Vektor mennyiség

A vektormennyiség  olyan fizikai mennyiség , amely vektor ( 1- es rangú tenzor ). Egyrészt szemben áll a skalárral (0. rangú tenzorok), másrészt a tenzormennyiségekkel (szigorúan véve a 2. vagy annál magasabb rangú tenzorokkal). Bizonyos, teljesen más matematikai természetű objektumokkal is szembehelyezhető.

A legtöbb esetben a vektor kifejezést a fizikában az úgynevezett "fizikai térben" lévő vektor megjelölésére használják, vagyis a klasszikus fizika szokásos háromdimenziós terében vagy a négydimenziós [1] téridőben. modern fizika (utóbbi esetben a vektor és a vektormennyiség fogalma egybeesik a 4 vektoros és egy 4 vektoros mennyiség fogalmával).

A "vektormennyiség" kifejezés használata ezzel gyakorlatilag kimerült. Ami a "vektor" kifejezést illeti, az, annak ellenére, hogy alapértelmezés szerint ugyanarra az alkalmazhatósági területre hajlik, sok esetben még mindig nagyon messze túlmutat ezen határokon. Erről lásd alább.

A vektor és a vektormennyiség kifejezések használata a fizikában

Annak ellenére, hogy a vektor megértése fizikai és matematikai oldalról gyakorlatilag megegyezik, a terminológiai sajátosság az absztrakció különböző fokai miatt jelenik meg.

A matematika fizikáját tekintve a vektor fogalma redundáns: bármely vektornak bármilyen természete, végtelenül absztrakt tere és dimenziója lehet. Ha konkrétumokra van szükség, akkor vagy hosszasan kell meghatározni, vagy figyelembe kell venni a kifejezetten leírt kontextust, ami gyakran zavarhoz vezet.

A fizikában azonban szinte mindig nem általában (bizonyos formai tulajdonságokkal rendelkező) matematikai objektumokról beszélünk, hanem konkrét, specifikus, „fizikai” kötésükről. Ha figyelembe vesszük ezeket a konkrétsági megfontolásokat a rövidség és a kényelem szempontjai mellett, akkor érthető, hogy a fizika terminológiai gyakorlata jelentősen eltér a matematikai gyakorlattól. Ez utóbbival azonban nem kerül egyértelmű ellentmondásba. Ezt több egyszerű módon is el lehet érni. Mindenekelőtt az a konvenció, hogy az alapértelmezett kifejezést használják – implicit kontextusban. Tehát a fizikában a matematikától eltérően a vektor szót általában nem úgy értelmezik, mint „bármely lineáris tér valamilyen vektorát általában”, hanem mindenekelőtt olyan vektorként, amely a „hétköznapi fizikai térhez” (a klasszikus fizika háromdimenziós teréhez) kapcsolódik. vagy négydimenziós téridő [ 2] relativisztikus fizika). Olyan terek vektoraihoz, amelyek nem közvetlenül és közvetlenül kapcsolódnak a „fizikai térhez” vagy „téridőhöz”, csak használjon speciális neveket (néha tartalmazza a „vektor” szót is, de pontosítással). Ha valamilyen tér olyan vektorát vezetik be az elméletbe, amely nem közvetlenül és közvetlenül kapcsolódik a "fizikai térhez" vagy "téridőhöz" (és amelyet nehéz bármilyen határozott módon azonnal jellemezni), akkor azt gyakran kifejezetten úgy írják le, mint egy "absztrakt vektor".

A fentiek mindegyike, még a „vektor” kifejezésnél is több, a „vektormennyiség” kifejezésre vonatkozik. Az alapértelmezett ebben az esetben még egyértelműbben a "hétköznapi térhez" vagy téridőhöz való kötődést jelenti, és az absztrakt vektorterek elemekkel kapcsolatos használatával szinte soha nem találkozunk (legalábbis nagyon ritka kivétel).

A fizikában a vektorokat leggyakrabban (és a vektormennyiségeket - szinte mindig) két hasonló osztályba tartozó vektoroknak nevezik:

1. a klasszikus fizikában (klasszikus mechanika, elektrodinamika a klasszikus háromdimenziós megfogalmazásban és a fizika más, főként a XX. század eleje előtt kialakult területein) a vektormennyiségeket vagy egyszerűen vektorokat általában a hétköznapi háromdimenziós tér vektorainak nevezik - a közönséges "geometriai" vektorok, vagy skaláris tényezővel (beleértve a mérettényezőt is) eltérhetnek azoktól. Bár a fizika ezen területein a modern matematika által vektorként azonosított különféle objektumokat ténylegesen használták, a fizikai terminológiában ez nagyon csekély visszhangot kapott (például a klasszikus elektrodinamikában a Fourier-transzformációt és a klasszikus kontinuumelméletet nagyon intenzíven használják, de hagyományosan Szinte nem tekinthető klasszikusnak a kontextusban a "vektor" szó függvényekkel kapcsolatos használatával, bár matematikai szempontból ez teljesen törvényes lenne [3] ). Talán az egyetlen figyelemre méltó kivétel a szabály alól a fázis- vagy konfigurációs terek elemei vektorainak meglehetősen szabad működése [4] .
2. a relativisztikus fizikában [5] (Poincarétól, Plancktől és Minkowskitól), és nagymértékben a modern elméleti fizikában a vektorok és vektormennyiségek elsősorban a négydimenziós téridő vektoraiként [6] értendők, és közvetlenül kapcsolódnak a téridőhöz. ez (amelyek a 4 eltolási vektorok skaláris szorzójában különböznek) 4-vektorok .
3. a kvantummechanikában, a kvantumtérelméletben stb. a „vektor” szót általánosan használják az ilyen objektumok állapotvektorként való jelölésére is . Ennek a vektornak elvileg bármilyen dimenziója lehet, és általában végtelen dimenziójú. Azonban gyakorlatilag nincs tévedés, mivel a vektor szó itt kizárólag stabil kombinációs állapotvektorban használatos , és soha nem külön-külön, kivéve talán azokat az eseteket, amikor a kontextus már annyira nyilvánvaló, hogy az összetéveszthetőség egyszerűen lehetetlen (például amikor egyetlen A szóvektort ismételten használjuk egy objektumhoz , amelyet közvetlenül korábban állapotvektornak neveztek el, vagy egyértelmű specifikus megjelölésekkel – például Dirac zárójelekkel – vagy a megfelelő kifejezésekkel. Speciális szavakat használnak bizonyos terek (pl. mint például a spinorok ) vagy explicit nevek (színtérvektor, izotóp spin). Ráadásul a „vektormennyiség" kifejezést szinte soha nem alkalmazzák az ilyen absztrakt vektorokra. Mindez lehetővé tette, hogy a „vektor" kifejezés talán megtartsa fő jelentése - a 4-es vektor jelentése Ez a jelentés beágyazódik a vektormező , vektor kifejezésekbe részecske ( vektor bozon , vektor mezon ). A „skalár” szónak konjugált jelentése is van az ilyen kifejezésekben .

Példák vektorfizikai mennyiségekre: sebesség , erő , hőáram .

A vektormennyiségek keletkezése

Hogyan kötődnek a fizikai "vektormennyiségek" a térhez? Először is szembetűnő, hogy a vektormennyiségek dimenziója (a kifejezés használatának szokásos értelmében, amit fentebb kifejtettünk) egybeesik például ugyanazon "fizikai" (és "geometriai") tér dimenziójával. , a tér háromdimenziós, az elektromos vektormezők pedig háromdimenziósak. Intuitív módon az is észrevehető, hogy bármely vektorfizikai mennyiségnek, bármennyire is homályos a kapcsolata a szokásos térbeli kiterjedéssel, ennek ellenére egészen határozott iránya van ebben a hétköznapi térben.

Kiderült azonban, hogy sokkal többet lehet elérni, ha a fizika vektormennyiségeinek teljes halmazát közvetlenül "redukáljuk" a legegyszerűbb "geometriai" vektorokra, vagy inkább egyetlen vektorra - az elemi elmozdulás vektorára, de ez helyesebb azt mondani – mindet abból származtatva.

Ennek az eljárásnak két különböző (bár lényegében egymást részleteiben ismétlődő) megvalósítása van a klasszikus fizika háromdimenziós esetére és a modern fizikában megszokott négydimenziós tér-idő megfogalmazásra.

A klasszikus háromdimenziós tok

A szokásos háromdimenziós „geometrikus” térből indulunk ki, amelyben élünk és mozoghatunk.

Vegyük az infinitezimális eltolási vektort kezdeti és példavektornak. Eléggé nyilvánvaló, hogy ez egy szabályos "geometriai" vektor (valamint egy véges eltolási vektor).

Most rögtön megjegyezzük, hogy egy vektort skalárral megszorozva mindig új vektort kapunk. Ugyanez mondható el a vektorok összegéről és különbségéről. Ebben a fejezetben nem teszünk különbséget poláris és axiális vektorok között [7] , ezért megjegyezzük, hogy két vektor keresztszorzata is új vektort ad.

Ezenkívül az új vektor megadja a vektor differenciálását a skalárhoz képest (mivel egy ilyen derivált a vektorok különbségének skalárhoz viszonyított arányának határa). Ez elmondható tovább az összes magasabb rend származékairól. Ugyanez igaz a skalárok (idő, térfogat) feletti integrációra is.

Most megjegyezzük, hogy az r sugárvektorból vagy a d r elemi eltolódásból könnyen megérthetjük, hogy a vektorok (mivel az idő skalár) olyan kinematikai mennyiségek, mint pl.

