Csoporthomomorfizmus

A matematikában két csoport ( G , ∗) és ( H , •) adott csoporthomomorfizmus ( G , ∗)-től ( H , •)-ig olyan h : G → H függvény , hogy minden u és v esetén G -ből _

h(u*v)=h(u)\cdot h(v),

ahol a "=" jeltől balra lévő csoportművelet a G csoportra , a jobb oldali művelet pedig a H csoportra vonatkozik .

Ebből arra következtethetünk, hogy h a G csoport e G semleges elemét leképezi a H csoport e H semleges elemére , és az inverzeket is leképezi inverzekre abban az értelemben, hogy

h(u^{-1})=h(u)^{-1}.

Így h -ról elmondható, hogy "megőrzi a csoportstruktúrát".

A korábbi munkákban h ( x )-t x h - ként jelölhettük, bár ez összetévesztheti az indexekkel. Az utóbbi időben hajlamos volt a zárójelek elhagyására homomorfizmus írásakor, így h ( x ) csak xh lesz . Ez a tendencia különösen észrevehető a csoportelmélet azon területein, ahol automatizálást alkalmaznak , mivel ez jobban illeszkedik az automatákban szokásos szavak balról jobbra olvasásához.

A matematika azon területein, ahol a csoportok további struktúrákkal vannak felruházva, a homomorfizmust néha olyan leképezésként értelmezik, amely nemcsak a csoport szerkezetét (mint fentebb), hanem a kiegészítő struktúrát is megőrzi. Például gyakran feltételezik, hogy a topológiai csoportok homomorfizmusa folytonos.

Koncepció

A csoporthomomorfizmus meghatározásának célja olyan függvények létrehozása, amelyek megőrzik az algebrai struktúrát. A csoporthomomorfizmus ekvivalens definíciója: A h : G → H függvény csoporthomomorfizmus, ha a ∗ b = c azt jelenti , hogy h ( a ) ⋅ h ( b ) = h ( c ). Más szóval, a H csoport bizonyos értelemben hasonló G algebrai szerkezetéhez, és a h homomorfizmus megőrzi azt.

Kép és mag

A h kernelt úgy határozzuk meg, mint G elemeinek halmazát, amelyek leképeznek egy semleges elemet H -ben

\mathop {\mathrm {Ker} } (h):=\{u\in G:h(u)=e_{H}\}{\mbox{.))

és kép h as

\mathop {\mathrm {Im} } (h):=h(G):=\left\{h(u)\colon u\in G\right\}{\mbox{.))

A h kernel G normál alcsoportja, h képe pedig H alcsoportja :

h\left(g^{-1}\circ u\circ g\right)=h(g)^{-1}\cdot h(u)\cdot h(g)=h(g)^ {-1}\cdot e_{H}\cdot h(g)=h(g)^{-1}\cdot h(g)=e_{H}.

A h homomorfizmus akkor és csak akkor injektív ( csoportmonomorfizmusnak nevezzük ), ha ker( h ) = { e G }.

A homomorfizmus magja és képe felfogható úgy, hogy azt méri, milyen közel áll egy homomorfizmus az izomorfizmushoz. Az első izomorfizmustétel kimondja, hogy a h ( G ) csoport homomorfizmusának képe izomorf a G /ker h hányadoscsoporttal .

Példák

Vegyük a Z /3 Z = {0, 1, 2} ciklikus csoportot és a Z egészek csoportját összeadással. A h : Z → Z /3 Z leképezés h ( u ) = u mod 3- mal homomorfizmus. Szürjektív , és kernelje 3-mal osztható egész számokból áll.

Vegyünk egy csoportot

G:=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}{\bigg |}a>0,b\in \mathbf {R} \right\}

Bármely u komplex szám esetén az f u : G → C függvényt a következőképpen definiáljuk:

{\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}\mapsto a^{u}

egy homomorfizmus.

Vegyünk egy csoport pozitív valós számot a szorzási művelettel ( R + , ⋅) . Bármely u komplex számra az f u : R + → C függvényt a következőképpen definiáljuk

f_{u}(a)=a^{u}

egy homomorfizmus.

