Lorentz-transzformációk származtatása

A Lorentz-transzformációk levezetése sokféleképpen történhet, különféle premisszákból kiindulva.

A Lorentz-transzformációkat absztrakt módon, csoportmegfontolások alapján kaphatjuk meg (jelen esetben határozatlan paraméterrel kapjuk meg ), a galilei transzformációk általánosításaként (amit Poincaré végzett – lásd alább ). Azonban először olyan transzformációkként kapták meg őket, amelyekre a Maxwell-egyenletek vonatkoztak $c$ kovariáns (amelyek nem változtatják meg az elektrodinamika és az optika törvényeinek formáját egy másik vonatkoztatási rendszerre való áttéréskor). Transzformációkat kaphatunk linearitásuk feltételezéséből és minden vonatkoztatási rendszerben azonos fénysebesség posztulátumából (ami az elektrodinamika kovariancia követelményének egyszerűsített megfogalmazása a kívánt transzformációk tekintetében, és az elv kiterjesztése az inerciális vonatkoztatási rendszerek (ISR) egyenlőségéről – a relativitás elve – az elektrodinamikára), ahogy azt egy speciális relativitáselméletben (SRT) teszik (ebben az esetben a Lorentz-transzformációk paramétere határozottnak bizonyul és egybeesik fénysebességgel). $c$

Meg kell jegyezni, hogy ha a koordináta-transzformációk osztálya nem korlátozódik a lineáris transzformációkra, akkor Newton első törvénye nem csak a Lorentz-transzformációkra érvényes, hanem a tört lineáris transzformációk egy szélesebb osztályára (a transzformációknak ez a szélesebb osztálya azonban - kivéve: természetesen a Lorentz-transzformációk speciális esetére – nem tartja a metrikus állandót).

Algebrai levezetés

Számos természetes feltevés alapján (amelyek közül a fő a kölcsönhatások maximális terjedési sebességének feltételezése) kimutatható , hogy az IFR megváltoztatásakor az érték

ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2},

intervallumnak nevezzük . Ez a tétel közvetlenül magában foglalja a Lorentz-transzformációk általános formáját ( lásd alább ). Itt csak egy speciális esetet veszünk figyelembe. Az érthetőség kedvéért, amikor a sebességgel mozgó IFR -re lépünk, a kezdeti rendszerben kiválasztjuk a -vel együtt irányított tengelyt , valamint a tengelyre merőlegesen elhelyezett és tengelyeket . Az ISO térbeli tengelyei az adott pillanatban úgy lesznek kiválasztva, hogy az ISO tengelyeivel egyirányúak legyenek . Ilyen átalakulással $K'$ $v$ $K$ $x$ $v$ $Y$ $Z$ $x$ $K'$ $t=0$ $K$

y'=y,~~z'=z,~~c^{2}t'^{2}-x'^{2}=c^{2}t^{2}-x^{ 2}.

Lineáris Lorentz-transzformációkat fogunk keresni, hiszen a koordináták végtelenül kicsi transzformációinál az új koordináták differenciálja lineárisan függ a régi koordináták differenciáljától, a tér és idő homogenitása miatt pedig az együtthatók nem függhetnek a koordinátáktól, csak az IFR relatív orientációja és sebessége.

Az a tény, hogy a keresztirányú koordináták nem változhatnak, a tér izotrópiájára vonatkozó megfontolások alapján világos. Valójában az érték nem változhat, és egyúttal nem is függ attól (kivéve a körüli forgatás során , amit kizárunk a mérlegelésből), amit könnyű ellenőrizni, ha ilyen lineáris transzformációkat behelyettesítünk az intervallum kifejezésébe. De ha attól függ , akkor a koordinátájú pontnak nem nulla koordinátája lesz , ami ellentmond a rendszer forgásának szimmetriájának a tér izotrópiája tekintetében. Hasonlóan a . $y'$ $x$ $v$ $x$ $(0,x,0,0)$ $y'$ $v$ $z'$

Az ilyen átalakítások legáltalánosabb formája:

y'=y,~~z'=z,~~ct'=ct\,\operátornév {ch} \,\alpha -x\,\operátornév {sh} \,\alpha ,~~x' =x\,\operátornév {ch} \,\alpha -ct\,\operátornév {sh} \,\alpha ,

ahol van valami sebesség nevű paraméter . Az inverz transzformációknak van formája $\alpha$

y=y',~~z=z',~~ct=ct'\,\operátornév {ch} \,\alpha +x'\,\operátornév {sh} \,\alpha ,~~x =x'\,\operátornév {ch} \,\alpha +ct'\,\operátornév {sh} \,\alpha .

