Pontrjagin kettősség
Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2018. május 18-án áttekintett verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .A Pontryagin kettősség a Fourier-transzformáció általánosítása lokálisan kompakt Abeli-csoportokra.
Épület
Legyen G egy lokálisan kompakt Abeli topológiai csoport . Ebben az esetben a G karaktercsoport ( a homomorfizmusok G - től U(1) -ig ) szintén lokálisan kompakt lesz, és Pontrjagin kettős csoportnak ( G^ ) nevezik.
Pontrjagin kettősségi tétele szerint a G^^ csoport kanonikusan izomorf G -vel , ami indokolja a dualitás kifejezés használatát . A „kanonikusan” szó azt jelenti, hogy van természetes leképezés G -ről G^^ -re , különösen funkcionális . Ez a leképezés a következőképpen van meghatározva:
Más szavakkal, G egy x eleme G ^-ből U (1) -be való leképezéshez van társítva , azaz G^^ eleméhez .
Motiváció
A Pontrjagin-kettősség egységesen leír számos jól ismert megfigyelést, amelyek a valós tengelyen vagy egy véges Abel-csoporton lévő függvényekkel kapcsolatosak:
- komplex értékű, kellően sima periodikus függvények a valós tengelyen egy Fourier-soros kiterjesztéssel rendelkeznek, és ebből a bővítésből visszaállíthatók
- a kellően sima komplex értékű függvények, amelyek kielégítik a valós vonalon a csökkenő függvény bizonyos feltételeit, Fourier-képet kapnak (ez a függvény a teljes valós vonalon is definiált), és abból visszaállíthatók
- A véges Abeli-csoport komplex értékű függvényeinek is van egy diszkrét Fourier-transzformációja , amely a duális csoport függvénye (a duális csoport izomorf az eredetivel, de nem kanonikus módon). Ismét egy funkció visszaállítható a képéből.
- az előző bekezdés jól ismert speciális esete, amikor egy függvényt és annak képét a Z_p maradékok gyűrűjén tekintjük. Ez az eset általában akkor értendő, amikor diszkrét Fourier transzformációról beszélünk .
Pontrjagin dualitáselmélete alapvetően azon az elméleten alapul, hogy a kettős csoportok lokálisan tömörítik az abeli csoportokat. Ez a kettősség sok tekintetben egy véges -dimenziós V vektortér és a V* kettős tér kapcsolatára emlékeztet . Nincs közöttük kanonikus izomorfizmus, de lineáris transzformációik algebrái ( mátrixalgebrák ) kanonikusan izomorfok (az izomorfizmus egy mátrix transzpozíciója ). Hasonlóképpen általános esetben nincs izomorfizmus a G csoport és a kettős G^ között, de csoportalgebráik izomorfak, és az őket összekötő kanonikus izomorfizmus a Fourier-transzformáció.
Példák
Példák a helyileg kompakt Abeli-csoportokra:
- R n , összeadás alapján csoportnak tekinthető.
- R + , a pozitív valós számok halmaza, amelyet szorzócsoportnak tekintünk. izomorf R -re .
- Bármely véges Abel-csoport diszkrét topológiával . Bármely ilyen csoport ábrázolható ciklikus csoportok szorzataként.
- Az összeadás által csoportnak tekintett Z egész számok halmaza .
- A p-adikus számok Z p mezője összeadás alatt álló csoportként a standard p-adikus topológiával.
Az U(1) csoport és az egész számok csoportja duális egymással, a valós és komplex számok ( additív ) csoportjai pedig duálisak önmagukkal. Minden véges Abel-csoport önduális is , különösen a véges ciklikus csoportok .
Measure Haar
A lokálisan kompakt csoportok egyik legfontosabb tulajdonsága, hogy egyedi (akár globális állandó) természetes mértékkel rendelkeznek, amelyet Haar mértéknek neveznek. Ezzel a mértékkel meghatározható a csoport Borel részhalmazainak "mérete". A borel részhalmazok a σ-algebra elemei , amelyeket G zárt részhalmazai generálnak .
Pontosabban, létezik egy egyedi (konstansig) jobb oldali Haar-mérték μ( Ax ) = μ( A ) jobb invarianciával. Itt x egy csoportelem, A pedig G Borel-részhalmaza .
A G -n bevezetett Haar-mérték lehetővé teszi, hogy bemutassuk a komplex értékű Borel-függvények egy csoporton definiált integráljának fogalmát. Konkrétan az L p tereket tekinthetjük a következőképpen definiáltnak:
Mivel a Haar mérték egy konstansig egyedi, a bevezetett terek nem függenek egy konkrét mérték megválasztásától, azaz csak magától a G csoporttól függenek , ezért logikus az L p (G) jelölése . Másrészt ezeken a tereken a norma a mérték megválasztásától függ.
Irodalom
Morris Sydney. Pontrjagin kettősség és a lokálisan tömör Abel-csoportok szerkezete. - Moszkva: Mir, 1980. - S. 104.