Steenrod-Eilenberg axiómák
A Steenrod-Eilenberg axiómák az Eilenberg és Steenrod által azonosított homológiaelméletek alapvető tulajdonságainak összessége .
Ez a megközelítés lehetővé teszi az eredmények, például a Mayer-Vietoris szekvencia bizonyítását minden homológiaelméletre egyszerre.
Axiómák
Legyen egy funktorsorozat a topológiai terek párjaitól a kommutatív csoportok kategóriájáig , felszerelve egy határnak nevezett természetes transzformációval . (Itt van a rövidítése .)
![{\displaystyle \partial \colon H_{i}(X,A)\H_{i-1}(A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fddc49f3fea6bcdbf44c88d4c5e295c4559875b)
![{\displaystyle H_{i-1}(A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7a9b50ca774061a1afb629206d9cc63650b0ae4)
![{\displaystyle H_{i-1}(A,\emptyset )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a46697869e9076ac8c93bb2c5663bbcc8e0ed04d)
- A homotópia ekvivalenciája ugyanazt a homológiát indukálja. Vagyis ha homotopikus , akkor az indukált leképezéseik megegyeznek.
![{\displaystyle h\colon (X,A)\jobbra nyíl (Y,B)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b72d9e686544f294ea0e0024a4298007c7c9580)
- Tegyük fel , hogy van egy pár és egy részhalmaza , úgy, hogy a lezárását a belső rész tartalmazza . Ekkor a zárvány izomorfizmust indukál a homológiában.
![{\megjelenítési stílus (X,A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d53eff80e8e569a9ce3e2f20adf4e9bb17feca0)
![U](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025)
![x](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
![A](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3)
![{\displaystyle i\colon (XU,AU)\to (X,A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32ca96d1073efef141780c808554dd69fc132f17)
- Legyen egy egypontos topológiai tér, akkor mindenkinek .
![P](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a)
![{\displaystyle H_{n}(P)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1a7103b207144f1d3c51acb3d2d79bddf2f76a5)
![n \neq 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5920e98ff3dd1cb41e01f76243300450c958d5e5)
- Ha , topológiai terek családjának diszjunkt uniója , akkor .
![{\displaystyle X=\coprod _{\alpha }{X_{\alpha }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3169800da55dfe779277dc102750ba75b3b12778)
![X_{\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39308414a52622ff42b2b865f1c935fc9e35204f)
![{\displaystyle H_{n}(X)\cong \bigoplus _{\alpha }H_{n}(X_{\alpha })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/527cdae23dafaf4ad4dafae517b1194f4a55bf38)
- Mindegyik pár a zárványhomológiák hosszú, pontos sorozatát indukálja , és :
![{\megjelenítési stílus (X,A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d53eff80e8e569a9ce3e2f20adf4e9bb17feca0)
![{\displaystyle i\colon A\to X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6a64c55f7fe66fe8e1eb4b91766d3de6a11809f)
![{\displaystyle j\colon X\to (X,A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3818953750c836c22968062bd6e6cfbf728e4e4)
![{\displaystyle \cdots \longrightarrow H_{n}(A)\,{\stackrel {i_{*}}{\longrightarrow }}\,H_{n}(X)\,{\stackrel {j_{*}} {\longrightarrow }}\,H_{n}(X,A)\,{\stackrel {\partial }{\longrightarrow }}\,H_{n-1}(A)\longrightarrow \cdots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a6139d43a41bb9e92eb1e8dfc76fbd23ca93882)
Irodalom
- C. Kosniewski Alapfokú algebrai topológia kurzus