Kétoldalú Laplace transzformáció

A kétoldalas Laplace transzformáció egy integrál transzformáció , amely szorosan kapcsolódik a Fourier transzformációhoz , a Mellin transzformációhoz és a reguláris és egyoldalú Laplace transzformációhoz .

Definíció

Ha egy valós változó valós vagy összetett függvénye , akkor a kétoldalas Laplace-transzformációt a képlet adja meg $f(t)$ $t\in \mathbb {R}$ ${\mathcal {B}}\left\{f(t)\right\}$

{\mathcal {B}}\left\{f(t)\right\}=F(s)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t )\,dt.

Ebben a definícióban az integrál helytelen és konvergens, ha vannak $\left\{{\begin{mátrix}\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt\\\\\int _{-\infty }^ {0}e^{-st}f(t)\,dt\end{mátrix}}\jobbra.$

Néha kétoldalas transzformációkat írnak az űrlapba

{\mathcal {T}}\left\{f(t)\right\}=s{\mathcal {B}}\left\{f\right\}=sF(s)=s\int _ {-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.

Általában egy változó lehet valós vagy összetett érték. $t$

Kapcsolat más integráltranszformációkkal

Ha a Heaviside-függvény , akkor a szokásos Laplace-transzformáció a kétoldalas képlettel fejezhető ki $u(t)$ $\mathcal{L}$

{\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}={\mathcal {B}}\left\{f(t)u(t)\right\}.

És fordítva: egy kétoldali átalakításból a képlet szerint megkaphatja a szokásosat

\left\{{\mathcal {B}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {L}}f(t)\right\}(s)+\left\{ {\mathcal {L}}f(-t)\right\}(-s).

A Mellin -transzformáció a kétoldalas Laplace-transzformációval fejezhető ki a képlettel

\left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f(e^{-x})\right\}(s)

És fordítva: a kétoldalas transzformációból a Mellin transzformációt kaphatja meg a képlet alapján

\left\{{\mathcal {B}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(s).

A Fourier-transzformáció a kétoldalas Laplace-transzformációval definiálható a képlettel

\left\{{\mathcal {B}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {F}}f\right\}(-is).

Tulajdonságok

A Laplace-transzformációk tulajdonságai

	Időtartomány	Egyoldali terület	Kétoldalú terület
Első származék	$f'(t)\$	$sF(s)-f(0)\$	$sF(s)\$
Második származék	$f''(t)\$	$s^{2}F(s)-sf(0)-f'(0)\$	$s^{2}F(ek)\$

Irodalom

LePage, Wilbur R. , Complex Variables and the Laplace Transform for Engineers , Dover Publications, 1980
van der Pol, Balthasar és Bremmer, H., Operational Calculus Based on the Two-Sided Laplace Integral , Chelsea Pub. Co., 3. kiadás, 1987

Kétoldalú Laplace transzformáció

Definíció

Kapcsolat más integráltranszformációkkal

Tulajdonságok

Irodalom

Jegyzetek