Gauss-binomiális együtthatók

A Gauss-binomiális együtthatók (valamint a Gauss-együtthatók , a Gauss-polinomok vagy a q - binomiális együtthatók ) a binomiális együtthatók q -analógjai . A Gauss-binomiális együttható egy q -beli egész együtthatós polinom, amelynek értéke, ha q -t egy prímszám hatványaként adjuk meg, megszámolja a k dimenziójú alterek számát egy n - dimenziós vektortérben egy q elemű véges mező felett . $\textstyle {\binom {n}{k}}_{q}$

Definíció

A Gauss-binomiális együtthatók a következőképpen definiálhatók [1]

{m \choose r}_{q}={\begin{cases}{\frac {(1-q^{m})(1-q^{m-1})\cdots (1-q ^{m-r+1})}{(1-q)(1-q^{2})\cdots (1-q^{r})}}&r\leqslant m\\0&r>m\end{ esetek}}

ahol m és r nemnegatív egész számok.

Szmirnov cikkében [2] és Vasziljev könyvében a kerek zárójelek helyett szögletes zárójeleket használnak:

\left[{\begin{array}{c}m\\r\\\end{array}}\right]_{q}

A esetén az érték 1, mert a számláló és a nevező az üres szorzatai . Bár az első kifejezésben szereplő képlet egy racionális függvény , valójában egy polinomot határoz meg. Megjegyzendő, hogy a képlet alkalmazható -ra, amely a második kifejezés szerinti számlálóban szereplő tényező miatt 0-t ad (bármely nagyobb r esetén a 0 tényező szerepel a számlálóban, de a további tényezők q negatív hatványával lesznek , ezért az explicit második kifejezés előnyösebb). A számlálóban és a nevezőben szereplő összes tényező osztható 1 − q -val egy q - szám formájú hányadossal [3] : $r=0$ $r=m+1$ $1-q^{0}=0$

[k]_{q}={\frac {1-q^{k}}{1-q}}=\sum _{0\leqslant i<k}q^{i}=1+q +q^{2}+\cdots +q^{k-1};

Ez adja az ekvivalens képletet

{m \choose r}_{q}={\frac {[m]_{q}[m-1]_{q}\cdots [m-r+1]_{q}}{[ 1]_{q}[2]_{q}\cdots [r]_{q}}}\quad (r\leqslant m),

ami nyilvánvalóvá teszi, hogy a behelyettesítés a közönséges binomiális együtthatót adja . A q -faktoriális szempontjából a képlet átírható így $q=1$ ${\tbinom {m}{r}}_{q}$ ${\tbinom {m}{r))$ ${\displaystyle [n]_{q}!=[1]_{q}[2]_{q}\cdots [n]_{q))$

{m \choose r}_{q}={\frac {[m]_{q}!}{[r]_{q}!\,[mr]_{q}!}}\quad (r\leqslant m)

Ez a tömör forma (amelyet gyakran definícióként adnak meg) azonban sok közös tényezőt rejt magában a számlálóban és a nevezőben. Ez a nézet a szimmetriát hozza létre . ${\tbinom {m}{r}}_{q}={\tbinom {m}{mr}}_{q}$ $r\leqslant m$

A szokásos binomiális együtthatótól eltérően a Gauss-binomiális együttható véges értékekkel rendelkezik (a határértéknek analitikai jelentése van ): $m\rightarrow \infty$ $|q|<1$

{\infty \choose r}_{q}=\lim _{m\rightarrow \infty }{m \choose r}_{q}={\frac {1}{[r]_{q} !\,(1-q)^{r}}}

Példák

{0 \choose 0}_{q}={1 \choose 0}_{q}=1

{1 \choose 1}_{q}={\frac {1-q}{1-q}}=1

{2 \choose 1}_{q}={\frac {1-q^{2}}{1-q}}=1+q

{3 \choose 1}_{q}={\frac {1-q^{3}}{1-q}}=1+q+q^{2}

{3 \choose 2}_{q}={\frac {(1-q^{3})(1-q^{2})}{(1-q)(1-q^{2 })}}=1+q+q^{2}

{4 \choose 2}_{q}={\frac {(1-q^{4})(1-q^{3})}{(1-q)(1-q^{2 })}}=(1+q^{2})(1+q+q^{2})=1+q+2q^{2}+q^{3}+q^{4}

