Topológia alap

A topológia alapja ( topológiai tér alapja, topológia alapja, nyílt bázis ) egy topológiai tér nyitott részhalmazainak családja , így bármely nyitott halmaz a család elemeinek uniójaként ábrázolható. $x$ $x$

Gyakran bemutatják a topológia alapját a topológia bemutatása érdekében . Például egy metrikus téren a topológia az összes nyitott golyó által alkotott alap alapján van meghatározva.

Definíció

A topológiai tér nyílt halmazainak családját a topológia (vagy topológiai tér) bázisának nevezzük, ha bármelyik nyílt halmaz a család elemeinek uniójaként ábrázolható . ${\mathfrak {B}}$ $x$ $x$ ${\mathfrak {B}}$

A nyílt halmazok családja egy topológiai térben akkor és csak akkor bázis, ha a tér minden pontjához és annak környezetéhez van egy halmaz , amelyből . ${\mathfrak {B}}$ $x$ $x$ $x$ $U$ $V$ ${\mathfrak {B}}$ $x\in V\U részhalmaz$

Topológiai tér súlya

A tér összes bázisának minimális számosságát a topológiai tér súlyának nevezzük . A térsúlyt általában jelöli . $x$ $x$ $x$ $w(X)$

Tulajdonságok

Minden bázishoz van egy részhalmaz , amely az alap, és amelynek számossága megegyezik a tér súlyával. ${\mathfrak {B}}$ ${\mathfrak {B}}_{0}$
Ha a tér súlya nem nagyobb, mint megszámlálható (vagyis megszámlálható alapja van), akkor azt a megszámlálhatóság második axiómájú térnek nevezzük . $x$ $x$ $x$
A súlytérben mindenhol sűrű erőkészlet található . $\tau$ $\leqslant \tau$

Változatok és általánosítások

A tér lokális bázisa egy pontban (a pont bázisa) a pont szomszédságainak családja, amely a következő tulajdonsággal rendelkezik: a pont bármely környezetéhez van olyan elem , hogy . $x$ $x\X-ben$ $x$ $\mathfrak{B}(x)$ $x$ $Ökör$ $x$ $V \in \mathfrak{B}(x)$ $x \in V \O_x részhalmaz$
- A tér összes lokális bázisának minimális számosságát egy pontban a pontban
lévő tér karakterének nevezzük , és jelöli . $x$ $x\X-ben$ $x$ $x$ $\chi (x, X)$
A tér karaktereinek felső részét minden pontban a tér karakterének nevezzük , és jelöli . $x$ $x\X-ben$ $x$ $\chi (X)$
Azokat a tereket, amelyeknek minden pontjában megszámlálható helyi bázisuk van, tereknek nevezzük a megszámlálhatóság első axiómájával .
Az X -ben lévő nyitott halmazok családja akkor és csak akkor bázis, ha minden ponthoz a pontot tartalmazó összes elem alcsaládja a pont helyi bázisa . ${\mathfrak {B}}$ $x\X-ben$ $\mathfrak{B}(x)$ ${\mathfrak {B}}$ $x$ $x$

A szomszédsági rendszer egy olyan család , amely mindegyik számára a tér helyi bázisa egy ponton .

\{{\mathfrak {B}}(x)\}_{{x\in X}}

\mathfrak{B}(x)

x

x

x\X-ben

Az előbázis egy topológiai tér nyitott részhalmazainak családja úgy, hogy az összes olyan halmaz halmaza, amely véges számú elem metszéspontja , képezi a tér alapját .

Y

x

Y

x

A zárt bázis valamely bázis elemeihez tartozó összes kiegészítés családja.

\pi

A -base ( rácsbázis ) a tér nem üres nyitott részhalmazainak családja úgy, hogy minden olyan nem üres halmaz, amelyre nyitott, tartalmaz egy , azaz a térben sűrű Hausdorff halmazt . Minden alap alap. Ennek a fordítottja nem igaz, például a természetes számok halmazának Stone-Cech tömörítésénél a halmaz egypontos részhalmazainak családja -bázis , de nem bázis.

{\mathfrak {B}}

x

x

{\mathfrak {B}}

{\mathfrak {B}}

x

\pi

\beta \mathbb{N}

\mathbb {N}

\pi

A pszeudobázis olyan nyitott részhalmazok családja, amelyekben a fix pontot tartalmazó összes elemének metszéspontja egybeesik ezzel a ponttal. Csak a T 1 - terekben létezik . A megszámlálható pszeudobázissal nem rendelkező, megszámlálható bázissal nem rendelkező térre példa a nullákból és egyesekből álló sorozatok tere diszkrét topológiával (a pszeudobázis egy olyan halmaz, amely az összes olyan szekvenciából áll, amelyek egy adott pozícióban rögzített értékűek).

