Osztó (algebrai geometria)

Az algebrai geometriában az osztók valamely algebrai 1-es kóddimenziós változat részváltozatainak általánosítása. Két különböző ilyen általánosítás létezik - Weyl-osztók és Cartier-osztók ( André Weyl és Pierre Cartier nevéhez fűződik ), ezek a fogalmak egyenértékűek a fajták esetében ( vagy sémák ) szingularitások nélkül .

Weil osztók

Definíció

A Weyl-osztó egy algebrai variánson (vagy általánosabban egy Noether-sémán ) véges lineáris kombinációja , ahol irreducibilis zárt részhalmazok és egész együtthatók. Nyilvánvaló, hogy a Weyl-osztók Abel-csoportot alkotnak az összeadás tekintetében; ezt a csoportot hívják. Az alak osztóját egyszerűnek nevezzük , és azt az osztót, amelynek minden együtthatója nem negatív, effektívnek nevezzük . $x$ ${\sum _{i}n_{i}[Z_{i}]}$ $[Z_{i}]$ $x$ $n_{i}$ ${\mathrm {Weil}}\,X$ $[Z]$ $n_{i}$

Osztó osztálycsoport

Tegyük fel, hogy a séma teljes , elválasztható és szabályos az 1. kóddimenzióban (ezek a tulajdonságok különösen a sima algebrai változatokra érvényesek). Az 1. kóddimenzió szabályossága azt jelenti, hogy az 1. kóddimenzió bármely irreducibilis zárt részhalmazának lokális általános pontgyűrűje szabályos (és Noether-féle, mivel ez egy Noether-gyűrű lokalizációja ), és ezért diszkrét értékelési gyűrű . Bármely racionális függvénynek (a szabályos függvények gyűrűjének hányadosai mezőjének egyik eleme ) van valamilyen normája ebben a gyűrűben. Ha egy racionális függvény normája nagyobb nullánál valamely irreducibilis részhalmazra , akkor azt mondjuk, hogy a racionális függvénynek nulla van , ha pedig kisebb nullánál, akkor pólusa van. Mivel a séma Noether-féle, ebből az következik, hogy a racionális függvény normája csak véges számú irreducibilis részhalmaz esetén nem egyenlő nullával, így minden racionális függvényhez egy osztó tartozik, amelyet -vel jelölünk . Az így megszerezhető osztókat főosztóknak nevezzük . $x$ $x$ $K[X]$ $Y$ $Y$ $f)$

Mivel a főosztók alcsoportot alkotnak a -ben . A főosztók alcsoportja által alkotott faktorcsoportot osztó osztálycsoportnak nevezzük, és jelölése . Maga az osztó osztálycsoport egy érdekes sémainvariáns ( egy affin séma osztálycsoportjának trivialitása a gyűrű faktorialitása ismérve, feltéve, hogy Noether -féle és integráltan zárt ) [1] , és bizonyos esetekben, lehetővé teszi az összes egydimenziós köteg osztályozását egy adott séma szerint. $(fg)=(f)+(g)$ ${\mathrm {Weil}}\,X$ ${\mathrm {Cl}}\,X$ ${\mathrm {Spec}}A$ $A$ $A$

Weil osztók és vonalkötegek

Legyen sorköteg egy (teljes, Noether-féle, reguláris 1-es kóddimenziójú) séma felett ; a szabályos függvények gyűrűjével lokálisan izomorf szakaszok kötegének felel meg . Ezeket az izomorfizmusokat felhasználva egy adott köteg bármely racionális szakasza (vagyis valamely nyitott sűrű részhalmaz feletti szakasz) társítható a nullák és a pólusok osztójával, amelyet [2] -vel jelölünk . Két különböző racionális szakasz különbözik a racionális függvénnyel való szorzásban, ezért ez az összehasonlítás egy jól definiált leképezést határoz meg a Picard csoportból az osztó osztálycsoportba: . Azt is ellenőrizhetjük, hogy ez a leképezés homomorfizmus-e (az osztók összege a kötegek tenzorszorzatának felel meg), normál séma esetén injektív, a séma lokális faktorialitása esetén pedig szürjektív [3 ] . Mindezek a feltételek különösen a sima algebrai változatok esetében teljesülnek, ami a vonalkötegek osztályozását adja az izomorfizmusig. Például az összes egydimenziós köteg egy affin lokális faktoriális sémán triviális, mivel az osztó osztálycsoportja triviális. ${\mathcal L}$ $x$ $x$ $s$ ${\mathrm {div}}\,s$ ${\mathrm {div}}:{\mathrm {Pic}}\,X\to {\mathrm {Cl}}\,X$

