Összetett reflexiók csoportja

A komplex reflexiók csoportja egy véges csoport , amely egy véges -dimenziós komplex vektortérre bizonyos módon hat.

Példák

Szimmetrikus csoport
diédercsoport
Coxeter csoportok és különösen
- Weyl csoportok
- Szabályos poliéderek szimmetriacsoportjai .

Definíció

A V véges dimenziós komplex vektortér komplex reflexiója véges rendű elem, amely pontokat rögzít a hipersíkon.

A komplex reflexiók csoportja egy véges részcsoport, amelyet komplex reflexiók generálnak.

Kapcsolódó definíciók

Egy komplex W reflexiós csoportról azt mondjuk, hogy irreducibilis , ha a tér nem tartalmaz megfelelő W - invariáns altereket.
- Ebben az esetben a vektortér dimenzióját W rangjának nevezzük .

Osztályozás

A komplex reflexiók bármely csoportja ábrázolható a megfelelő terek közvetlen összegére ható komplex reflexiók irreducibilis csoportjainak szorzataként. Ezért elegendő az irreducibilis komplex reflexiós csoportokat osztályozni.

Az összetett reflexiók irreducibilis csoportjai egy végtelen családot tartalmaznak , amely három pozitív egész paramétertől függ -val , és 34 kivételes csoportot. $G(m,p,n)$ $m\,\vdots \,p$

A csoportnak van rendje , félig közvetlen szorzata egy szimmetrikus csoportnak , amely a csoport permutációi révén hat -ok $G(m,p,n)$ $m^{n}\cdot n!/p$ $S_{n}$ $n$

(\theta ^{a_{1}},\dots ,\theta ^{a_{n}}),

olyan, hogy az egység primitív gyöke és $\theta$ $m$

a_{1}+\dots +a_{n}\equiv 0{\pmod {p)).

Egy csoport az általánosított szimmetrikus csoport indexének alcsoportjaként is leírható . $G(m,p,n)$ $p$ $S(m,n)$

Különleges esetek : $G(m,p,n)$

$G(1,1,n)$ az A n −1 Coxeter-csoport
$G(2,1,n)$ a Coxeter csoport B n = C n
$G(2,2,n)$ egy Coxeter csoport D n
$G(m,p,1)$ m/p rendű ciklikus csoport .
$G(m,m,2)$ az I2 ( m ) Coxeter-csoport ( és m =6 esetén egy G2 Weyl-csoport ).
A csoport a (szimmetrikus csoport) és (Kleinov 4 csoport) esetek kivételével redukálhatatlanul hat a -ra, amikor a dimenzió és az irreducibilis reprezentációk összegére bomlik . $G(m,p,n)$ $\mathbb{C}^n$ $m=1$ $n>1$ $G(2,2,2)$ $\mathbb{C}^n$ $egy$ $n-1$
Két csoport csak akkor izomorf komplex reflexiós csoportként, ha az egyik , a másik pedig néhány pozitív egész és . Vannak azonban más esetek is, amikor két ilyen csoport absztrakt csoportként izomorf. $G(m,p,n)$ $G(m\cdot a,p\cdot a,n)$ $G(m\cdot b,p\cdot b,n)$ $a$ $b$

táblázat

A lista első 3 sorában több ismétlés található, lásd az előző részt.

Shepard PC száma – a csoport Toddja.
A rang annak a komplex vektortércsoportnak a dimenziója, amelyre hat.
A struktúra a csoport felépítését írja le. A "*" szimbólum két csoport központi termékét T, O és I a tetraéder, oktaéder és ikozaéder forgási csoportjait jelöli, ezeknek a csoportoknak a sorrendje 12, 24 és 60.
Rendezés - a csoport elemeinek száma.
Reflexiók - tükröződések száma: 2 6 4 12 azt jelenti, hogy 6 db 2-es és 12 db 4-es rendű visszaverődés van.
Fokok — a polinominvariánsok gyűrűjének invariánsainak fokai. Például a 4. számú invariánscsoport polinomokból álló gyűrűt alkot 2 4-es és 6-os fokú generátorral.

