N-csoport (csoportelmélet)

Az N-csoport olyan csoport, amelynek valamennyi helyi alcsoportja (vagyis a nem triviális p -alcsoportok normalizálói ) megoldható . Thompson osztályozta a eldönthetetlen eseteket, miközben az összes minimális véges egyszerű csoport megtalálásán dolgozott.

Egyszerű N-csoportok

Az egyszerű N-csoportokat Thompson [1] [2] [3] [4] [5] [6] osztályozta egy 6 cikkből álló, összesen mintegy 400 oldalas sorozatban.

Az egyszerű N-csoportok speciális lineáris csoportokból , Suzuki csoportokból , unitárius csoportból , váltakozó A7 csoportból , Mathieu M 11 csoportból és Tits csoportból állnak . (A mellek csoportot kihagyták Thompson eredeti cikkéből 1968-ban, de Hearn rámutatott, hogy ez is egy egyszerű N-csoport). Általánosabban, Thompson kimutatta, hogy bármely nem megoldható N-csoport az Aut( G ) olyan alcsoportja, amely G -t tartalmaz néhány egyszerű N- csoporthoz . $\mathrm {PSL} _{2}(q),\mathrm {PSL} _{3}(3)$ $\mathrm {Sz} (2^{2n+1})$ $\mathrm {U} _{3}(3)$

Gorenstein és Lyons [7] általánosította Thompson tételét azon csoportok esetére, amelyeknek mindegyik 2-lokális alcsoportja megoldható. Az egyetlen hozzáadott egyszerű csoport az U 3 ( q ) egységcsoport.

Bizonyítás

Gorenstein [8] összefoglalja az N-csoportok Thompson-féle osztályozását.

A csoportrendet felosztó prímszámokat négy osztályba osztjuk ${\displaystyle \pi _{1},\pi _{2},\pi _{3},\pi _{4))$

$\pi_{1}$ a p prímek halmaza úgy, hogy a Sylow p -alcsoport nem triviális és ciklikus.
$\pi _{2}$ a p prímek halmaza úgy, hogy a P Sylow p -alcsoportja nem ciklikus, de az SCN 3 ( P ) üres
$\pi _{3}$ a p prímek halmaza úgy, hogy a Sylow p -alcsoport P nem üres SCN 3 ( P ), és P normalizál egy nem triviális Abel-alcsoportot, amelynek koprím rendje p -re .
${\displaystyle \pi _{4))$ a p prímek halmaza , amelyben a Sylow p - P alcsoport nem üres SCN 3 ( P ), de nem normalizál egy nem triviális Abel-alcsoportot, amelynek koprím rendje p -re .

A bizonyítás több esetre oszlik, attól függően, hogy e négy osztály közül melyikhez tartozik a prím 2, valamint az e egész számra , amely a legnagyobb egész szám, amelyre létezik egy elemi Abeli e rangú alcsoport, amelyet normalizál egy nem triviális 2-alcsoport.

1968 Thompson [1] általános bevezetőt tartott, kifejtette a fő tételt és bizonyította az előzetes lemmákat.
1970 Thompson [2] leírta az E 2 (3) és S 4 (3) csoportokat (Thompson jelölésével ezek a kivételes G 2 (3) csoport és az Sp 4 (3) szimplektikus csoport ), amelyek nem N- csoportok, de leírásuk szükséges a főtétel bizonyításához.
1971 Thompson [3] megvizsgálta az esetet . A 11.2. Tétel megmutatja, hogy abban az esetben, ha a csoport egy csoport vagy . Ennek lehetőségét kizárják annak bemutatásával, hogy minden ilyen csoportnak C-csoportnak kell lennie, és a Suzuki C-csoportok besorolása alapján igazolják, hogy a Suzuki által talált csoportok egyike sem felel meg ennek a feltételnek. ${\displaystyle 2\notin \pi _{4))$ ${\displaystyle 2\in \pi _{2))$ $\mathrm {PSL} _{2}(q),\mathrm {M} _{11},A_{7},\mathrm {U} _{3}(3)$ $\mathrm {PSL} _{3}(3)$ ${\displaystyle 2\in \pi _{3))$
1973 Thompson [4] [5] megvizsgálta a és vagy eseteit . Megmutatta, hogy G egy C-csoport , tehát egy Suzuki-csoport, vagy megfelel a második dolgozatában szereplő E 2 (3) és S 4 (3) csoportok leírásának, amelyek nem N-csoportok. ${\displaystyle 2\in \pi _{4))$ $e\geqslant 3$ $e=2$
1974 Thompson [5] megvizsgálta az esetet , és e =1, ahol az egyetlen lehetséges eset az, hogy G egy C-csoport vagy egy mellcsoport . ${\displaystyle 2\notin \pi _{4))$

