Wiener becslés

A Wiener-becslés egy lineáris stacionárius rendszer impulzusválaszának megtalálásának problémája, amely a kimeneten az adalékos keverékbe zajjal belépő hasznos jel értékeinek becslését adja meg, amely az átlagos négyzet minimuma értelmében optimális. hiba.

Feltételek

Meg kell találni egy lineáris stacionárius rendszer impulzusválaszát , amelynek bemenete a hasznos jel és a zaj additív keveréke : , és a kimenetnek a hasznos jel értékének becslése kell lennie , amely minimalizálja az átlagos négyzetet. hiba a hasznos jel becsült és valós értéke között . $w(t)$ $f(t)$ $y(t)$ $e(t)$ $f(t)=y(t)+e(t)$ $d(t)=\int _{-\infty }^{+\infty }w(\tau )f(t-\tau )d\tau$ $\epsilon ^{2}(t)=m_{1}\left\{(y(t)-d(t))^{2}\right\}$

Feltételezhető, hogy a használati feltételek, a jelek és az interferencia jellege meglehetősen stabil marad, statisztikai jellemzőik alig változnak. Ha a feltételek változóak és az interferencia jelentősen megváltozik a rendszerek működése során, akkor szükségessé válik a rendszerek paramétereinek automatikus optimalizálása. Ezt különféle extrém, adaptív tanulási rendszerekben hajtják végre.

A probléma megoldása

A rendszerhiba egyenlő a hasznos jel becsült és valós értéke közötti különbséggel . A minimális négyzetes hiba definíció szerint [1] : $d(t)$ $y(t)$ $e(t)=d(t)-y(t)$

$\eta =\overline {e^{{2}}}=\overline {d^{{2}}}-2\,\overline {d\,y}+\overline {y^{{2}}}$ =

$\overline {d^{{2}}}-2\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}w(\tau )\overline {f(t-\tau )d(t) }\,{\mathrm {d}}\tau +\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}w (\xi )w(\mu )\overline {f(t-\xi )f(t-\mu )}\,{\mathrm {d}}\xi \,{\mathrm {d}}\mu$ =

$\overline {d^{{2}}}-2\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}w(\tau )\rho _{{fd}}(\tau ){\ mathrm {d}}\tau +\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}w(\xi )w (\mu )\rho _{{ff))(\xi -\mu )\,{\mathrm {d}}\xi \,{\mathrm {d}}\mu$ .

Itt a korrelációs függvények jelölését használjuk :

$\rho _{{fd}}(\tau )=\overline {f(t)\,d(t+\tau )}$

$\rho _{{ff}}(\tau )=\overline {f(t)\,f(t+\tau )}$ .

A képlet feletti vonal időátlagolást jelent. Feltételezzük, hogy a rendszer optimális impulzusválasza létezik, és egyenlő . $w_{{\text{opt}}}$

Ekkor a rendszer bármely ettől eltérő impulzusválasza ábrázolható

$w(t)=w_{{\text{opt}}}(t)+\alpha \,\theta (t)$ ,

ahol az idő tetszőleges függvénye, egy változó együttható. $\théta (t)$ $\alpha$

A minimális szórási hibát a következőnél érjük el . A kereséshez meg kell találnia a minőségi mutató származékát a variációs együttható alapján, és egyenlővé kell tennie nullával a következő helyen : $\alpha=0$ $w_{{\text{opt}}}(t)$ $\eta$ $\alpha$ $\alpha=0$

${\frac {\partial \eta }{\partial \alpha }}|_({\alpha =0}}$ =

$-2\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}\theta (\tau )\,\rho _{{fd}}(\tau )\,{\mathrm {d}}\ tau +\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}\left[w_{{\text{opt}} }(\xi )\,\theta (\mu )+w_{{\text{opt))}(\mu )\,\theta (\xi )\jobbra]\,\rho _{{ff}}( \xi -\mu )\,{\mathrm {d}}\xi \,{\mathrm {d}}\mu$ =

$-2\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}\theta (\xi )\rho _{{fd}}(\xi )\,{\mathrm {d}}\xi + 2\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}\theta (\xi )\,w_{{\text {opt}}}(\mu )\,\rho _{{ff}}(\xi -\mu )\,{\mathrm {d}}\xi \,{\mathrm {d}}\mu$ =

$2\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}\theta (\xi )\,\left[\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}w_{ {\text{opt))}(\mu )\rho _{{ff))(\xi -\mu ){\mathrm {d))\mu -\rho _{{fd))(\xi )\ jobbra]\,{\mathrm {d}}\xi =0$

Mivel egy tetszőleges függvény, az utolsó egyenlőség akkor és csak akkor érvényes, ha: $\a taxi )$

$\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}w_{{\text{opt}}}(\mu )\,\rho _{{ff}}(\xi -\mu )\ ,{\mathrm {d}}\mu -\rho _{{fd}}(\xi )=0$ .

