968. - 1. évf. 75 , sz. 5 . - P. 482-487 .
Bezdek, Károly. Tarski deszkaproblémája újragondolva // Geometria – intuitív, diszkrét és konvex. - 2013. - S. 45-64 .
Gardner, Richard. A relatív szélesség mértéke és a deszkaprobléma // Pacific Journal of Mathematics. - 1988. - 1. évf. 135. sz . 2 . - P. 299-312 .
Bang, Thøger (1950), Párhuzamos csíkokkal való burkolatról., Mat. Tidsskr. B. : 49–53
Bang, Thøger (1951), A „ deszkaprobléma” megoldása , Proc. amer. Math. szoc. 2. kötet (6): 990–993, doi : 10.2307 / 2031721 ,