Wiener-Hopf egyenlet

A Wiener-Hopf egyenlet egy lineáris integrál egyenlet , amelynek pozitív féltengelyén egy differenciamag van:

\beta \varphi (x)=\lambda \int _{0}^{\infty }K(xs)\varphi (s)\,ds+f(x),

hol a kívánt függvény ; , ismert függvények, paraméterek. A Mikor az 1. típusú Wiener-Hopf egyenlet, a mikor a 2. típusú Wiener-Hopf egyenlet. Wiener és Hopf szerezte meg, amikor megoldotta a csillagok belsejében lévő sugárzási egyensúly problémáját. A kibernetikában is használják , amikor egy hasznos jel kinyerésével és szűrésével kapcsolatos problémákat old meg a zaj keverékéből. $\varphi(x)$ $f(x)$ $K(xs)$ $\lambda ,\beta$ $\beta=0$ $\beta=1$

Megoldási módszer

A megoldásra az ún. egyirányú függvények és egyenlő és egyenlő x>0 esetén, és 0 x<0 esetén, és 0-val egyenlő függvény x>0 esetén. Egyirányú függvények segítségével az egyenletet a következő formában írjuk fel: . Így az egyoldalú függvények segítségével az egyenlet definíciós tartománya a negatív féltengelyre bővül. Ezután a közvetlen Fourier transzformáció kerül alkalmazásra . A képegyenlethez a Riemann-határérték-probléma megoldott, azaz. függvények és vannak meghatározva . Az integrálegyenlet megoldása a függvény inverz Fourier-transzformációja : . $\varphi _{+}(x)$ $f_{+}(x)$ $\varphi(x)$ $f(x)$ $\varphi _{-}(x)$ $\beta \varphi _{+}(x)=\lambda \int _{-\infty }^{+\infty }K(xs)\varphi _{+}(s)\,ds+f_{ +}(x)+\varphi _{-}(x)$ $\varphi ^{\pm }(u)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }\varphi _{\pm }(x)e^{iux}dx$ $\varphi ^{+}(u)={\frac {f^{+}+\varphi ^{-}}{\beta -\lambda K^{*}(u)))$ $\varphi ^{-}$ ${\displaystyle \varphi ^{+))$ ${\displaystyle \varphi ^{+))$ $\varphi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }\varphi ^{+}(u)e^ {-iux}du$

Irodalom

Fizikai enciklopédia. T.1. Főszerkesztő A. M. Prohorov. M. Sov. enciklopédia. 1988.
N. Wiener "Matematikus vagyok" M.: Nauka, 1964, V 48 51 (09) UDC 510 (092), 353 oldal illusztrációkkal, ch. 6 „Alkotó sikerek és örömök. 1927-1931", p. 120-143;
Samoilenko V. I., Puzyrev V. A., Grubrin I. V. "Technikai kibernetika", tankönyv. juttatás, M., MAI kiadó , 1994, 280 oldal illusztrációkkal, ISBN 5-7035-0489-9 , LBC 14.2.5 C 17 UDC 621.396.6, ch. 3 „Lineáris rendszerek szintézise. Optimális rendszerek”, 3.3. oldal „Rendszerek optimalizálása az ISCED-kritérium szerint. Wiener-Hopf egyenletek.», p. 60-63;
A. V. Manzhirov, A. D. Polyanin „Kézikönyv az integrálegyenletekről. Solution Methods”, M., Factorial Press, 2000, 384 oldal, ISBN 5-88688-046-1 , LBC 517.2 M 23 UDC 517.9, ch. 5 "Módszerek integrálegyenletek megoldására", 5.9-1. o. "Második típusú Wiener-Hopf egyenlet".
Myshkis A.D. "Matematika műszaki egyetemeknek", spec. tanfolyamok, 2. kiadás, St. Petersburg, Lan kiadó, 2002, 640 pp., ISBN 5-8114-0395-X , ch. 7 "Integrál egyenletek", 4. tétel "Néhány speciális egyenletosztály", 8. tétel "Fredholm-egyenlet differenciális maggal a féltengelyen".
Gokhberg I. Ts., Feldman I. A. Konvolúciós egyenletek és megoldásukra vetítési módszerek, M., Nauka kiadó, 1971, 352 p.