Nyilvánvaló, hogy egy nyugalmi pontnak az IFR -ben nagy sebességgel kell mozognia az IFR -ben . Viszont ha a pont nyugalomban van, akkor $K$ $K'$ $-v$

dx=dx'\,\operátornév {ch} \,\alpha +c\,dt'\,\operátornév {sh} \,\alpha =0,

{\frac {dx'}{c\,dt'}}=-{\frac {v}{c}}=-\operátornév {th} \,\alpha ~\Rightarrow ~\operátornév {th} \,\alpha ={\frac {v}{c}}.

Figyelembe véve, hogy az ISO megváltoztatásakor a tér tájolása nem változhat, ezt kapjuk

\operátornév {ch} \,\alpha \geqslant 0.

Ezért a sebesség egyenlete egyedileg megoldható:

\operatorname {ch} \,\alpha ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},~~\ operátornév {sh} \,\alpha ={\frac {v}{c{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},

a Lorentz-transzformációknak pedig az a formája

\ x'=\gamma (x-vt),

\ t'=\gamma (t-{\frac {v}{c^{2))}x),

\gamma =\operátornév {ch} \,\alpha ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}.

A paramétert Lorentz-tényezőnek [1] nevezzük . $\gamma$

A Maxwell-egyenletek szimmetriacsoportja

A Lorentz-transzformációk vizuális levezetése

Elfogadjuk az SRT posztulátumait , amelyek a kiterjesztett relativitáselvre bontakoznak ki, amely kimondja, hogy minden fizikai folyamat pontosan ugyanúgy megy végbe minden tehetetlenségi vonatkoztatási rendszerben (a fénysebesség állandóságának elve SRT-ben, amely finomítja azt , a relativitás elvének az elektrodinamikára való kiterjesztését jelenti, azzal a tisztázó kijelentéssel, hogy nincs olyan alapvető fizikai közeg (éter), amely a kísérletben a referenciarendszerek közül kiemelné – vagyis akkor is, ha az éter létezik, akkor jelenléte a gyakorlatban nem sértheti a relativitás elvét). Ezen túlmenően célszerű kifejezetten hangsúlyozni, hogy a fénysebesség állandóságának elve pontosan a végső sebesség (a vákuumban mért fénysebességnek megfelelő kísérletből) meglétét jelenti, az alaptörvényekbe (egyenletekbe) ágyazva. minden inerciális vonatkoztatási rendszerre ugyanaz, és minden vonatkoztatási rendszerben a fény sebessége a terjedésének bármely irányában azonos, és nem függ a forrás sebességétől. A fénysebesség állandóságának elve az SRT második posztulátuma, amelyet alább használunk.

Transzverzális tengelyek transzformációja (1. tétel)

Legyen két végtelen sík merőleges az y tengelyre . A síkok közötti távolság nyilvánvalóan nem függhet a síkok maguk mentén haladó sebességétől, ami azt jelenti, hogy nem függ attól a referenciakerettől, amely a másikhoz képest a tengely mentén mozog . (Valójában minden ilyen rendszerben a tengely mentén egyik síkból a másikba mozgó fénysugár áthaladási ideje azonos az SRT posztulátumai szerint.) $x$ $y$

Elképzelheti azt is, hogy egy tengely mentén mozgó test hogyan repül egy azonos méretű rögzített lyukba. Ha nincs egyenlőség , akkor attól függően, hogy milyen referenciarendszerben a mérést végezzük, a test lehet nagyobb vagy kisebb, mint a lyuk. A valóságban a test átmegy vagy nem megy át a lyukon, függetlenül a vonatkoztatási rendszer megválasztásától. $x$ $y=y',$

Ugyanez természetesen igaz a tengelyre is . Ezért, az egyszerűség kedvéért kizárva a második koordinátarendszernek az elsőhöz képest állandó szöggel történő elforgatásának fizikailag érdektelen esetét, a következőt kapjuk: $z$

y=y',z=z'.

Időtágítás (2. tétel)

Mutassuk meg, hogy a hozzá képest mozgó vonatkoztatási rendszerben bármely folyamat (például egy óra menete) lassabban megy végbe, mint a saját vonatkoztatási rendszerében (amelyhez képest nem mozog).

