Csoportos akció

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. április 15-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 4 szerkesztést igényelnek .

Egy csoportnak egy bizonyos objektumhalmazra gyakorolt hatása lehetővé teszi ezen objektumok szimmetriájának tanulmányozását a csoportelméleti apparátus segítségével .

Definíciók

Művelet maradt

Egy csoportról azt mondjuk, hogy balról cselekszik egy halmazon, ha adott a csoport homomorfizmusa a halmaz szimmetrikus csoportjára . A rövidség kedvéért gyakran úgy írják, hogy , vagy . A csoport elemeit ebben az esetben transzformációknak , magát a csoportot pedig halmaztranszformációs csoportnak nevezzük . $G$ $M$ $\Phi \kettőspont G\–S(M)$ $G$ $S(M)$ $M$ $(\Phi (g)) (m)$ $gm$ $g\cdot m$ $g{.}m$ $G$ $G$ $M$

Más szavakkal, a csoport balról cselekszik a halmazon, ha egy leképezést adunk , amelyet jelöl , úgy, hogy $G$ $M$ $G\-szer M\-től M-ig$ $(g,m)=gm$

$(gh)m=g(hm)$ mindenkinek és _ $g,\;h\in G$ $m\in M$
$em=m$ , ahol a csoport semleges eleme . Azt mondhatjuk, hogy a csoport egysége minden egyes saját elemének megfelel; az ilyen transzformációt azonosnak nevezzük . $e$ $G$ $M$

Akció jobb

Hasonlóképpen, egy csoport helyes műveletét a homomorfizmus adja meg , ahol a csoport inverz csoportja . Ilyenkor gyakran használják a rövidítést: . Ebben az esetben a homomorfizmus axiómáit a következőképpen írjuk fel: $G$ $M$ $\rho :G^{op}\ to S(M)$ $G^{{op}}$ $G$ $\rho (g)(m)=:mg$

$m(gh)=(mg)h,$
$én=m.$

Megjegyzések

Egy csoport bármely jobb művelete baloldali művelet . Továbbá, mivel minden csoport izomorf a saját inverz csoportjával (például a leképezés izomorfizmus ), így minden jobb oldali akcióból egy ilyen izomorfizmust használó bal oldali akciót kaphatunk. Ezért általában csak a bal oldali műveleteket tanulmányozzák. $G$ $G^{{op}}$ $g\mapsto g^{-1}$
Ha egy halmaz további struktúrával van ellátva, akkor általában azt feltételezik, hogy a leképezés megőrzi ezt a struktúrát. $M$ $m\mapsto gm$
- Például, ha egy topológiai tér , akkor azt folytonosnak (tehát homeomorfizmusnak) tételezzük fel. Az ilyen csoportos cselekvést pontosabban folyamatos cselekvésnek nevezzük . $M$ $m\mapsto gm$

Művelettípusok

Ingyenes , ha bármilyen más és minden elégedett . $g,\;h\in G$ $m\in M$ $gm\neq hm$
Tranzitív , ha létezik olyan, hogy . Más szóval, egy művelet tranzitív, ha bármely elemre nézve . $m,\;n\in M$ $g\in G$ $gm=n$ $Gm=M$ $m\in M$
- A primitív művelet tranzitív, és nem őriz meg nem triviális részhalmazokat . $M$
Hatékony , ha bármely két elemre létezik olyan , hogy . $g\neq h$ $G$ $m\in M$ $gm\neq hm$
Teljesen nem folytonos , ha bármely kompakt halmaznál véges mindazok halmaza, amelyeknél a metszéspont nem üres. $K$ $g\in G$ $K\cap gK$

A topológiai tereken és a sima sokaságokon külön figyelembe veszik a megfelelő további struktúrákkal felruházott csoportok tevékenységét is: topológiai csoportok és Lie csoportok . Egy topológiai csoport tevékenységét egy topológiai téren folytonosnak mondjuk, ha a topológiai terek közötti leképezés folytonos. Hasonló módon definiálható egy Lie csoport sima gyűjtőcsonkon történő sima működése . $\rho :G\to \mathrm {X}$

Egy csoport folytonos cselekvése egy téren merev (vagy kvázi -analitikus ), ha az a tény, hogy a csoport valamely eleme azonos leképezésként működik a tér valamely nyitott részhalmazán, arra utal, hogy ez a csoport identitáseleme.
- Az izometriák által egy összekapcsolt Riemann-sokaságon végzett bármilyen hatékony folytonos hatás szükségképpen merev, ami nem mondható el az általános metrikus terekről. Például egy 2-es rendű ciklikus csoport két élének permutációjával egy ugyanazon pontból származó három élből álló gráfon hatékony, de nem merev.
Egy csoport folytonos cselekvését kokompaktnak mondjuk , ha az e cselekvés hányadostere kompakt.