Következmények

A minimális egyszerű csoport olyan nem ciklikus egyszerű csoport, amelynek mindegyik megfelelő alcsoportja megoldható. A minimális egyszerű csoportok teljes listáját Thompson adta [9]

PSL 2 (2 p ), p a prím.
PSL 2 (3 p ), p páratlan prím.
PSL 2 ( p ), p > 3 prime, összehasonlítható a 2 vagy 3 mod 5-tel
Sz(2 p ), p páratlan prím.
PSL 3 (3)

Más szavakkal, a nem ciklikus véges egyszerű csoportoknak rendelkezniük kell egy résztényezővel, amely izomorf e csoportok egyikével.

Jegyzetek

↑ 12 Thompson , 1968 .
↑ 12 Thompson , 1970 .
↑ 12 Thompson , 1971 .
↑ 12 Thompson , 1973 .
↑ 1 2 3 Thompson, 1974 .
↑ Thompson, 1974b .
↑ Gorenstein, Lyons, 1976 .
↑ Gorenstein, 1980 , p. 16.5.
↑ Thompson, 1968 , p. következmény 1.

Irodalom

Gorenstein D., Lyons R. Nem oldható véges csoportok megoldható 2-lokális alcsoportokkal // Journal of Algebra . - 1976. - T. 38 . – S. 453–522 . — ISSN 0021-8693 . - doi : 10.1016/0021-8693(76)90233-7 .
Gorenstein D. Véges csoportok. - New York: Chelsea, 1980. - ISBN 978-0-8284-0301-6 .
John G. Thompson. Nem megoldható véges csoportok, amelyeknek mindegyik helyi alcsoportja megoldható // Bulletin of the American Mathematical Society . - 1968. - T. 74 . – S. 383–437 . — ISSN 0002-9904 . - doi : 10.1090/S0002-9904-1968-11953-6 .
John G. Thompson. Nem feloldható véges csoportok, amelyeknek mindegyik helyi alcsoportja megoldható. II // Pacific Journal of Mathematics . - 1970. - T. 33 . – S. 451–536 . — ISSN 0030-8730 . - doi : 10.2140/pjm.1970.33.451 .
John G. Thompson. Nem feloldható véges csoportok, amelyeknek mindegyik helyi alcsoportja megoldható. III // Pacific Journal of Mathematics . - 1971. - T. 39 . – S. 483–534 . — ISSN 0030-8730 . - doi : 10.2140/pjm.1971.39.483 .
John G. Thompson. Nem feloldható véges csoportok, amelyeknek mindegyik helyi alcsoportja megoldható. IV // Pacific Journal of Mathematics . - 1973. - T. 48 . – S. 511–592 . — ISSN 0030-8730 . - doi : 10.2140/pjm.1973.48.511 .
John G. Thompson. Nem feloldható véges csoportok, amelyeknek mindegyik helyi alcsoportja megoldható. V // Pacific Journal of Mathematics . - 1974. - T. 50 . – S. 215–297 . — ISSN 0030-8730 . - doi : 10.2140/pjm.1974.50.215 .
John G. Thompson. Nem feloldható véges csoportok, amelyeknek mindegyik helyi alcsoportja megoldható. VI // Pacific Journal of Mathematics . – 1974b. - T. 51 . – S. 573–630 . — ISSN 0030-8730 . - doi : 10.2140/pjm.1974.51.573 .