Tekintsünk egy "fényórát", amely egy pontforrásból és egy fényvevőből áll a tengelyen , egymástól bizonyos távolságra , és méri a fényimpulzus (villanás) áthaladásának időtartamát a forrástól a vevőig, egyenlő hogy . $y$ $L$ $L/c$

Ha a vonatkoztatási rendszerek egymáshoz képest a tengely mentén mozognak , akkor a tengely két pontja közötti távolság , egy olyan keretben mérve, amely ezekhez a pontokhoz képest stacioner, megegyezik a mozgó vonatkoztatási rendszerben mért távolsággal, mivel a rendszereknek nincs relatív mozgása a tengely mentén. Ez biztosítja, hogy a hosszmértékegységek konzisztensek legyenek a rendszerekben. Az idő mértékegységei is konzisztensek lesznek, mivel a hosszúság mértékegységei konzisztensek, és a fénysebesség nem függ a koordináta-rendszertől. $x$ $L$ $y$ $y$

Így minden vonatkoztatási rendszerben ugyanaz a fényóra állítható be.

Hasonlítsuk össze az impulzus áthaladásának időintervallumát a referenciakeretben, ahol a fényóra nyugalomban van, és ugyanazon óra időintervallumát, amelyet a mozgó referenciakeretben lévő azonos órákkal mérnek.

Legyen a fényóra nyugalomban a vonatkoztatási rendszerben (az ábrán bal oldali diagram), és a vonatkoztatási rendszer a tengely mentén haladjon jobbra sebességgel . Az impulzuskibocsátás időpontjában a forrás a referenciarendszer A kezdőpontjában (piros pont az ábrán), a vevő pedig a tengely B pontjában (kék) található . A referenciakeretben a kibocsátott fényimpulzus időben eléri a B vevőt a tengelyen . $K$ $K'$ $x$ $V$ $K$ $y$ $K$ $y$ $\Delta t=L/c$

A vonatkoztatási keretben az origóból abban a pillanatban bocsátanak ki fényimpulzust, amikor az egybeesik a rendszer origójával ( A pont ), és egy idő után belép a B vevőbe , amit a rendszerrel együtt mozgó órák mérnek . A B pont koordinátája az ábrán a jobb oldali diagramon szaggatott vonallal jelölt eltolás, egyenlő -vel , az A pont azt a helyet jelöli, ahonnan az impulzus kibocsátott, a befelé irányuló impulzus pályáját zöld vonal jelzi. $K'$ $K$ $\Delta t'=L'/c$ $K'$ $x'$ $-V\Delta t'$ $K'$

Mivel a fény sebessége bármely inerciális vonatkoztatási rendszerben azonos (nem függ a forrás sebességétől és a sugárzás irányától), az A forrás az impulzus pillanatában állónak tekinthető a vonatkoztatási rendszerben . $K'$

A fényimpulzus által A -ból B -be megtett út a vonatkoztatási rendszerben egyenlő egy derékszögű háromszög befogójával. A Pitagorasz-tétel szerint $L'$ $K'$

{\displaystyle L'^{2}}=L^{2}+(V\Delta t')^{2},

figyelembe véve, hogy és , találunk egy kifejezést ${\displaystyle L'}=c\Delta t'$ $L=c\Delta t$ $\Delta t'$

\Delta t'={\frac {\Delta t}{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2)))))).

Ebből az következik, hogy mikor $\Delta t'>\Delta t$ $V\neq 0.$

Így a vonatkoztatási rendszerben előforduló bármely folyamat időintervalluma, amelyet egy mozgó vonatkoztatási rendszer órájával mérünk, nagyobb, mint az ugyanazon óra által a saját vonatkoztatási rendszerében mért időintervallum . A fesztáv növelési tényező állandó fordulatszámon állandó. $\Delta t'$ $K$ $K'$ $\Delta t$ $K$

Mivel a vonatkoztatási rendszer a kerethez képest sebességgel mozog , akkor azt mondjuk, hogy a mozgó vonatkoztatási rendszerben a rendszer szempontjából lassan folyik az idő. Például a nagy sebességgel előállított, rövid élettartamú részecskék laboratóriumi élettartama hosszabb, mint a saját referenciakeretükben meghatározott élettartamuk. $K$ $K'$ $-V$ $K$ $K'$ $\Delta t'$ $\Delta t$