Keringések

Részhalmaz

Gm=\{gm\mid g\in G\}\Subset M

az elem pályájának nevezzük (néha jelöléssel ). $m\in M$ $\mathrm {Orb} (m)$

Egy csoport cselekvése egy halmazon egy ekvivalencia relációt határoz meg rajta $G$ $M$

\forall n,\;m\in M\;(n\,\sim _{_{G}}\,m)\Longleftrightarrow (\exists g\in G\;:\;gn=m)\Longleftrightarrow ( Gn=Gm).

Ebben az esetben az ekvivalencia osztályok az elemek pályái. Ezért, ha az ekvivalenciaosztályok teljes száma , akkor $k$

M=Gm_{1}\sqcup Gm_{2}\sqcup \ldots \sqcup Gm_{k},

ahol páronként egyenértékűek. Egy tranzitív akcióhoz . $m_{1},\;m_{2},\;\ldots ,\;m_{k}\in M$ $k=1$

Stabilizátorok

Részhalmaz

G_{m}=\{g\in G\mid gm=m\}\Subset G

a csoport egy alcsoportja , és stabilizátornak vagy az elem stacionárius alcsoportjának nevezik (néha jelöléssel ). $G$ $m\in M$ $\mathrm {Stab} (m)$

Egy pálya elemeinek stabilizátorai konjugáltak, vagyis ha , akkor van olyan elem , $n\,\sim _{_{G}}\,m$ $g\in G$

G_{m}=gG_{n}g^{-1}.

Egy pályán lévő elemek száma

|Gm|=[G:G_{m}]

, az elem stabilizátora és az alcsoport indexe , véges csoportok esetén egyenlő .

G_{m}

m

[G:G_{m}]

G_{m}\Subset G

{\frac {|G|}{|G_{m}|}}

A pálya mérete a következőképpen számítható ki:

\dim |Gm|=\dim |G|-\dim |G_{m}|

, ahol

$\dim |Gm|$ egy egyedi pálya mérete,

\dim |G_{m}|

a stabilizátor dimenziója, a Lie csoport mérete.

\dim |G|

Ha , akkor $M=Gm_{1}\sqcup Gm_{2}\sqcup \ldots \sqcup Gm_{k}$

|M|=\összeg _{t=1}^{k}[G:G_{m_{t}}]

a pályákra való kiterjesztési képlet .

Ez a képlet a következő azonosságokat is magában foglalja:

$\forall m\in M\;\sum _{n\in Gm}|G_{n}|=|G|;$
$\sum _{m\in M}|G_{m}|=k|G|;$
Burnside lemmája .

Példák műveletekre

Self Actions

Balra

A bal oldali önmaga elleni cselekvés a cselekvés legegyszerűbb példája. Ebben az esetben a homomorfizmust így adjuk meg . $M=G$ $\Phi :G\to S(G)$ $(\Phi (g))(h)=gh$

Jobb

A jobb oldali önmagára vonatkozó műveletet hasonlóképpen határozzuk meg: . $(\Phi (g))(h)=hg^{-1}$

Bal és jobb

Ez a két művelet a közvetlen szorzat alcsoportjainak műveletei az által adott homomorfizmussal . $G\-szer G$ $M=G$ $\Phi :G\szor G\-S(G)$ $(\Phi (g_{1},\;g_{2}))(h)=g_{1}hg_{2}^{-1}$

Ragozások

Legyen , és a homomorfizmust így adjuk meg . Ezenkívül minden elemnél a stabilizátor egybeesik a központosítóval : $M=G$ $\Phi :G\to S(G)$ $(\Phi (g))(h)=ghg^{-1}$ $h\in G$ $G_{h}$ $C(h)$

G_{h}=\{g\in G\mid ghg^{-1}=h\}=\{g\in G\mid gh=hg\}=C(h).

Például a csoport közepén lévő elemhez ( azaz ) van és . $h$ $G$ $h\in Z(G)$ $C(h)=G$ $G_{h}=G$

Változatok és általánosítások

Pszeudocsoport átalakítása

Lásd még

Csoportos nézet

Irodalom

Vinberg, E. B. Algebra tanfolyam. - 3. kiadás - M . : Factorial Press Kiadó, 2002. - ISBN 5-88688-0607 . .
Kostrikin, A. I. Bevezetés az algebrába. rész III. Alapvető szerkezetek. - 3. kiadás - M. : FIZMATLIT, 2004. - 272 p. - ISBN 5-9221-0489-6 . .