Aszimptotikus expanzió

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. szeptember 24-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

Az f(x) függvény aszimptotikus kiterjesztése egy formális funkcionális sorozat , amelyben ennek a sorozatnak tetszőleges véges számú tagjának összege közelíti ( közelíti ) az f(x) függvényt néhány függvény közelében (esetleg a végtelenben). a határpontja . A függvény aszimptotikus kiterjesztésének és az aszimptotikus sorozatnak a fogalmát Henri Poincaré vezette be égimechanikai problémák megoldása során . Az aszimptotikus expanzió külön eseteit fedezték fel és alkalmazták már a 18. században. Az aszimptotikus kiterjesztések és sorozatok fontos szerepet játszanak a matematika , a mechanika és a fizika különböző problémáiban .

Definíció

A függvények kielégítsék a tulajdonságot: az f(x) függvény definíciós tartományának valamely határpontjára . A megadott feltételeket kielégítő függvénysorozatot aszimptotikus sorozatnak nevezzük. sor: amelyre a következő feltételek teljesülnek: $\varphi_{n}$ $\varphi _{{n+1}}(x)=o(\varphi _{n}(x))\ (x\jobbra L)\quad \forall n\in \mathbb{N}$ $L$ $\varphi_{n}$ $\sum _{{n=0}}^{\infty }a_{n}\varphi _{{n}}(x)$ $f(x)-\sum _{{n=0}}^{{N-1}}a_{n}\varphi _{{n}}(x)=O(\varphi _{{N}}( x))\ (x\jobbra L)$

vagy azzal egyenértékű:

f(x)-\sum _{{n=0}}^{{N-1}}a_{n}\varphi _{{n}}(x)=o(\varphi _{{N-1} }(x))\ (x\jobbra L).

az f (x) függvény vagy aszimptotikus sorozata aszimptotikus kiterjesztésének nevezzük . Ez a tény tükröződik:

f(x)\sim \sum _{{n=0}}^{\infty }a_{n}\varphi _{n}(x)\ (x\jobbra mutató L).

A függvény konvergens sorozata és aszimptotikus kiterjesztése közötti különbség a következőképpen szemléltethető: bármely fix konvergens sorozat esetén a sorozat egy értékhez konvergál , míg a fix függvény aszimptotikus kiterjesztése esetén a sorozat egy értékhez konvergál. a határban ( végtelen lehet). $f(x)$ $x$ $f(x)$ $N\rightarrow \infty$ $N$ $f(x)$ $x\rightarrow L$ $L$

Erdelyi aszimptotikus expanziója

Az Erdelyi aszimptotikus expanziónak van egy általánosabb meghatározása. Egy sorozatot az f(x) függvény Erdelyi-féle aszimptotikus kiterjesztésének nevezzük, ha létezik olyan aszimptotikus sorozat , $\sum _{{n=0}}^{\infty }a_{n}\varphi _{{n}}(x)$ $\psi_{{n}}$

f(x)-\sum _{{n=0}}^{{N}}a_{n}\varphi _{{n}}(x)=o(\psi _{{N}}(x) )\ (x\jobbra nyíl L).

Ez a tény a következő formában van leírva:

f(x)\sim \sum _{{n=0}}^{\infty }a_{n}\varphi _{n}(x)\ (x\rightarrow L)\quad \{\psi _{{ n}}(x)\}.

Az ilyen általánosított bővítésnek sok közös tulajdonsága van a szokásos aszimptotikus kiterjesztéssel, de az ilyen kiterjesztések elmélete kevéssé érthető, gyakran kevéssé használható numerikus számításokhoz, és ritkán használják.

Példák

gamma függvény

{\frac {e^{x}}{x^{x}{\sqrt {2\pi x}}}}\Gamma (x+1)\sim 1+{\frac {1}{12x}}+ {\frac {1}{288x^{2}}}-{\frac {139}{51840x^{3}}}-\cdots \ (x\rightarrow \infty )

Integrál exponenciális függvény

xe^{x}E_{1}(x)\sim \sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}n!}{x^{n} }}\ (x\jobbra \infty )

Riemann zéta függvény

\zeta (s)\sim \sum _{n=1}^{N}n^{-s}-{\frac {N^{1-s}}{s-1}}-{\ frac {1}{2}}N^{-s}+N^{-s}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {B_{2m}s^{\overline {2m- 1}}}{(2m)!N^{2m-1}}}

hol vannak a Bernoulli-számok és . Ez a bővítés minden komplexre érvényes .

B_{{2m}}

s^{{\overline {2m-1}}}=s(s+1)(s+2)\cdots (s+2m-2)

Hiba funkció

{\sqrt {\pi }}xe^{{x^{2}}}{{\rm {erfc}}}(x)\sim 1+\sum _{{n=1}}^{\infty } (-1)^{n}{\frac {(2n)!}{n!(2x)^{{2n))))

Az Erdelyi-féle aszimptotikus expanzióra, amely nem szokványos expanzió, egy példa: [1] :

{\frac {\sin(x)}{x}}\sim \sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {n!e^{{-(n+1)x/2n }}}{(\log x)^{n}}}\quad (x\jobbra \infty )\ \{(\log x)^{{-n}}\}.

Jegyzetek

↑ Roderick Wong. Integrálok aszimptotikus közelítései. Academic Press, London, 1989 p. 13

Irodalom

Matematikai enciklopédia / Szerk. I. M. Vinogradova. 2. kötet - M .: Mir, 1985.
Erdeyi A. Aszimptotikus expanziók / Per. angolról. - M., 1962
Kopson E. Aszimptotikus expanziók / Per. angolról. - M. , Mir, 1966.
Bleistein, N. és Handlesman, R. , Asymptotic Expansions of Integrals, Dover, New York, 1975