Az exponenciális leképezés az R valós számok csoportjának homomorfizmusa , hozzáadva a nem nullától eltérő valós számok csoportjához R * szorzással. A mag a {0} halmaz, és a kép valós pozitív számokból áll.

Az exponenciális leképezés homomorfizmust is képez a C komplex számok csoportjából a nem nullától eltérő komplex számok C * csoportjához hozzáadva szorzással. Ez a leképezés szürjektív, magja a {2π ki : k ∈ Z } halmaz, amint az Euler-képletből is látható . Az olyan mezőket, mint az R és C , amelyek homomorfizmust mutatnak egy csoportból a csoporthoz szorzással, exponenciális mezőknek nevezzük .

Csoportok kategóriái

Ha h : G → H és k : H → K csoporthomomorfizmusok, akkor a k o h : G → K is homomorfizmus. Ez azt mutatja, hogy az összes csoport osztálya a csoporthomomorfizmusokkal, mint morfizmusokkal együtt alkotja a kategóriát .

A homomorf leképezések típusai

Ha a h homomorfizmus bijekció , akkor kimutatható, hogy az inverz leképezés is csoporthomomorfizmus, és akkor h -t izomorfizmusnak nevezzük . Ebben az esetben a G és H csoportokat izomorfnak nevezzük - csak az elemek és a műveletek megjelölésében különböznek, és a gyakorlati felhasználás szempontjából azonosak.

Ha h : G → G csoporthomomorfizmus, akkor G endomorfizmusának nevezzük . Ha ez is bijektív, és ezért izomorfizmus, akkor automorfizmusnak nevezzük . A G csoport összes automorfizmusának halmaza a függvények összetételével, mint művelet maga alkot egy csoportot, a G automorfizmus csoportját . Ezt a csoportot Aut( G ) -ként jelöljük . Példaként a csoportautomorfizmus ( Z , +) csak két elemet tartalmaz (identitástranszformáció és -1-gyel való szorzás), és izomorf Z /2 Z -vel .

Az epimorfizmus szürjektív homomorfizmus, azaz homomorfizmus a -n . A monomorfizmus injektív homomorfizmus, azaz egy az egyhez homomorfizmus .

Abeli csoportok homomorfizmusai

Ha G és H Abeli (vagyis kommutatív) csoportok, akkor a G-től H-ig terjedő homomorfizmusok Hom(G, H) halmaza maga is egy Abel - csoport – két homomorfizmus h + k összegét a következőképpen definiáljuk:

( h + k )( u ) = h ( u ) + k ( u ) minden u - ra G -ből .

H kommutativitása szükséges annak bizonyításához, hogy h + k ismét csoporthomomorfizmus.

Ezenkívül a homomorfizmusok kompatibilisek a homomorfizmusok összetételével a következő értelemben: ha f a Hom( K , G ), h , k a Hom( G , H ) elemei , g pedig a Hom( H , L ) elemei, akkor

( h + k ) o f = ( h o f ) + ( k o f ) és g o ( h + k ) = ( g o h ) + ( g o k ).

Ez azt mutatja, hogy egy Abel-csoport összes endomorfizmusának End( G ) halmaza egy gyűrűt alkot , a G csoport endomorfizmusgyűrűje . Például egy Abel-csoport endomorfizmus-gyűrűje, amely a Z / n Z közvetlen összegű m másolataiból áll , izomorf a Z / n Z elemeit tartalmazó m × m mátrixok gyűrűjével . A fent említett kompatibilitás azt is mutatja, hogy az összes homomorfizmussal rendelkező Abel-csoport kategóriája egy preaditív kategóriát képez . A közvetlen összegek és a jól kondicionált viselkedésű kernelek megléte ezt a kategóriát az Abel-kategória példájává teszi .

Lásd még

Alapvető homomorfizmus tétel

Linkek

D.S. Dummit, R. Foote. Absztrakt algebra . - 3. - Wiley, 2004. - S. 71 -72. — ISBN 9780471433347 .
Leng S. Algebra. - Moszkva: Mir, 1968.