Gém háromszöge

A Heron-háromszög olyan háromszög , amelynek oldalai és területe egész számok [1] [2] . A Heron-háromszögeket Heron görög matematikusról nevezték el . A kifejezést néha valamivel tágabban értelmezik, és olyan háromszögekre is kiterjed, amelyeknek van racionális oldala és területe [3] .

Tulajdonságok

Minden derékszögű háromszög, amelynek oldalai Pitagorasz-hármasokat alkotnak , heroni, mivel oldalaik definíció szerint egészek , és a terület is egész szám, mivel ez a lábak szorzatának fele, amelyek közül az egyik szükségszerűen páros hosszúságú.

Példa egy olyan Heron-háromszögre, amelynek nincs derékszöge egy egyenlő szárú háromszög , amelynek 5, 5 és 6 oldala van, és amelynek területe 12. Ezt a háromszöget úgy kapjuk meg, hogy két derékszögű háromszöget összekapcsolunk egy oldal mentén, amelyeknek 3, 4 és 5 oldala van. 4. Ez a megközelítés általános esetben működik, amint az a jobb oldali ábrán látható. Vegyünk egy Pitagorasz hármast ( a , b , c ), ahol c a legnagyobb oldal, majd egy másik hármast ( a , d , e ), amelyben a legnagyobb oldal e , háromszögeket építünk a megadott oldalhosszak szerint, és ezek mentén kombináljuk az a hosszúságú oldal, a c , e és b + d oldalú háromszög kialakítása és területe

A={\frac {1}{2}}(b+d)a

(az alap fele a magasság fele).

Ha a páros, akkor a terület egész szám lesz. Kevésbé nyilvánvaló az az eset, amikor a páratlan, de ebben az esetben A egész marad, mivel a b és d oldalnak párosnak kell lennie, és ezért b + d is páros lesz.

Egyes Heron-háromszögeket nem lehet előállítani, ha a fent leírt módszerrel derékszögű háromszögeket egész oldalakkal kombinálunk. Így például egy Heron-háromszög, amelynek oldalai 5, 29, 30 és területe 72, nem nyerhető ki két Pitagorasz-háromszögből, mivel egyik magassága sem egész szám. Ugyancsak lehetetlen primitív Pitagorasz-háromszöget építeni két kisebb Pitagorasz-háromszögből [4] . Az ilyen Heron-háromszögeket felbonthatatlannak nevezzük [4] . Ha azonban megengedjük a racionális értékekkel rendelkező Pitagorasz-hármasokat, megtagadva az integritást, akkor mindig létezik két derékszögű, racionális oldalú háromszögre való felosztás [5] , mivel a Heron-háromszög minden magassága racionális szám (mivel a magasság egyenlő az alappal elosztott terület kétszeresével, és mindkét szám egész szám). Így az 5, 29, 30 oldalú Heron-háromszög a 7/5, 24/5, 5 és 143/5, 24/5, 29 oldalú racionális Pythagorean-háromszögekből nyerhető. integer Pitagorasz-hármasok osztva egy egész számmal.

A Heron-háromszögek további tulajdonságait az Integer Triangle#Heronian Triangles című cikkben találja .

Pontos képlet a Heron-háromszögekhez

Bármely Heron-háromszög oldalai arányosak az értékekkel [6]

a=n(m^{{2}}+k^{{2}})

b=m(n^{{2}}+k^{{2}})

c=(m+n)(mn-k^{{2}})

Félperiméter

=s=(a+b+c)/2=mn(m+n)

Négyzet

=mnk(m+n)(mn-k^{{2}})

Beírt kör sugara

=k(mn-k^{{2}})

sa=n(mn-k^{{2}})

sb=m(mn-k^{{2}})

sc=(m+n)k^{{2}}

m , n és k egész számokra , ahol

\gcd {(m,n,k)}=1

mn>k^{2}\geq m^{2}n/(2m+n)

m\geq n\geq 1

Az arányossági együttható általános esetben egy racionális szám , ahol a kapott Heron-háromszög egy primitívhez vezet, és azt a kívánt méretre nyújtja. Például, ha m = 36, n = 4 és k = 3, akkor egy a = 5220, b = 900 és c = 5400 oldalú háromszöget kapunk, amely hasonló az 5, 29, 30 Heron-háromszöghöz és az arányossághoz. tényező számlálója p = 1, nevezője q = 180. ${\frac {p}{q))$ $q=\gcd {(a,b,c)}$ $p$

