Csoport objektum

A csoportobjektum a csoport fogalmának egy tetszőleges kategóriájú objektumra történő általánosítása , sok esetben a csoportobjektum egy további szerkezettel rendelkező csoportként is értelmezhető. Tipikus példa egy topológiai csoport , amelynek topológiai térszerkezete összhangban van a csoportstruktúrával, abban az értelemben, hogy a csoportművelet folyamatos .

Definíció

Legyen C egy kategória egy 1. terminálobjektummal , amelyben bármely két objektumnak létezik a szorzata . A C csoportobjektum egy C kategóriájú G objektum , morfizmusok hármasával együtt :

m : G × G → G (a "csoportműveletnek" megfelelő morfizmus)
e : 1 → G ("identitáselem beágyazása")
inv : G → G ("az inverz elem felvétele"),

amelyekhez a következő tulajdonságoknak meg kell felelniük (a csoport axiómáinak megfelelően):

m asszociatív, vagyis ugyanaz a morfizmus (itt kanonikusan azonosítjuk és ); $m\circ (m\times\mathrm{id}_G)$ $m\circ (\mathrm{id}_G \times m)$ $G\szer G\szer G\-G$ $(G\szer G)\x G$ $G\x (G\x G)$
e egy bilaterálisan semleges elem , azaz hol van a második tényező természetes vetülete, és hol van az első tényező természetes vetülete; $m\circ (e\times \mathrm{id}_G) = p_2,$ $p_2: 1\-szer G\-G$ $m\circ (\mathrm{id}_G\times e) = p_1,$ $p_1: G\-szer 1 \-G$
az inverz elem valóban inverz, vagyis ha d : G → G × G egy átlós leképezés és e G : G → G a G → 1 egyedi morfizmus és az e morfizmus összetétele , akkor $m\circ (\mathrm{id}_G\times \mathrm{inv})\circ d=m\circ (\mathrm{inv}\times \mathrm{id}_G)\circ d=e_G.$

Példák

A csoportok pontosan csoportobjektumok a halmazok kategóriájában . Itt m egy bináris szorzási művelet, e egy olyan függvény , amely a szingli készletet elküldi a csoport identitáselemének, az inv leképezi az inverz elemet a csoportelemre, és e G a csoport összes elemét elküldi az identitásnak.
A topológiai csoport egy csoportobjektum a topológiai terek és folyamatos leképezések kategóriájában .
A Lie csoport egy csoportobjektum a sima sokaságok és sima leképezések kategóriájában .
Az algebrai csoport egy csoportobjektum az algebrai változatok és reguláris leképezések kategóriájában . A modern algebrai geometriában a csoportséma általánosabb fogalmát is figyelembe veszik - csoportobjektum a sémák kategóriában .
A csoportok kategóriába tartozó csoportobjektumok pontosan Abel-csoportok . Valóban, ha G egy Abel-csoport, akkor m , e és inv a szokásos módon definiálva kielégítik egy csoportobjektum tulajdonságait (különösen, mivel a G csoport Abel-csoport, ebből következik, hogy az inv homomorfizmus ). Ezzel szemben, ha ( G , m , e , inv ) egy csoportobjektum a csoportok kategóriájában, akkor bebizonyítható, hogy az m művelet megegyezik a G csoport eredeti műveletével , amiből következik, hogy e és inv is a szokásos módon határozzuk meg. Lásd még az Eckmann-Hilton érvelést .
Ha C véges együttszorzatokkal rendelkező kategória ( különösen, ha a kezdeti 0 objektum az üres objektumok halmazának koszorzata), akkor a C kategória társcsoportobjektuma G objektuma a következő morfizmusokkal együtt: "komplikáció" m : G → G G, "egység" e : G → 0 és a "koinverzió" inv : G → G , amelyek kielégítik a fent felsorolt csoportobjektum axiómáival kettős axiómákat. A társcsoport objektumok természetesen az algebrai topológiában keletkeznek . $\oplus$

Lásd még

A Hopf algebrák a csoportobjektumok tetszőleges monoidális kategóriákra történő általánosításaként tekinthetők .

Linkek

Bucur I., Deleanu A. Bevezetés a kategóriák és funktorok elméletébe. — M.: Mir, 1972. — 259 p.
Lang, Serge (2002), Algebra. - Graduate Texts in Mathematics 211 (Átdolgozott harmadik kiadás), New York: Springer-Verlag - ISBN 978-0-387-95385-4 .