Kombinatorikus leírás

Ezen algebrai kifejezések helyett megadhatjuk a Gauss-binomiális együtthatók kombinatorikus definícióját is. A szokásos binomiális együttható r - m elemű halmazból kiválasztott kombinációkat számol . Ha az m elemet külön karakterekként osztjuk el egy m hosszúságú szóban , akkor minden r -kombináció egy m hosszúságú szónak felel meg , amely egy kétbetűs ábécéből áll, mondjuk, {0,1}, a szó r másolatával. 1-es betű (jelzi, hogy a betűt választották) és a 0-s betű m − r másolatai (a többi pozícióhoz). ${\tbinom {m}{r))$

A nullákat és egyeseket használó szavak a 0011, 0101, 0110, 1001, 1010, 1100. ${4 \choose 2}=6$

Ahhoz, hogy ebből a modellből Gauss-binomiális együtthatót kapjunk , elegendő minden szót megszámolni egy q d tényezővel , ahol d egyenlő a szóban lévő "inverziók" számával - azon pozíciópárok számával, amelyekre a bal pozíció a pár 1, a jobb oldali pozíció pedig 0-t tartalmaz a szóban. Például van egy szó 0 inverzióval, 0011. Van egy szó egy inverzióval, 0101. Két szó van két inverzióval, 0110 és 1001. Van egy szó három inverzióval, 1010, és végül egy szóval négy inverzió, 1100. Ez megfelel az együtthatóknak . ${\tbinom {m}{r}}_{q}$ ${\displaystyle {4 \choose 2}_{q}=1+q+2q^{2}+q^{3}+q^{4))$

Megmutatható, hogy az így definiált polinomok kielégítik az alább megadott Pascal-azonosságokat, és ezért egybeesnek az algebrailag definiált polinomokkal. Ennek a definíciónak a vizuális módja az, hogy minden szóhoz hozzárendelünk egy utat egy r magasságú és m − r szélességű téglalap alakú rácson keresztül a bal alsó saroktól a jobb felső sarokig, a 0 betűhöz pedig egy lépést jobbra, és egy lépést. felfelé az 1-es betűhöz. Ezután a szó inverzióinak száma megegyezik a téglalap útvonal alatti részének területével.

Tulajdonságok

A közönséges binomiális együtthatókhoz hasonlóan a Gauss-binomiális együtthatók ellenszimmetrikusak, azaz. reflexió alatt változatlanok : $r\rightarrow mr$

{m \choose r}_{q}={m \choose mr}_{q}.

Különösen,

{m \choose 0}_{q}={m \choose m}_{q}=1\,,

{m \choose 1}_{q}={m \choose m-1}_{q}={\frac {1-q^{m}}{1-q}}=1+q+\ cdots +q^{m-1}\quad m\geqslant 1\,.

A Gauss-binomiális együttható neve azzal magyarázható, hogy értéke egy pontban egyenlő $q=1$

{\displaystyle \lim _{q\to 1}{m \choose r}_{q}={m \choose r))

Minden m és r esetén .

Pascal-azonosságok analógjai Gauss-binomiális együtthatókhoz

{\displaystyle {m \choose r}_{q}=q^{r}{m-1 \choose r}_{q}+{m-1 \choose r-1}_{q))

és

{m \choose r}_{q}={m-1 \choose r}_{q}+q^{mr}{m-1 \choose r-1}_{q}.

Léteznek analógjai a binomiális képleteknek és ezek általánosított newtoni változatai negatív egész hatványokra, bár az első esetben a Gauss-binomiális együtthatók nem jelennek meg együtthatóként [4] :

\prod _{k=0}^{n-1}(1+q^{k}t)=\sum _{k=0}^{n}q^{k(k-1)/ 2}{n \válasszon k}_{q}t^{k}

és

\prod _{k=0}^{n-1}{\frac {1}{(1-q^{k}t)))=\sum _{k=0}^{\infty } {n+k-1 \válasszon k}_{q}t^{k}.

