Homológiai szféra

A homológiagömb egy n - dimenziós X sokaság , amelynek homológiája olyan, mint egy n - dimenziós gömbé . Azaz

H 0 ( X , Z ) = Z = H n ( X , Z ),

és

H i ( X , Z ) = {0} az összes többi i esetén .

Példák

Poincaré gömb
A Brieskorn-gömbök Σ( p , q , r ), azaz egy kis 5 dimenziós gömb metszéspontja az x p + y q + z r = 0 egyenlet megoldásával p , q és r koprímnél . Ezek homológ szférák. Ezenkívül Σ(1, 1, 1) homeomorf a standard gömbnek, Σ(2, 3, 5) pedig a Poincare gömbnek. Ha , akkor a Σ( p , q , r ) univerzális borítás homeomorf az euklideszi térrel, $\mathbb {C} ^{3}$ $1/p+1/q+1/r\leq 1$

Tulajdonságok

A homológiai szféra összefügg.
A homológ szféra alapcsoportja egybeesik a kommutátorával. $\Gamma$
Hadd . Egy csoport akkor és csak akkor egy n - dimenziós homológ gömb csoportja, ha [1] : $n\geqslant 5$ $\Gamma$
1. $\Gamma$ természetesen adott ;
2. $H_{1}(\Gamma )=0$ ;
3. $H_{2}(\Gamma )=0$ .
A csoport valamilyen 4 - dimenziós homológ szféra csoportja, ha $\Gamma$
1. $\Gamma$ egyenlő számú generátor és reláció
adja meg , és
$H_{1}(\Gamma )=0$ .

Nem ismert, hogy a fordítottja igaz-e [1] .

Két homológ szféra összefüggő összege homológ gömb.
Az általánosított Poincaré-sejtés szerint egy egyszerűen összefüggő homológ szféra homeomorf a standard szférával.

Változatok és általánosítások

A racionálisan homológ szférákat hasonló módon határozzuk meg, de racionális együtthatókkal homológiát használunk.

Jegyzetek

↑ 1 2 Michel A. Kervaire, Smooth Homology Spheres and their Fundamental Groups Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 144. (1969. október), pp. 67-72