Lásd még a Heron-háromszögeket, amelyeknek egyik szöge kétszerese a másiknak , a Heron-háromszögeket, amelyeknek oldalai aritmetikai progresszióban vannak , és az egyenlő szárú Heron-háromszögeket .

Példák

Primitív egész Heron-háromszögek listája terület szerint rendezve, és ha a területek egyenlőek, kerület szerint rendezve . A "primitív" azt jelenti, hogy a három oldalhossz legnagyobb közös osztója 1.

Négyzet	Kerület	Oldalhosszúságok
6	12	5	négy	3
12	16	6	5	5
12	tizennyolc	nyolc	5	5
24	32	tizenöt	13	négy
harminc	harminc	13	12	5
36	36	17	tíz	9
36	54	26	25	3
42	42	húsz	tizenöt	7
60	36	13	13	tíz
60	40	17	tizenöt	nyolc
60	ötven	24	13	13
60	60	29	25	6
66	44	húsz	13	tizenegy
72	64	harminc	29	5
84	42	tizenöt	tizennégy	13
84	48	21	17	tíz
84	56	25	24	7
84	72	35	29	nyolc
90	54	25	17	12
90	108	53	51	négy
114	76	37	húsz	19
120	ötven	17	17	16
120	64	harminc	17	17
120	80	39	25	16
126	54	21	húsz	13
126	84	41	28	tizenöt
126	108	52	51	5
132	66	harminc	25	tizenegy
156	78	37	26	tizenöt
156	104	51	40	13
168	64	25	25	tizennégy
168	84	39	35	tíz
168	98	48	25	25
180	80	37	harminc	13
180	90	41	40	9
198	132	65	55	12
204	68	26	25	17
210	70	29	21	húsz
210	70	28	25	17
210	84	39	28	17
210	84	37	35	12
210	140	68	65	7
210	300	149	148	3
216	162	80	73	9
234	108	52	41	tizenöt
240	90	40	37	13
252	84	35	34	tizenöt
252	98	45	40	13
252	144	70	65	9
264	96	44	37	tizenöt
264	132	65	34	33
270	108	52	29	27
288	162	80	65	17
300	150	74	51	25
300	250	123	122	5
306	108	51	37	húsz
330	100	44	39	17
330	110	52	33	25
330	132	61	60	tizenegy
330	220	109	100	tizenegy
336	98	41	40	17
336	112	53	35	24
336	128	61	52	tizenöt
336	392	195	193	négy
360	90	36	29	25
360	100	41	41	tizennyolc
360	162	80	41	41
390	156	75	68	13
396	176	87	55	34
396	198	97	90	tizenegy
396	242	120	109	13

Összehasonlítható háromszögek

Egy alakzatot összehasonlíthatónak -nek nevezünk , ha a terület egyenlő a kerülettel. Pontosan öt hasonló Heron-háromszög létezik: (5,12,13), (6,8,10), (6,25,29), (7,15,20) és (9,10,17) [7] [nyolc]

Közel egyenlő oldalú Heron-háromszögek

Mivel a racionális oldalakkal rendelkező szabályos háromszög területe irracionális szám , egyetlen egyenlő oldalú háromszög sem lehet Heron-féle. Vannak azonban olyan Heron-háromszögek sorozata, amelyek "majdnem szabályosak", mivel oldalaik n − 1, n , n + 1 alakúak. Ezeknek a közel egyenlő oldalú háromszögeknek az első néhány példája az alábbi táblázatban található ( A003500 sorozat az OEIS -ben ).