és -nél az identitások átalakulnak $n\jobbra nyíl\infty$

\prod _{k=0}^{\infty }(1+q^{k}t)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {q^{k(k -1)/2}t^{k}}{[k]_{q}!\,(1-q)^{k}}}

és

\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(1-q^{k}t)))=\sum _{k=0}^{\infty }{ \frac {t^{k}}{[k]_{q}!\,(1-q)^{k}}}.

Pascal első azonossága lehetővé teszi a Gauss-binomiális együtthatók rekurzív kiszámítását ( m -hez képest ) a kezdeti "határ" értékek felhasználásával

{m \choose m}_{q}={m \choose 0}_{q}=1

És mellesleg megmutatja, hogy a Gauss-binomiális együtthatók valóban polinomok ( q -ben ). Pascal második azonossága az elsőből következik a behelyettesítés és a Gauss-binomiális együtthatók reflexiós invarianciája révén . Pascal kilétéből az következik $r\rightarrow mr$ $r\rightarrow mr$

{m \choose r}_{q}={{1-q^{m}} \over {1-q^{mr}}}{m-1 \choose r}_{q}

ami ( m , m − 1, m − 2,.... iterációinál) a Gauss-binomiális együtthatók kifejezéséhez vezet, a fenti definíció szerint.

Alkalmazások

A Gauss - binomiális együtthatók a szimmetrikus polinomok számlálásában és a számok felosztásának elméletében jelennek meg . Együttható q r in

{\displaystyle {n+m \choose m}_{q))

az r szám m vagy kevesebb részre osztott partícióinak száma , amelyek mindegyike nem nagyobb n -nél . Ezzel egyenértékűen az r szám partícióinak száma is n vagy annál kevesebb részre, amelyek mindegyike nem nagyobb m -nél .

A Gauss-binomiális együtthatók szintén fontos szerepet játszanak a véges mező felett definiált projektív terek számbavételében. Konkrétan minden q elemű F q véges mezőre a Gauss-binomiális együttható

{\displaystyle {n \choose k}_{q))

megszámolja egy n -dimenziós vektortér k - dimenziós vektor -altereinek számát az F q ( füves ) felett . Ha q -ban polinomként bővítjük , ez a Grassmann-féle jól ismert Schubert-sejtekre való felbomlását adja. Például a Gauss-binomiális együttható

{\displaystyle {n \choose 1}_{q}=1+q+q^{2}+\cdots +q^{n-1))

az egydimenziós alterek száma ( F q ) n -ben (egyenértékű a kapcsolódó projektív tér pontjainak száma ). Továbbá, ha q egyenlő 1-gyel (illetve −1), a Gauss-binomiális együttható megadja a megfelelő komplex (illetve valós) Grassmann- féle Euler-karakterisztikát .

Az F q n k - dimenziós affin alterek száma

{\displaystyle q^{nk}{n \choose k}_{q))

Ez lehetővé teszi az identitás egy másik értelmezését

{\displaystyle {m \choose r}_{q}={m-1 \choose r}_{q}+q^{mr}{m-1 \choose r-1}_{q))

egy ( m - 1)-dimenziós projektív tér ( r − 1)-dimenziós altereinek számlálásaként egy rögzített hipersíkra vonatkozóan, amely esetben megszámoljuk az ebben a rögzített hipersíkban található alterek számát. Ezek az alterek bijektív összhangban vannak a tér ( r − 1)-dimenziós affin altereivel, amelyeket úgy kapunk, hogy ezt a rögzített hipersíkot a végtelenben lévő hipersíkként kezeljük.

A kvantumcsoportelméletben némileg eltérő konvenciók vannak a definícióban. A kvantumbinomiális együtthatók

q^{k^{2}-nk}{n \choose k}_{q^{2))

A kvantumbinomiális együtthatónak ez a változata szimmetrikus az és viszonylatban . $q$ $q^{{-1}}$

Háromszögek

A Gauss-binomiális együtthatók háromszögbe rendezhetők minden q -hoz , és ez a háromszög q =1 esetén egybeesik a Pascal-háromszöggel [2] .

