Egységkör

Az egységkör egy 1 sugarú kör , amelynek középpontja az origóban van [1] . Ezt a fogalmat széles körben használják trigonometrikus függvények meghatározására és tanulmányozására .

Tulajdonságok és kapcsolódó fogalmak

Az egységkör belsejét egységkörnek nevezzük .

Az egységkör összes pontjának koordinátáira a Pitagorasz-tétel szerint az egyenlőség teljesül . Ez az egyenlőség az egységkör egyenletének tekinthető. $x^2 + y^2 = 1$

Trigonometrikus függvények

Az egységkör segítségével egyértelműen leírhatók a trigonometrikus függvények (egy ilyen leírás keretében az egységkört néha „ trigonometrikus körnek ” is nevezik, ami nem túl sikeres, mivel a kört veszik figyelembe, és nem a kör ).

A szinusz és a koszinusz a következőképpen írható le: ha az egységkör bármely pontját összekötjük az origóval , akkor egy olyan szakaszt kapunk, amely szöget zár be az abszcissza pozitív féltengelyéhez képest. Akkor azt kapjuk [2] : $(x, y)$ $(0, 0)$ $\alpha$

\cos\alpha = x

\sin\alpha = y

Ha ezeket az értékeket behelyettesítjük a köregyenletbe, a következőt kapjuk: $x^2 + y^2 = 1$

\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1

(A következő általános jelölést használjuk:. ) $\cos^2x = (\cos x)^2$

A trigonometrikus függvények periodicitása is világosan le van írva, mivel a szögnek megfelelő szakasz helyzete nem függ a „teljes fordulatok” számától:

\sin(x + 2\pi k) = \sin(x)

\cos(x + 2\pik) = \cos(x)

minden egész számra , azaz a . $k$ $k\in \mathbb Z$

Komplex sík

A komplex síkban az egységkör olyan komplex számok halmaza, amelyek modulusa 1:

{\displaystyle G=\{z:|z|=1\}=\{z:z=e^{i\phi },0\leqslant \phi <2\pi \))

Bármely nem nulla komplex szám egyedileg írható fel, ahol a szám modulusa 1, és ezért az egységkörhöz tartozik, $z$ $z=|z|u,$ $u$

A halmaz a komplex számok csoportjának részcsoportja szorzás útján. Viszont az algebrában fontos -edik egységfokú gyökök véges csoportjait tartalmazza , amelyek egy szabályos -gon csúcsait alkotják az egységkör mentén. $G$ $G$ $n$ $n$

Radián mértéke

A szög radián mértéke meghatározható annak az ívnek a hosszaként, amelyet egy adott szög az egységnyi körből kivág (a kör középpontja egybeesik a szög csúcsával) [3] .

Változatok és általánosítások

Az egységkör fogalmát a -dimenziós térre ( ) általánosítják, ebben az esetben " egységgömbről " beszélünk. $n$ $n>2$

Jegyzetek

↑ Mathworld .
↑ Gelfand et al., 2002 , p. 24-27.
↑ Gelfand et al., 2002 , p. 7-8.

Irodalom

Gelfand I. M. , Lvovsky S. M., Toom A. L. Trigonometria . - M. : MTSNMO, 2002. - 199 p. — ISBN 5-94057-050-X .

Linkek

Weisstein, Eric W. Unit Circle (angol) a Wolfram MathWorld weboldalán .

Trigonometria
Tábornok	Trigonometria áttekintése Sztori Használat Funkciók Fordított Ritkán használt Általánosított trigonometria
Könyvtár	Identitások Pontos állandók táblázatok egységkör
Törvények és tételek	Szinusztétel Pitagorasz tétel Koszinusz tétel Érintőtétel Kotangens tétel Háromszögek megoldása
Matematikai elemzés	Trigonometrikus helyettesítés Integrálok ( inverz függvények ) Származékok