PCS	Rang	Szerkezet	Rendelés	Reflexiók	fokok	Kospeni
egy	n −1	Szimmetrikus csoport G (1,1, n ) = Sym( n )	n !	2n ( n − 1)/ 2	2, 3, ..., n	0,1,..., n − 2
2	n	G ( m , p , n ) m > 1, n > 1, p \| m ( G (2,2,2) csökkenthető)	m n n !/ p	2 perc ( n −1)/2 , dn φ( d ) ( d \| m / p , d > 1 )	m ,2 m ,..,( n − 1) m ; mn / p	0, m ,..., ( n − 1) m , ha p < m ; 0, m ,...,( n − 2) m , ( n − 1) m − n , ha p = m
3	egy	G ciklikus csoport ( m ,1,1) = Z m	m	d φ( d ) ( d \| m , d > 1)	m	0
négy	2	Z2 . _ T = 3[3]3,	24	3 8	4.6	0.2
5	2	Z6 . _ T = 3[4]3,	72	3 16	6.12	0.6
6	2	Z4 . _ T = 3[6]2,	48	2 6 3 8	4.12	0.8
7	2	Z12 . _ T =〈3,3,3〉2 , 〈3,3,2〉6	144	2 6 3 16	12.12	0.12
nyolc	2	Z4 . _ O = 4[3]4,	96	2 6 4 12	8.12	0.4
9	2	Z8 . _ O = 4[6]2,	192	2 18 4 12	8.24	0.16
tíz	2	Z12 . _ O = 4[4]3,	288	2 6 3 16 4 12	12.24	0.12
tizenegy	2	Z 24 . O = 〈4,3,2〉12	576	2 18 3 16 4 12	24.24	0.24
12	2	Z2 . _ O = GL 2 ( F 3 )	48	2 12	6.8	0.10
13	2	Z4 . _ O = 〈4,3,2〉2	96	2 18	8.12	0.16
tizennégy	2	Z6 . _ O = 3[8]2,	144	2 12 3 16	6.24	0.18
tizenöt	2	Z12 . _ O = 〈4,3,2〉6	288	2 18 3 16	12.24	0.24
16	2	Z10 . _ I = 5[3]5,	600	5 48	20.30	0.10
17	2	Z20 . _ I = 5[6]2,	1200	2 30 5 48	20.60	0,40
tizennyolc	2	Z 30 . I = 5[4]3,	1800	3 40 5 48	30.60	0.30
19	2	Z 60 . I = 〈5,3,2〉30	3600	2 30 3 40 5 48	60,60	0,60
húsz	2	Z6 . _ I = 3[5]3,	360	3 40	12.30	0.18
21	2	Z12 . _ I = 3[10]2,	720	2 30 3 40	12.60	0,48
22	2	Z4 . _ I = 〈5,3,2〉2	240	2 30	12.20	0,28
23	3	W(H 3 ) = Z 2 × PSL 2 (5), a Coxeter-csoport [5,3],	120	2 15	2,6,10	0.4.8
24	3	W(J 3 (4)) = Z 2 × PSL 2 (7), Klein [1 1 1 4 ] 4 ,	336	2 21	4,6,14	0.8.10
25	3	W(L 3 ) = W(P 3 ) = 3 1+2 .SL 2 (3), Hesse csoport 3[3]3[3]3,	648	3 24	6,9,12	0.3.6
26	3	W(M 3 ) = Z 2 × 3 1 + 2 .SL 2 (3), Hesse csoport , 2[4]3[3]3,	1296	2 9 3 24	6,12,18	0.6.12
27	3	W(J 3 (5)) = Z 2 ×( Z 3 .Alt(6)), Vlentier-csoport [1 1 1 5 ] 4 ,	2160	2 45	6,12,30	0.18.24
28	négy	W(F 4 ) = (SL 2 (3)* SL 2 (3)).( Z 2 × Z 2 ) a Weil-csoport [3,4,3],	1152	2 12+12	2,6,8,12	0,4,6,10
29	négy	W(N 4 ) = ( Z 4 * 2 1 + 4 ). Sym(5) [1 1 2] 4 ,	7680	2 40	4,8,12,20	0.8.12.16
harminc	négy	W(H 4 ) = (SL 2 (5)*SL 2 (5)). Z2_ _ a Coxeter-csoport [5,3,3],	14400	2 60	2,12,20,30	0.10.18.28
31	négy	W(EN 4 ) = W(O 4 ) = ( Z 4 * 2 1 + 4 ).Sp 4 (2)	46080	2 60	8,12,20,24	0.12.16.28
32	négy	W(L 4 ) = Z 3 × Sp 4 (3), 3[3]3[3]3[3]3,	155520	3 80	12,18,24,30	0.6.12.18
33	5	W(K 5 ) = Z 2 × Ω 5 (3) = Z 2 × PSp 4 (3) = Z 2 × PSU 4 (2) [1 2 2] 3 ,	51840	2 45	4,6,10,12,18	0.6.8.12.14
34	6	W(K 6 )= Z 3 .Ω− 6. (3) bekezdése alapján. Z 2 , Mitchell csoport [1 2 3] 3 ,	39191040	2126_ _	6,12,18,24,30,42	0.12.18.24.30.36
35	6	W(E 6 ) = SO 5 (3) = O− 6(2) = PSp 4 (3). Z 2 = PSU 4 (2). Z 2 , a Weil-csoport [3 2,2,1 ],	51840	2 36	2,5,6,8,9,12	0,3,4,6,7,10
36	7	W(E 7 ) = Z 2 × Sp 6 (2), a Weil csoport [3 3 , 2, 1 ],	2903040	263 _	2,6,8,10,12,14,18	0,4,6,8,10,12,16
37	nyolc	W( E8 ) = Z2.O + 8(2), Weyl-csoport [3 4,2,1 ],	696729600	2 120	2,8,12,14,18,20,24,30	0,6,10,12,16,18,22,28