Még egyértelműbben, az idő lassulása a vonatkoztatási rendszerrel együtt mozgó órák lassulásában (tempójában) nyilvánul meg . Ha a forrás és a vevő fényimpulzust visszaverő tükrökkel van ellátva, akkor a visszaverődések közötti periódusok számával tetszőleges időtartamú intervallum mérhető. Az ilyen könnyű inga lengési frekvenciája jellemzi az idő múlásának sebességét. Az ismétlődő folyamat periódusa a gyakoriságával egyenlő arányban van összefüggésben . A nagyobb periódus kisebb frekvenciának felel meg, és az egyenlőtlenség a frekvencia egyenlőtlenségévé változik , ahol az óra fényingájának a rendszerrel együtt mozgó frekvenciája, a rendszer órájával mérve a fényinga a saját referenciakeretében (amihez képest az óra nyugalomban van). A mozgó óra ritkábban ketyeg, mint az álló óra. $K$ $T$ $\nu ={\frac {1}{T}}$ $\Delta t'>\Delta t$ $\nu '<\nu$ $\nu'$ $K$ $K'$ $\nu$ $K$

Mivel minden tehetetlenségi vonatkoztatási rendszer egyenlő, ezért egy impulzus áthaladásának időtartamát a vonatkoztatási rendszerrel , a vonatkoztatási rendszer órájával együtt mozgó órákban mérve megkapjuk az inverz egyenlőtlenséget , mivel ebben az esetben itt az ideje. A referenciarendszer szempontjából a rendszer mozgó órája lassabban jár, mint a rendszer saját órája . $K'$ $K$ $\Delta t'<\Delta t$ $V\neq 0$ $\Delta t'$ $K$ $K'$ $K$

Az egyidejűség relativitása (3. tétel)

A mozgó vonatkoztatási rendszerben az idő lelassítása mellett (egy mozgó laboratóriumban az összes óra lassítása az álló laboratórium óráihoz képest) kiderül, hogy a mozgó referenciakeretben az idő eredete sem esik egybe stacionáriusban, és ennek az origónak az eltolódása különböző pontokon eltérő - x -től függ . A saját vonatkoztatási rendszerükben lévő, azonos időt tartó órák eltérő átfutási/késleltetési időt mutatnak a helyüktől függően, ha abból a vonatkoztatási rendszerből nézzük, amelyben a saját vonatkoztatási rendszerük mozog.

A probléma lényegének megértéséhez így vagy úgy át kell gondolni a kérdést, és mit jelent az, hogy a tér különböző, egymástól távoli pontjain (például különböző városokban) lévő órák az ugyanígy (szinkronosan), amint az ebből is látható, vagy hogyan (milyen eljárással) lehet különböző helyeken szinkronizálni az órákat, ha azok kezdetben nem voltak szinkronban.

Már a legegyszerűbb szinkronizálási módszer, amely abból áll, hogy az összes órát egy helyen szinkronizálják, majd különböző pontokra továbbítják, lehetővé teszi, hogy megbizonyosodjon arról, hogy az egy vonatkoztatási rendszerben szinkronizált órák különböző időpontokat mutatnak. egy másik vonatkoztatási rendszerből. Az a helyzet, hogy azoknál az óráknál, amelyeket az x tengely különböző pontjaira viszünk át, a sebességük egy másik vonatkoztatási rendszerhez képest szükségszerűen eltérő lesz, így az x tengely különböző pontjain az idő eltérően tolódik el.

Ez gondosan számszerűsíthető, és így elérhető a kívánt eredmény. De ezt egyszerűbben is el lehet érni, ha figyelembe vesszük a fényjelek segítségével történő szinkronizálást (és a relativitás elve azt mondja, hogy minden helyes szinkronizálási módszernek ugyanazt az eredményt kell adnia, ami azonban kívánt esetben kifejezetten ellenőrizhető).

Tehát vegyük fontolóra a fényjelek segítségével történő szinkronizálást. Ez a folyamat állhat például fényjelek cseréjéből két távoli kronométer között: ha a jeleket egy időben bocsátják ki, akkor ugyanannyi idő telik el, mielőtt minden óra jelet kapna. De ennél is egyszerűbb egy kicsit eltérő (ezzel egyenértékű) módszer: pontosan a kronométereket összekötő szakasz közepén villanhatunk fel, és állíthatjuk, hogy mindkét kronométerre egyszerre érkezik a fény.

A saját vonatkoztatási rendszerében (amelyben a kronométerek álló helyzetben vannak) a kép szimmetrikus. Bármilyen más vonatkoztatási rendszerben azonban mindkét kronométer mozog (a határozottság kedvéért feltételezzük, hogy jobbra), és akkor a kezdeti pillanatban az őket összekötő szegmens közepéről érkező fénynek kevesebb időre van szüksége ahhoz, hogy balra érjen. kronométer (a fény felé haladva), mint jobbra (amit a fény impulzusának utol kell érnie).

