Steenrod-Eilenberg axiómák

A Steenrod-Eilenberg axiómák az Eilenberg és Steenrod által azonosított homológiaelméletek alapvető tulajdonságainak összessége .

Ez a megközelítés lehetővé teszi az eredmények, például a Mayer-Vietoris szekvencia bizonyítását minden homológiaelméletre egyszerre.

Axiómák

Legyen egy funktorsorozat a topológiai terek párjaitól a kommutatív csoportok kategóriájáig , felszerelve egy határnak nevezett természetes transzformációval . (Itt van a rövidítése .) $H_n$ ${\megjelenítési stílus (X,A)}$ $\partial \colon H_{i}(X,A)\H_{i-1}(A)$ $H_{i-1}(A)$ $H_{i-1}(A,\emptyset )$

A homotópia ekvivalenciája ugyanazt a homológiát indukálja. Vagyis ha homotopikus , akkor az indukált leképezéseik megegyeznek. $g\colon (X,A)\jobbra (Y,B)$ $h\colon (X,A)\jobbra nyíl (Y,B)$
Tegyük fel , hogy van egy pár és egy részhalmaza , úgy, hogy a lezárását a belső rész tartalmazza . Ekkor a zárvány izomorfizmust indukál a homológiában. ${\megjelenítési stílus (X,A)}$ $U$ $x$ $A$ $i\colon (XU,AU)\to (X,A)$
Legyen egy egypontos topológiai tér, akkor mindenkinek . $P$ $H_{n}(P)=0$ $n \neq 0$
Ha , topológiai terek családjának diszjunkt uniója , akkor . $X=\coprod _{\alpha }{X_{\alpha }}$ $X_{\alpha }$ $H_{n}(X)\cong \bigoplus _{\alpha }H_{n}(X_{\alpha })$
Mindegyik pár a zárványhomológiák hosszú, pontos sorozatát indukálja , és : ${\megjelenítési stílus (X,A)}$ $i\colon A\to X$ $j\colon X\to (X,A)$ $\cdots \longrightarrow H_{n}(A)\,{\stackrel {i_{*}}{\longrightarrow }}\,H_{n}(X)\,{\stackrel {j_{*}} {\longrightarrow }}\,H_{n}(X,A)\,{\stackrel {\partial }{\longrightarrow }}\,H_{n-1}(A)\longrightarrow \cdots .$

Irodalom

C. Kosniewski Alapfokú algebrai topológia kurzus