Integrál exponenciális függvény

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. január 1-jén felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

Az integrál exponenciális függvény egy speciális függvény , amelyet a szimbólum jelöl . $\operátornév {Ei}$

Definíció a valós számok halmazán

A következő meghatározás a leggyakoribb (lásd a táblázatot): $\operátornév {Ei}$

$\operatorname {Ei} (x)=\mathrm {vp} \int \limits _{-\infty }^{x}{\frac {e^{t}}{t}}\,\mathrm { d} t=\gamma +\operátornév {ln} |x|+\sum \limits _{n\geq 1}{\frac {x^{n}}{n!\cdot n}},\;x\ in \mathbb {R} ,\;(1)$

hol van az Euler-állandó . Az integrál az (1) főérték értelmében eltérő sorkiterjesztéssel rendelkezik pozitív és negatív x esetén, ami megnehezíti annak analitikus folytatását a komplex síkra [vagyis az (1) általánosítása komplex értékek esetére of x]. Emiatt az (1) definíció hibásnak tűnik; ehelyett célszerűbb a [nem kompatibilis az (1) ponttal] $\gamma$

Alapdefiníció

Integrál exponenciális függvény - az integrál által meghatározott speciális függvény [1]

$\operatorname {Ei} (z)=\int \limits _{-\infty }^{z}{\frac {e^{t}}{t}}\,\mathrm {d} t=\ gamma +\operátornév {ln} (-z)+\sum \limits _{n\geq 1}{\frac {z^{n}}{n!\cdot n}},\;|\arg(-z )|<\pi ,\;(2)$

Az exponenciális függvény sorozatához hasonlóan a (2) végtelen összege a komplex sík bármely pontjában konvergál. A (2)-beli integráció eredménye nem csak attól függ , hanem az integrációs úttól is, nevezetesen az határozza meg, hogy az integrációs út hányszor kerüli meg azt a pontot , amelynek közelében a (2)-beli integrandus megközelítőleg egyenlő . Így a függvény többértékű, a szinguláris pont pedig a logaritmikus elágazási pont . Akárcsak a logaritmikus függvény esetében, a függvény különböző ágai értékeinek különbsége (fix érték esetén ) a többszöröse . $z$ $t=0$ $1/t$ $\operatorname {Ei} (z)$ $z=0$ ${\megjelenítési stílus \operátornév {ln} z}$ $z$ $2\pi i$

Az alábbiakban csak a (2) főágnak megfelelő főágat (értéket) fogjuk figyelembe venni . A komplex sík hagyományos metszete (a negatív valós tengely mentén) megfelel a függvény pozitív valós tengelye mentén történő vágásának . Rögzítjük az argumentum fő ágát is: és tovább feltételezzük, hogy ez egy egyértékű analitikus függvény , amely a teljes komplex síkon definiált, kivéve a pozitív valós tengely mentén történő vágást. $\operátornév {Ei}$ $\operátornév {ln}$ ${\megjelenítési stílus \operátornév {ln} z}$ $\operatorname {Ei} (z)$ $-\pi <\operátornév {arg} z\leq \pi$ $\operátornév {Ei}$

Előfordulás az integrálok számításánál $\operátornév {Ei}$

Egy tetszőleges racionális függvény integrálja szorozva a kitevővel a végső formában a függvény és az elemi függvények alapján fejeződik ki. [egy] $\operátornév {Ei}$

Egyszerű példa egy integrál exponenciális függvényre redukáló integrálra (feltételezve, hogy ) $b>0$

$\int \limits _{0}^{+\infty }{\frac {e^{ibx}\mathrm {d} x}{x+iz))={\begin{cases}-e^{ bz}\operátornév {Ei} (-bz),&\operátornév {arg} z\not \in [\pi /2,\pi ],\\-e^{bz}\left[\operátornév {Ei} ( -bz)-2\pi i\right],&\operátornév {arg} z\in (\pi /2,\pi ).\end{cases}}\;(2)$

A (2)-ből az következik, hogy valós értékekre és $y$ $b$

$\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {x\cos bx\,\mathrm {d} x}{x^{2}+y^{2))}=-{ \frac {1}{2}}\left[e^{|by|}\operatorname {Ei} (-|by|)+e^{-|by|}\operatorname {Ei} _{1}(| by|)\right],\;(3)$

ahol van egy ún. módosított integrál exponenciális függvény [1] : $\operatorname {Ei} _{1}$

$\operatorname {Ei} _{1}(y)={\frac {1}{2}}\left[\operatorname {Ei} (y+i0)+\operatorname {Ei} (y-i0) \right]=\gamma +\operátornév {ln} y+\sum \limits _{n\geq 1}{\frac {y^{n}}{n!\cdot n}},\;y>0,\ ;\operátornév {Ei} _{1}(y)\in \mathbb {R} .\;(4)$

Valójában a (4) egybeesik az (1)-ben definiált függvénnyel, és gyakran a függvényt szimbólummal jelölik , ami hibákhoz vezethet. $\operatorname {Ei} _{1}$ $\operátornév {Ei}$

A (3) eredmény megszerzésénél az integrál értékét használtuk

$\int _{0}^{\infty }{\frac {x\sin bx\,\mathrm {d} x}{x^{2}+z^{2}}}={\frac { \pi }{2}}\operátornév {exp} [-bz\operátornév {sign} \Im z],\;b>0.$

Az integrál (3) valós argumentumok és valós függvényének tekinthető . Logikus megkövetelni, hogy egy ilyen függvényt csak valós értékekkel fejezzünk ki. Ez a követelmény egy további [a (2) pontban már meghatározott ] szimbólum bevezetését indokolja . $b$ $y$ $\operátornév {Ei}$ $\operatorname {Ei} _{1}$

A (3) eredmény könnyen általánosítható a paraméter tetszőleges (a tisztán képzeletbeli) komplex értékeire : $z$

$\int _{0}^{\infty }{\frac {x\cos bx\,\mathrm {d} x}{x^{2}+z^{2))}=-{\frac {1}{2}}\left\{e^{bz}\operátornév {Ei} (-bz)+e^{-bz}\left[\operátornév {Ei} (bz)+\pi i\operátornév { jel} \Im z\right]\right\},\;b>0,\;\Re z\neq 0.\;(5)$

A (3) képlet és az (5) beírásával megkapható . $b>0$ $y>0$ $z=y\pm i0$

Az (5) integrál megtalálható Prudnikov kézikönyvének [2] 320. oldalán , azonban az ott megadott kifejezés csak valós értékekre igaz, feltéve, hogy a függvényre az (1) definíciót használjuk. $z$ $\operátornév {Ei}$

Meg kell jegyezni, hogy veszélyes kereskedelmi számítógépes algebrai rendszerekre hagyatkozni az ilyen integrálok kiszámításához (különösen összetett paraméterértékek esetén). A jelöléssel való összetévesztés (a helyett a szimbólum használata ) miatt a kézikönyvekben sem lehet teljesen megbízni. $\operátornév {Ei}$ $\operatorname {Ei} _{1}$

Lásd még

Jegyzetek

↑ 1 2 3 Lebedev, N. N. Speciális funkciók és alkalmazásaik . - 2. - 1963. (Orosz)
↑ Prudnikov A.P. , Brychkov Yu.A. , Marichev O.I. Integrálok és sorozatok. - Szerk. 2. - M. : FIZMATLIT, 2003. - T. 1. - S. 320.561.622. — ISBN 5-9221-0323-7 .

Szótárak és enciklopédiák	Nagy orosz