Így a saját vonatkoztatási rendszerükben szinkronban futó kronométerek egy másik vonatkoztatási rendszer órái szerint aszinkronnak tűnnek. Az események egyidejűsége relatív: azok az események, amelyek az egyik vonatkoztatási rendszerben egyidejűek, nem egyidejűek a másikban.

Az egyszerű geometriai számítások lehetővé teszik (a fényimpulzusok és a kronométerek mozgását az xt síkon ábrázolva ), hogy kifejezést kapjunk az idő eredetének eltolódására:

-Vx/c^{2}

(az egyszerűség kedvéért itt csak az x tengely mentén elhelyezett órákat vettük figyelembe , de természetesen általános esetre minden kiszámítható).

Így a 2. és 3. pont eredményeit összevonva megkapjuk az időtranszformációt

t'={\frac {t-Vx/c^{2}}{{\sqrt {1-V^{2}/c^{2}}}}}

Ez a hatás ellentmondással is igazolható: ha nem létezne, vagy ha az időreferencia eredetének eltolódása nem érné el , akkor létezne az úgynevezett ikerparadoxon . $-Vx/c^{2}$

Lorentz hossz-összehúzódás (4. tétel)

Figyelembe véve a fényimpulzus mozgását az x tengely mentén (és nem az y mentén , mint az 1. bekezdésben volt), és megkövetelve (a fényimpulzus minden inerciális vonatkoztatási rendszerben azonos sebességére vonatkozó posztulátuma alapján), hogy a távolság két pont között mindig egyenlőnek kell lennie azzal az idővel, ameddig a fény átmegy egyik pontból a másikba, megszorozva a fény (állandó) sebességével, akkor megkaphatja a távolságcsökkentési tényezőt az x , és tekintettel arra, hogy a origó egyenlő , akkor megkaphatja az x koordináta transzformációját : $-Vt$

x'={\frac {x-Vt}{\sqrt {1-V^{2}/c^{2)))).

Most még könnyebb megérteni, hogy mi fejeződik ki így, figyelembe véve, hogy a síkban a fényimpulzus mozgási grafikonjának [2] egyenesnek kell lennie, 45 ° -kal ferde (annak köszönhetően, hogy a fény sebessége mindig c ), ezért a skála tengelyek mentén és azonosnak kell lennie, és az egységrendszer kifejezéseinek szimmetrikusnak kell lenniük. $x'$ $x-ct$ $x$ $ct$ $c=1$

Így a Lorentz-transzformációk meglehetősen világosak kollineáris térbeli tengelyekre. Természetesen az érvelés fordított sorrendje is lehetséges: először a Lorentz-transzformációkat kaphatjuk meg valamilyen absztraktabb módon, például a fent említettek valamelyikével, majd a vizuális bizonyítás lépéseiben elemzett összes hatást megkapjuk. a Lorentz-transzformációk egyszerű formai következménye.

Jegyzetek

↑ Landau L. D. , Lifshitz E. M. Field theory. — 6. kiadás, javítva és kiegészítve. - M . : Nauka , 1973. - S. 11-28. - (" Elméleti fizika ", II. kötet). Archiválva : 2021. július 26. a Wayback Machine -nél
↑ Minkowski világvonalnak nevezte az ilyen mozgási ütemtervet; Ebben a részben azonban nem foglalkozunk a Lorentz-transzformációk kapcsolatával a Minkowski-tér fogalmával a maga teljességében, elsősorban azért, hogy ne bonyolítsuk és ne szakítsuk meg az elemi levezetést, amelyet kényelmesebb minden további speciális fogalomtól függetlennek tekinteni. csak a szükséges mértékig korlátozzuk magunkat az elemi geometriai és algebrai fogalmakra. Valójában a koordináták Minkowski-térbeli transzformációjáról beszélünk, és ebben a bekezdésben a fénysebesség állandóságának posztulátuma alapján ennek a térnek bizonyos tulajdonságait, valamint a Lorentz-transzformációkat kényelmes transzformációként tisztázzuk. koordináták benne. De az áttekinthetőség kedvéért még egyszer hangsúlyozzuk, hogy magának a következtetésnek nem kell mást tudnia, mint amit a bekezdés fő szövege kifejezetten elmond.

Linkek

Könyv Relativisztikus világ