Ha ezeknek a háromszögeknek a sorait egy sorba helyezzük, a következő OEIS sorozatokat kapjuk :

A022166 q = 2 esetén
A022167 q = 3 esetén
A022168 q = 4 esetén
A022169 q = 5 esetén
A022170 q = 6 esetén
A022171 q = 7 esetén
A022172 q = 8 esetén
A022173 q = 9 esetén
A022174 q = 10 esetén

Jegyzetek

↑ Kuzmin, 2000 , p. 19.
↑ 1 2 Szmirnov, 2015 , p. nyolc.
↑ Szmirnov, 2015 , p. 9.
↑ Szmirnov, 2015 , p. tíz.

Irodalom

Smirnov E. Yu. Young diagramok és q-kombinatorika // Kvant. - 2015. - 1. sz . - S. 7-12 . — ISSN 0130-2221 .
Kuzmin O.V. Általánosított Pascal piramisok és alkalmazásaik. - Novoszibirszk: "Nauka" Szibériai Kiadó RAS, 2000. - ISBN 5-02-031578-8 .
Exton H. q-Hipergeometriai függvények és alkalmazások. - New York: Halstead Press, 1983. - ISBN 0853124914 .
Eugene Mukhin. Szimmetrikus polinomok és partíciók . Az eredetiből archiválva: 2004. december 10.
Ratnadha Kolhatkar. A Grassmann fajták zéta funkciója . - 2004. - január.
Weisstein, Eric W. q-Binomial Coefficient (angolul) a Wolfram MathWorld weboldalán .
Henry Gould. A zárójel funkció és a Fontene-Ward általánosított binomiális együtthatók a Fibonomiális együtthatók alkalmazásával // Fibonacci Quarterly . - 1969. - T. 7 . — S. 23–40 .
Alexanderson GL A Gauss-binomiális együtthatók Fibonacci-analógja // Fibonacci Quarterly . - 1974. - T. 12 . – S. 129–132 .
George E. Andrews. Alapvető hipergeometriai függvények alkalmazásai // SIAM Rev .. - 1974. - V. 16 , no. 4 . - doi : 10.1137/1016081 . — .
Péter B. Borwein. Padé-közelítők a q-elemi függvényekhez // Konstrukció. Kb.. - 1988. - V. 4 , sz. 1 . – S. 391–402 . - doi : 10.1007/BF02075469 .
János Konvalina. Általánosított binomiális együtthatók és a részhalmaz-altér probléma // Adv. Appl. Matek.. - 1998. - T. 21 . — S. 228–240 . - doi : 10.1006/aama.1998.0598 .
Di Bucchianico A. Kombinatorika, számítógépes algebra és a Wilcoxon-Mann-Whitney teszt // J. Stat. Terv. Inf.. - 1999. - T. 79 . – S. 349–364 . - doi : 10.1016/S0378-3758(98)00261-4 .
János Konvalina. A binomiális együtthatók, a Stirling-számok és a Gauss-együtthatók egységes értelmezése // Amer. Math. Havi. - 2000. - T. 107 , sz. 10 . — S. 901–910 . — .
Boris A. Kupershmidt. q-Newton binomiális: Eulertől Gaussig // J. Nonlin. Math. Phys.. - 2000. - 7. évf. , no. 2 . – S. 244–262 . - doi : 10.2991/jnmp.2000.7.2.11 . - Iránykód . - arXiv : math/0004187 .
Henry Cohn. Projektív geometria F 1 felett és a Gauss-binomiális együtthatók // Amer. Math. Havi. - 2004. - T. 111 , szám. 6 . – S. 487–495 . — .
Kim T. q-Az Euler-képlet és a trigonometrikus függvények kiterjesztése // Russ. J Math. Phys.. - 2007. - Vol. 14 , no. 3 . – S. 275–278 . - doi : 10.1134/S1061920807030041 . - Iránykód .
Kim T. q-Bernoulli számok és a Gauss-binomiális együtthatókhoz kapcsolódó polinomok // Russ. J Math. Phys.. - 2008. - Vol. 15 , no. 1 . – S. 51–57 . - doi : 10.1134/S1061920808010068 . - Iránykód .
Roberto B. Corcino. A p,q-binomiális együtthatókról // Egész számok. - 2008. - T. 8 . — S. #A29 .
Gevorg Hmayakyan. A Mobius függvényhez kapcsolódó rekurzív képlet . – 2009.