Cartier osztók

Szingularitásokat tartalmazó tetszőleges sémákkal való munkavégzés esetén az 1. kóddimenziós részsokaság fogalmának egy másik általánosítása gyakran kényelmesebb [4] . Legyen egy sémának valamilyen lefedése affin sémákkal, és legyen a megfelelő racionális függvények családja (ebben az esetben a racionális függvény a hányadosok teljes gyűrűjének egy elemét jelenti). Ha ezek a függvények kompatibilisek abban az értelemben, hogy egy invertálható reguláris függvénnyel való szorzásban különböznek, akkor ez a család egy Cartier-osztót definiál . $U_{i}$ $x$ $f_{i}$ $U_{i}$ $f_{i}$ $f_{j}$ $U_{i}\sapka U_{j}$

Pontosabban, legyen a reguláris függvények gyűrűjének törteinek teljes gyűrűje (ahol egy tetszőleges affin [5] nyílt részhalmaz). Mivel az affin részhalmazok alkotják a topológia alapját , mindegyik egyedileg határoz meg egy elősort , és a megfelelő láncot jelöli . A Cartier-osztó a hányadossor globális szakasza , ahol megfordítható reguláris függvények kötege. Létezik egy pontos sorozat , a globális szakaszok bal oldali egzakt függvényét alkalmazva megkapjuk a pontos sorrendet . A leképezés képében elhelyezkedő Cartier-osztókat főosztóknak nevezzük . $K(U)$ ${\mathcal O}_{X}(U)$ $U$ $x$ $K(U)$ $x$ ${\mathcal K}_{X}^{*}$ ${\mathcal K}_{X}^{*}/{\mathcal O}_{X}^{*}$ ${\mathcal O}_{X}^{*}$ $0\–{\mathcal O}_{X}^{*}\–{\mathcal K}_{X}^{*}\–{\mathcal K}_{X}^{*}/{\mathcal O}_{X}^{*}\0-ra$ $0\–\Gamma (X,{\mathcal O}_{X}^{*})\–\Gamma (X,{\mathcal K}_{X}^{*})\–\Gamma (X, {\mathcal K}_{X}^{*}/{\mathcal O}_{X}^{*})\H^{1}(X,{\mathcal O}_{X}^{* })$ $\Gamma (X,{\mathcal K}_{X}^{*})$

Van egy természetes homomorfizmus a Cartier-osztók csoportjától (a csoportművelet a függvények szorzásának felel meg) a Weyl-osztók csoportjáig; ha egy teljes elkülöníthető Noether-séma, amelynek minden lokális gyűrűje faktoriális, akkor ez a leképezés izomorfizmus. Abban az esetben, ha a lokális faktorialitás feltétele nem teljesül, a Cartier-osztók lokálisan megfelelnek a fő Weyl-osztóknak (olyan osztóknak, amelyek valamely racionális függvény nulláiként vannak definiálva az egyes pontok szomszédságában). Egy példa a Weil-osztóra, amely nem Cartier-osztó, a csúcsán áthaladó másodfokú kúp egyenes. $x$ ${\mathbb R}[x,y,z]/(x^{2}+y^{2}-z^{2})$

A Cartier-osztó, akárcsak a Weyl-osztó, társítható egy vonalköteghez (vagy ennek megfelelően egy megfordítható köteghez ). A Cartier-osztók faktorcsoportjából a főosztók alcsoportján át a Picard-csoportba való leképezés injektív homomorfizmus, projektív vagy teljes sémák esetén pedig szürjektív.

Hatékony Cartier osztók

A Cartier-osztót akkor nevezzük hatásosnak, ha az azt meghatározó összes függvény reguláris a megfelelő halmazokon . Ebben az esetben az osztónak megfelelő invertálható köteg az ideálok kötege , vagyis az olyan függvények kötege, amelyek valamilyen zárt alsémán eltűnnek. Ezzel szemben ez a zárt alséma egyedileg definiál egy effektív osztót, így az effektív Cartier-osztók olyan zárt alsémákként definiálhatók, amelyek egy olyan függvény nullák halmazaként definiálhatók lokálisan, amely nem nullaosztó [6] . Egy teljes szétválasztható Noether-sémában, amelynek lokális gyűrűi faktoriálisak, az effektív Cartier-osztók pontosan megfelelnek az effektív Weyl-osztóknak [7] . $f_{i}$ $U_{i}$ $x$ $x$

Jegyzetek

↑ Hartshorne, 1981 , p. 174.
↑ Ravi Vakil , p. 388.
↑ Ravi Vakil , p. 389, 391.
↑ Hartshorne, 1981 , p. 185.
↑ Kleiman, 1979 .
↑ Ravi Vakil , p. 236, 396.
↑ Hartshorne, 1981 , p. 191.

Irodalom

R. Hartshorne. Algebrai geometria. - M .: Mir, 1981.
Kleiman, Steven. Tévhitek a K X -ről // L'Enseignment Mathématique. - 1979. - 25. sz . — P. 203-206. - doi : 10.5169/tömítések-50379 .

Linkek

Ravi Vakil. MATH 216: Az algebrai geometria alapjai (2013.11.06. verzió) . - az algebrai geometria kurzusának jegyzetei, a Stanford Egyetemen olvashatók.