• sebesség
• gyorsulás

A sebesség és a gyorsulás skalárral (tömeggel) szorozva jelenik meg

• lendület ,
• erő .

Mivel most már a pszeudovektorok is érdekelnek bennünket, ezt megjegyezzük

• szögsebesség ,
• szögimpulzus  - teljesen érthető módon jelennek meg. [nyolc]

• a Lorentz -erőképlet segítségével az elektromos térerősséget és a mágneses indukcióvektort az erő- és sebességvektorokhoz kötjük.

Folytatva ezt az eljárást, azt találjuk, hogy az összes általunk ismert vektormennyiség immár nemcsak intuitívan, hanem formálisan is az eredeti térhez van kötve. Ugyanis bizonyos értelemben mindegyik annak eleme, hiszen lényegében más vektorok lineáris kombinációjaként fejeződnek ki (skaláris tényezőkkel, esetleg dimenziós, de skaláris, tehát formálisan meglehetősen legális).

A modern négydimenziós tok

Ugyanez az eljárás elvégezhető négydimenziós elmozdulásból kiindulva. Kiderült, hogy minden 4-vektoros mennyiség 4-eltolódásból "származik", tehát bizonyos értelemben ugyanazok a téridő-vektorok, mint maga a 4-eltolódás.

A vektorok típusai a fizikával kapcsolatban

• A poláris vagy igaz vektor  közönséges vektor.
• Axiális vektor (pszeudo-vektor) - valójában nem valós vektor, de formálisan szinte nem különbözik az utóbbitól, kivéve, hogy a koordinátarendszer orientációjának megváltozásakor (például a koordináta esetén) az ellenkező irányba változtatja az irányt. rendszer tükröződik). Példák pszeudovektorokra: két poláris vektor keresztszorzatán keresztül meghatározott összes mennyiség.
• Az erőknek több különböző ekvivalenciaosztálya van .

Jegyzetek

1. ↑ Sok modern elméletben az alapvető téridő dimenziója nagyobb, mint 4; ez azonban elvileg eléggé megváltozik, ráadásul ezen elméletek egyike sem érte el még az általánosan elfogadott és kellően megerősített státuszt.
2. ↑ Sok modern elméletben, például a húrelméletben a téridő nem 4 dimenziós, hanem több dimenzióval rendelkezik, azonban ez legtöbbször meglehetősen közvetlen és egyszerű általánosítása a 4 dimenziós prototípusának, és annak lehetősége, A zavart gyakorlatilag maguknak az elméleteknek a kontextusa is kizárja (nem beszélve arról, hogy a dimenziót ilyenkor gyakran kifejezetten jelzik, és a dimenzión kívül nem feltételeznek eltérést a szokásos téridőtől).
3. ↑ A fizikai és a matematikai terminológia közötti ellentmondások elkerülése érdekében van egy ilyen módszer: az „ilyen és ilyen tér vektora” kifejezés helyett használhat egy szinonimát - „ilyen és ilyen tér eleme”. Matematikailag teljesen egyenértékű, de nem okoz zavart, ha a fizikára jellemző terminológiai hagyományokkal együtt használjuk.
4. ↑ Nehéz megmondani, hogy mi szolgálta ezt nagyobb mértékben: az a tény, hogy ezek a terek (különösen a konfigurációsok) túlzottan a hétköznapi fizikai tér általánosításának tűnnek, bizonyos esetekben egyszerűen az utóbbi egybeesésével, vagy Az elméleti mechanikát, amelyben ezek a fogalmak felmerültek, nem a fizika, hanem a matematika ágának tekintik.
5. ↑ A relativisztikus fizika itt elsősorban a relativisztikus mechanika, elektrodinamika és más elméletek standard 4 dimenziós megfogalmazására utal. Elvileg ezt a megfogalmazást alkalmazzák kvantumelméletekhez és nem kvantumelméletekhez is.
6. ↑ A legkézenfekvőbb kiút ebből a keretből alapértelmezés szerint (azaz speciális terminológiai tisztázó markerek nélkül) a már említett elméletek, amelyek az alapvető fizikai téridő 4-nél nagyobb dimenziójának feltételezésén alapulnak, a Kaluza-elméletből kiindulva. , húrelmélethez stb. d.
7. ↑ Ha szükséges, egy ilyen felosztást könnyű elkészíteni, de most a vektorfizikai mennyiségek legteljesebb halmazának első felépítése érdekel, és nem az osztályozásuk, és erre fogunk összpontosítani.
8. ↑ A szögsebességre viszont a legegyszerűbb a fordított érvelés alkalmazása: mivel a szögsebesség és a sugárvektor vektorszorzata a sebesség, így a szögsebesség vektor (pontosabban pszeudovektor).