Geometriai Brown-mozgás

A geometriai Brown-mozgás (GBM) (ritkábban exponenciális Brown-mozgás, gazdasági Brown-mozgás) egy folytonos idejű véletlenszerű folyamat , amelynek logaritmusa Brown-mozgás ( Wiener-folyamat ). A GBM-et az árazás modellezésére használják a pénzügyi piacokon, és elsősorban az opcióárazási modellekben használják , mivel a GBM bármilyen pozitív értéket felvehet. A GBM ésszerű közelítés a részvényárfolyamok valós dinamikájához, azonban nem veszi figyelembe a ritka eseményeket (outliereket).

Egy S t véletlenszerű folyamat GBM, ha kielégíti a következő sztochasztikus differenciálegyenletet :

{\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,dW_{t))

ahol a Brown-mozgás , és (a "drift paraméter") és a ("volatilitás paraméter") állandó. $W_{t}$ $\mu$ $\sigma$

Tetszőleges S 0 kezdeti értékre ez az SDE adja meg a megoldást

S_{t}=S_{0}\exp \left(\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t+\sigma W_{t}\right ),

mi az a lognormális eloszlású valószínűségi változó átlaggal és szórással $\mathbb {E} (S_{t})=e^{\mu t}S_{0}$ $\operatorname {Var} (S_{t})=e^{2\mu t}S_{0}^{2}\left(e^{\sigma ^{2}t}-1\right) .$

A megoldás helyessége Itô lemmája segítségével állapítható meg . A log( S t / S 0 ) valószínűségi változó normál eloszlású átlaggal és szórással , ami azt jelenti, hogy a GBM növekményei normálisak (az árat figyelembe véve), ami okot ad arra, hogy a "geometriai" folyamatról beszéljünk. $(\mu -\sigma ^{2}/2)t$ $\sigma ^{2}t$