J-homomorfizmus

A J - homomorfizmus egy homomorfizmus a speciális ortogonális csoportok homotópiás csoportjaitól a gömbök homotópiás csoportjaiig . George Whitehead Heinz Hopf konstrukciójának általánosításaként határozta meg,aki ezt a homomorfizmust az esetre építette fel. $\pi _{r}(\mathrm {SO} (q))$ $r=q+1$

Épület

A J-homomorfizmus Abel-csoportok homomorfizmusa

J\colon \pi _{r}(\mathrm {SO} (q))\to \pi _{r+q}(\mathbb {S} ^{q}),

minden egész számra definiálva . $r,q\geqslant 2$

A speciális ortogonális csoport egy eleme leképezésként tekinthető meg $\mathrm {SO} (q)$

\mathbb {S} ^{q-1}\rightarrow \mathbb {S} ^{q-1}.

Ezért a homotópiacsoport elemei a leképezés homotópiaosztályához kapcsolódnak $\pi _{r}(\mathrm {SO} (q))$

\mathbb {S} ^{r}\times \mathbb {S} ^{q-1}\rightarrow \mathbb {S} ^{q-1}.

A Hopf konstrukciót erre alkalmazva megkapjuk a leképezést

\mathbb {S} ^{r+q}=\mathbb {S} ^{r}*\mathbb {S} ^{q-1}\rightarrow S(\mathbb {S} ^{q-1 })=\mathbb {S} ^{q},

amelynek homotópia osztálya ennek az elemnek a képe a J -homomorfizmus alatt.