Tulajdonságok

Egy komplex vektortérre ható véges csoport akkor és csak akkor komplex reflexiós csoport, ha az invariáns gyűrű polinomiális gyűrű.

Ha a reflexiós csoport rangja , akkor az invariánsok gyűrűjének generátorainak hatványait W hatványainak nevezzük . Ezek a "fok" oszlop feletti oszlopban vannak felsorolva. Sok más csoportinvariánst hatványok határoznak meg: $\ell$ ${\displaystyle d_{1}\leq d_{2}\leq \ldots \leq d_{\ell ))$
- Egy irreducibilis reflexiós csoport középpontja ciklikus, és sorrendje megegyezik a hatványok legnagyobb közös osztójával.
- Egy reflexiós csoport sorrendje egyenlő a hatványainak szorzatával.
- Egy csoport visszaverődéseinek száma egyenlő a fokok összegével mínusz a rang.
- A hatáskörök a következő azonosságot elégítik ki $d_{i}$ $\prod _{i=1}^{\ell }(q+d_{i}-1)=\sum _{w\in W}q^{\dim(V^{w})}.$
Az összetett reflexiók minden irreducibilis csoportjában van egy minimális számú generátor vagy reflexió. $n$ $n+1$
- A generátorok minimális száma egyenlő n-nel, ami megegyezik azzal a ténnyel, hogy mindenre . ${\displaystyle d_{i}+d_{i}^{*}=d_{\ell ))$ $én$
  - Egy csoportra ez csak p = 1 vagy m esetén érvényes . $G(m,p,n)$

Linkek

Broue, Michel; Malle, Gunter & Rouquier, Raphaël (1995), A komplex reflexiós csoportokról és a hozzájuk tartozó fonatcsoportokról, A csoportok reprezentációi (Banff, AB, 1994) , vol. 16, CMS Conf. Proc., Providence, R.I.: American Mathematical Society , p. 1–13 , < http://www.math.ucla.edu/~rouquier/papers/banff.pdf > Archivált : 2016. március 4. a Wayback Machine -nél
Broue, Michel; Malle, Gunter és Rouquier, Raphaël (1998), Komplex reflexiós csoportok, fonatcsoportok, Hecke algebras , Journal für die reine und angewandte Mathematik T. 500: 127–190, ISSN 0075-4102 , DOI 10.154195/crll.154195/crll.154195
Deligne, Pierre (1972), Les immeubles des groupes de tresses généralisés , Inventiones Mathematicae 17 (4): 273–302, ISSN 0020-9910 , DOI 10.1007/BF01406236
Hiller, Howard Coxeter-csoportok geometriája. Research Notes in Mathematics, 54. Pitman (Advanced Publishing Program), Boston, Mass.-London, 1982. iv+213 pp. ISBN 0-273-08517-4 *
Lehrer, Gustav I. & Taylor, Donald E. (2009), Unitary reflection groups , vol. 20, Australian Mathematical Society Lecture Series, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-74989-3
Shephard, G. C. & Todd, J. A. (1954), Finite unitary reflection groups , Canadian Journal of Mathematics. Journal Canadien de Mathematiques (Kanadai Matematikai Társaság). — V. 6: 274–304, ISSN 0008-414X , doi : 10.4153/CJM-1954-028-3 , < https://books.google.com/?id=Bi7EKLHppuYC >
Coxeter , Unitary Reflections által generált véges csoportok , 1966, 4. The Graphical Notation , Table of n-dimensional groups generated by n Unitary Reflections. pp. 422-423