Oldalhossz			Négyzet	Beírt sugár
n − 1	n	n + 1	Négyzet	Beírt sugár
3	négy	5	6	egy
13	tizennégy	tizenöt	84	négy
51	52	53	1170	tizenöt
193	194	195	16296	56
723	724	725	226974	209
2701	2702	2703	3161340	780
10083	10084	10085	44031786	2911
37633	37634	37635	613283664	10864

Az n következő értékét úgy kaphatjuk meg, hogy az előző értéket megszorozzuk 4-gyel, majd kivonjuk az azt megelőző értéket (52 = 4 × 14 − 4, 194 = 4 × 52 − 14 stb.). Ily módon

n_{t}=4n_{{t-1}}-n_{{t-2}}

ahol t a táblázat sorszáma. Ez a sorozat a Lucas sorozat . Ezt a sorozatot képlettel is megkaphatja minden n esetén . Ha a beírt körre A = területet és y = sugarat teszünk , akkor $(2+{\sqrt {3}})^{t}+(2-{\sqrt {3}})^{t}$

{\big (}(n-1)^{2}+n^{2}+(n+1)^{2}{\big )}^{2}-2{\big (}(n-1) )^{4}+n^{4}+(n+1)^{4}{\big )}=(6ny)^{2}=(4A)^{2}

ahol { n , y } az n 2 − 12 y 2 = 4 egyenlet megoldásai . Egy kis n = 2x behelyettesítés a jól ismert x 2 − 3 y 2 = 1 Pell-egyenletet adja, amelynek megoldásai a a √3 folyamatos frakcióbővülése [9]

Az n változó alakja , ahol k egyenlő 7, 97, 1351, 18817, …. Az ebben a sorozatban szereplő számok olyan tulajdonsággal rendelkeznek, hogy k egymást követő egész szórású egész szám . [tíz] $n={\sqrt {2+2k))$

Lásd még

Gém tetraéder
Brahmagupta négyszöge
Derékszögű háromszög
Robbins Pentagon
Háromszög
egész háromszög

Jegyzetek

↑ Carlson, 1970 , p. 499-506.
↑ Beauregard, Suryanarayan, 1998 , p. 13-17.
↑ Eric W. Weisstein. Heron-háromszög.
↑ Yiu 12. , 2008 , p. 17.
↑ Sierpinski, 2003 .
↑ Carmichael, 1959 , p. 11-13.
↑ Dickson, 2005 , p. 199.
↑ Markowitz, 1981 , p. 222-3.
↑ Richardson, 2007 .
↑ Online Encyclopedia of Integer Sequences, A011943 .

Linkek

John R. Carlson. A Heron-háromszögek meghatározása // Fibonacci Quarterly. - 1970. - T. 8 .
RD Carmichael. A számelmélet és a diofantin elemzés . - Dover Publications, Inc., 1959. - S. 1914, Diophantine Analysis .
Raymond A. Beauregard, E. R. Suryanarayan. A Brahmagupta háromszögek. - 1998. - T. 29 , szám. január 1 . - doi : 10.2307/2687630 .
Leonard Eugene Dickson. A számelmélet története ,. - Dover Publications, 2005. - T. Il: Diophantine Analysis. — ISBN 9780486442334 .
L. Markowitz. Terület = Perimeter // A matematikatanár. - 1981. - T. 74 , sz. 3 . - S. 222-3 .
William H. Richardson. Szuperheroni háromszögek. – 2007.
Waclaw Sierpinski. Pitagorasz háromszögek. — A könyv utánnyomása 1962-ben. - Dover Publications, Inc., 2003. - ISBN 978-0-486-43278-6 .
Paul Yiu. Gém háromszögek, amelyek nem bonthatók két egész derékszögű háromszögre. - Az Amerikai Matematikai Szövetség Floridai Tagozatának 41. ülése, 2008.
Online Encyclopedia of Integer Sequences Heronian
wm. Fitch Cheney Jr. Heron-háromszögek // Am. Math. Havi. - 1929. - T. 36 , sz. január 1 . - S. 22-28 . — .
S. sh. Kozhegel'dinov. Az alapvető Heron-háromszögekről // Math. jegyzetek. - 1994. - T. 55 , sz. 2 . - S. 151-6 . - doi : 10.1007/BF02113294 .