Végtelen tér

A végtelen dimenziós tér egy végtelenül nagy dimenziójú vektortér . A végtelen dimenziós terek és leképezéseik vizsgálata a funkcionális elemzés fő feladata. A legegyszerűbb végtelen dimenziós terek a Hilbert-terek , amelyek tulajdonságait tekintve a legközelebb állnak a véges dimenziós euklideszi terekhez [1] .

Definíció

Egy lineáris vektorteret végtelen dimenziósnak nevezünk, ha bármely egész számra lineárisan független, vektorokból álló rendszert tartalmaz [2] [3] . $N>0$ $N$

Alap

Egy végtelen dimenziós tér esetében a bázisnak többféle meghatározása létezik . Így például a Hamel-bázis vektorok halmazaként van definiálva egy lineáris térben, így bármely térvektor egyedi módon ábrázolható ezek valamilyen véges lineáris kombinációjaként.

Topológiai vektorterekhez Schauder - bázis definiálható . Az elemrendszer képezi a tér Schauder-bázisát, ha minden elemet egyedileg konvergens sorozatként ábrázolunk [4] . A Schauder-alap nem mindig létezik. ${\displaystyle \left\{e_{k}\right\))$ $E$ $x\in E$ ${\displaystyle x=\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}e_{k))$

Példák

Folytonos függvények lineáris tere adott intervallumon [2] .
Hilbert-tér , amelyet egy végtelen számsor alkot konvergens négyzetösszeggel [5] . $x=(\xi _{1},...,\xi _{k},...)$ $\sum _{n=1}^{\infty }\xi _{n}^{2}<\infty$
Az összes polinom halmaza [6] .
A statisztikus fizikában a fázistér szinte végtelen dimenziójú. [7]
A négyzetesen összeadható sorozatok tere

Tulajdonságok

Egy végtelen dimenziós tér nem izomorf a véges dimenziójú térrel [8] .

Lásd még

véges dimenziós tér

Jegyzetek

↑ Funkcionális elemzés // Matematikai enciklopédikus szótár / ch. szerk. Yu. V. Prokhorov . - M., Szovjet Enciklopédia , 1988. - p. 613-615
↑ 1 2 Efimov, 2004 , p. 33.
↑ Shikin E. V. Lineáris terek és leképezések. - M., Moszkvai Állami Egyetem , 1987. - p. 17
↑ Crane, 1964 , p. 74.
↑ Shilov, 1961 , p. 182.
↑ Efimov, 2004 , p. 42.
↑ Manin Yu.I. A matematika mint metafora. - M., MTSNMO, 2008. - ISBN 978-5-94057-287-9 . - Val vel. 148
↑ Efimov, 2004 , p. 39.

Irodalom

Efimov N.V. , Rozendorn E.R. Lineáris algebra és többdimenziós geometria. - M. : Fizmatlit, 2004. - 464 p. - ISBN 5-9221-0386-5 .
Shilov G.E. Matematikai elemzés. Különleges tanfolyam. — M .: Nauka, 1961. — 436 p.
szerk. Crane S.G. Funkcionális elemzés. - M. : Nauka, 1964. - 424 p. - 17 500 példány.