Ez a Wiener-Hopf egyenlet , amely meghatározza a rendszer optimális impulzusválaszát a minimális négyzetes hiba kritériuma szerint. A megoldáshoz a Laplace-transzformációt alkalmazzuk a kapott egyenletre. Ismeretes, hogy a konvolúcióból származó Laplace-transzformáció egyenlő a Laplace-transzformációk szorzatával , akkor:

$w_{{\text{opt}}}(p)S_{{ff}}(p)-S_{{fd}}(p)=0$ ,

hol ; ; . $w_{{\text{opt}}}(p)=L{w_{{\text{opt}}}(t)}$ $S_{{ff}}(p)=L{\rho _{{ff}}(t)}$ $S_{{fd}}(p)=L{\rho _{{fd}}(t)}$

Így meghatározzuk az 1. típusú optimális Wiener-szűrőt:

$W_{{\text{opt I}}}={\frac {S_{{fd}}(p)}{S_{{ff}}(p)))$ .

Ha a polinom sorrendje a számlálóban magasabbnak bizonyul, mint a nevezőben lévő polinom sorrendje, az 1. típusú Wiener-szűrő fizikailag megvalósíthatatlan. A probléma megoldására az impulzusválasz meghatározása után negatív értékeknél erőszakosan nullával egyenlővé teszik (ez a nullától való eltérés jellemzi a rendszer fizikai megvalósíthatatlanságát), és így egy 2. típusú fizikailag megvalósítható Wiener-szűrőt. kapunk. $t$ $w(t)$ $t<0$

Történelem

A második világháború idején N. Wiener amerikai matematikus azzal a feladattal szembesült, hogy a légvédelmi rendszerek radartechnológiával történő automatizálásával kapcsolatos problémák megoldása során elválasztsák a hasznos jeleket a zajtól. 1942-ben N. Wiener elméletileg úgy oldotta meg ezt a problémát, hogy feltételezte, hogy a kívánt rendszernek lineárisnak kell lennie állandó paraméterekkel, a megfigyelési idő végtelen, a rendszer bemeneti és kimeneti jelei stacionárius és stacionárius kapcsolódó véletlenszerű folyamatok , és a rendszer minimalizálja a átlagos négyzetes hiba a hasznos bemeneti és kimeneti jelek között. Ezzel a módszerrel kísérleti analóg eszközöket hoztak létre és teszteltek, de ezeket több okból nem lehetett valódi légvédelmi rendszerekben alkalmazni.

Lásd még

Wiener-Hopf egyenlet

Jegyzetek

↑ Levin B. R. A statisztikai rádiótechnika elméleti alapjai. Második könyv. - M., Szovjet rádió, 1968. - p. 280

Irodalom

Norbert Wiener "Matematikus vagyok", M., "Nauka", 1964, 12. fejezet "A háború évei. 1940-1945", p. 213-265;
Khurgin Ya. I. „Igen, nem vagy talán…”, 2. kiadás, M., Nauka, 1983, 208 oldal, illusztráció, 32,81 X98 UDC 62-50 BBK 32,81 6F0.1, lövöldözés. 100.000 példány, ch. „A remény művészete”, p. 138-148;
L. A. Vainshtein, V. D. Zubakov „Jelek izolálása a véletlenszerű zaj hátterében”, M., „Szovjet rádió”, 1960, 447 pp., ch. 1. „A véletlenszerű folyamatok szűrésének elméletének alapfogalmai”, o. 7-54.;
J. Bendat "A véletlenszerű zaj elméletének alapjai és alkalmazásai", M., "Nauka", 1965, 464 oldal illusztrációkkal, ch. 4 „Optimális lineáris előrejelzés és szűrés”, 4. o. 165-215;
Levin B.R. „A statisztikai rádiótechnika elméleti alapjai. Második könyv, Moszkva, Szovjet Rádió, 1968, 502 oldal illusztrációkkal, ch. 4 „Véletlenszerű folyamatok szűrése”, 4. o. 278-319;