Topológia meghatározása alap-, előbázis- és szomszédsági rendszerrel

Egy tetszőleges halmaz részhalmazainak családja akkor és csak akkor az alapja bizonyos topológiáknak, ha megfelel a következő feltételeknek: ${\mathfrak {B}}$ $x$ $x$ ${\mathfrak {B}}$

Minden pont a család valamelyik halmazához tartozik . $x\X-ben$ $U$ ${\mathfrak {B}}$
Bármely halmazhoz és ponthoz létezik olyan halmaz , amelyre . $U,V\in {\mathfrak {B}}$ $x\in U\cap V$ $W\in {\mathfrak {B}}$ $x\in W\subset U\cap V$

Ebben az esetben a topológia alapja, amelyen a halmazok akkor és csak akkor nyitottak, ha a készlet egyes részhalmazainak uniójaként ábrázolhatók . Az ilyen topológiát az alap által generált topológiának nevezzük .

{\mathfrak {B}}

x

{\mathfrak {B}}

{\mathfrak {B}}

Ahhoz, hogy egy tetszőleges halmaz részhalmazainak családja valamilyen topológia előbázisa legyen a -n, szükséges és elégséges, hogy a fenti 1. feltétel teljesüljön. Ráadásul ebben a topológiában azok és csak azok a halmazok nyitottak, amelyek ábrázolhatók egyes részhalmazok véges metszéspontjainak uniója -ból . Az ilyen topológiát prebázis által generált topológiának nevezzük . Ez a családot tartalmazó legkisebb topológia . ${\mathfrak {B}}$ $x$ $x$ ${\mathfrak {B}}$ ${\mathfrak {B}}$ ${\mathfrak {B}}$

Egy tetszőleges halmaz részhalmazainak családjainak halmaza akkor és csak akkor bizonyos topológiájú szomszédságrendszer, ha teljesíti a következő feltételeket: $\{{\mathfrak {B}}(x)\}_{{x\in X}}$ $x$ $x$

Mindegyiknél a család nem üres, és minden . $x\X-ben$ $\mathfrak{B}(x)$ $x\u-ban$ $U\in {\mathfrak {B}}(x)$
Mindenki számára van ilyen . $y\in U\in {\mathfrak {B}}(x)$ $V\in {\mathfrak {B}}(y)$ $V\alhalmaz U$
Bármely halmazhoz létezik olyan, hogy . $V,W\in {\mathfrak {B}}(x)$ $U\in {\mathfrak {B}}(x)$ $U\alhalmaz V\cap W$

Ebben az esetben a topológia szomszédsági rendszere , amely a család alcsaládjainak uniójaként reprezentálható összes részhalmazból áll . Az ilyen topológiát a szomszédsági rendszer által generált topológiának nevezzük .

\{{\mathfrak {B}}(x)\}_{{x\in X}}

x

\bigcup _{{x\in X}}{\mathfrak {B}}(x)

\{{\mathfrak {B}}(x)\}_{{x\in X}}

Példák

Bármely topológiai tér alapja az összes nyitott halmazának családja.
A diszkrét topológia alapja az összes egypontos részhalmazának családja.
Ha és topológiai terek topológiák és bázisokkal , akkor a derékszögű szorzat topológiáját az alap adja meg $x$ $Y$ $\mathfrak{B}_X$ $\mathfrak{B}_Y$ $X\-szer Y$

\mathfrak{B}_{X\times Y} = \{U\x V\,: U\in\mathfrak{B}_X,\,V\in\mathfrak{B}_Y\}

Ebben az esetben a bekapcsolt topológia nem függ attól, hogy az X és Y terek mely alapjait használjuk a meghatározásához. Az ilyen topológiát a topológiai terek derékszögű szorzatának (standard) topológiájának nevezzük .

X\-szer Y

A valós számok terének topológiáját az összes intervallumrendszer adja meg , amely ennek a topológiának az alapját képezi. Hasonlóképpen, egy tér topológiáját a nyitott rudak alapja adja meg , és ez a topológia nyilvánvalóan egybeesik a terek közvetlen szorzatának standard topológiájával. $\mathbb {R}$ $(a,b)$ ${\R}^n$ $(a_1,b_1)\times(a_2,b_2)\times\dots\times(a_n,b_n)$
A rendezett topológiát általában nyílt intervallumú halmazok halmaza által generált topológiaként határozzák meg.
A metrikus topológiát általában egy adott metrika által megadott nyitott golyók halmaza által generált topológiaként határozzák meg .

Lásd még

Yesenin-Volpin tétel
Kötési axióma
Az alap alja

Irodalom

Alexandrov PS, Kolmogorov AN Bevezetés a halmazok és függvények általános elméletébe. - M.-L., 1948.
Uryson PS Proceedings a topológiáról és a matematika más területeiről. - V. 1-2. - M.-L., 1951.
Alexandrov P. S., Pasynkov B. A. Bevezetés a dimenzióelméletbe. Bevezetés a topológiai terek elméletébe és az általános dimenzióelméletbe. - M., 1973.
Arkhangelsky A. V., Ponomarev V. I. Az általános topológia alapjai problémákban és gyakorlatokban. - M., 1974.
Bourbaki N. Általános topológia. Alapszerkezetek / Per. franciából - M., 1968.
Engelking, R. Általános topológia. — M .: Mir , 1986. — 752 p.
Kelly, J. L. Általános topológia. - M .: Nauka, 1968.

Linkek

Topológia alapja – cikk az Encyclopedia of Mathematics -ból . A. A. Maltsev