Kétoldalú Laplace transzformáció
A kétoldalas Laplace transzformáció egy integrál transzformáció , amely szorosan kapcsolódik a Fourier transzformációhoz , a Mellin transzformációhoz és a reguláris és egyoldalú Laplace transzformációhoz .
Definíció
Ha egy valós változó valós vagy összetett függvénye , akkor a kétoldalas Laplace-transzformációt a képlet adja meg
![t\in \mathbb {R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/592bced0c39b10fc90e74c6a66223abfbfb029de)
![{\displaystyle {\mathcal {B}}\left\{f(t)\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65ffe00b9669a74a5d23b141fd5971917f307c4b)
Ebben a definícióban az integrál helytelen és konvergens, ha vannak
Néha kétoldalas transzformációkat írnak az űrlapba
Általában egy változó lehet valós vagy összetett érték.
![t](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560)
Kapcsolat más integráltranszformációkkal
![{\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}={\mathcal {B}}\left\{f(t)u(t)\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc95c0678c67072279d9e8d446f4ba6f95aa73d6)
És fordítva: egy kétoldali átalakításból a képlet szerint megkaphatja a szokásosat
- A Mellin -transzformáció a kétoldalas Laplace-transzformációval fejezhető ki a képlettel
![{\displaystyle \left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f(e^{-x})\right\}(s) }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/058701ae1217a6c8cdafa7f55d46a1e1795b4c09)
És fordítva: a kétoldalas transzformációból a Mellin transzformációt kaphatja meg a képlet alapján
- A Fourier-transzformáció a kétoldalas Laplace-transzformációval definiálható a képlettel
Tulajdonságok
Irodalom
- LePage, Wilbur R. , Complex Variables and the Laplace Transform for Engineers , Dover Publications, 1980
- van der Pol, Balthasar és Bremmer, H., Operational Calculus Based on the Two-Sided Laplace Integral , Chelsea Pub. Co., 3. kiadás, 1987
Jegyzetek