ARIMA

Az ARIMA ( angolul autoregresszív integrált mozgóátlag , néha Box-Jenkins-modell, Box-Jenkins- módszertan ) egy integrált autoregresszív mozgóátlag -modell - az idősor -elemzés modellje és módszertana . Az ARMA modellek nem stacionárius idősorokhoz való kiterjesztése , amely az eredeti idősortól (ún. integrált vagy differencia-stacionárius idősorok) való bizonyos rendű eltérések felvételével stacionáriussá tehető . A modell azt jelenti, hogy a rendelési idősorok eltérései követik a modellt . $ARIMA(p,d,q)$ $d$ $ARMA(p,q)$

A modell formális meghatározása

A nem stacionárius idősorok modelljének formája a következő: $ARIMA(p,d,q)$ $X_{t}$

\triangle ^{d}X_{t}=c+\sum _{i=1}^{p}a_{i}\triangle ^{d}X_{ti}+\sum _{j=1} ^{q}b_{j}\varepsilon _{tj}+\varepsilon _{t}

hol van egy stacionárius idősor; $\varepsilon _{t}$

{\displaystyle c,a_{i},b_{j))

modell paraméterei.

{\displaystyle \triangle ^{d))

— d rendű idősor-különbség operátor (az elsőrendű különbségek d időjének egymás utáni felvétele - először az idősorból, majd az első rendű különbségekből, majd a másodrendű különbségekből stb.)

Ezt a modellt a rendszer úgy értelmezi, mint - egységgyökökkel rendelkező modell . A , a szokásos -modellek vannak. $ARMA(p+d,q)$ $d$ $d=0$ $ARMA$

Kezelői ábrázolás

A lag operátor használatával a modelladatok a következőképpen írhatók fel: $L:~Lx_{t}=x_{{t-1}}$

(1-L)^{d}X_{t}=c+(\sum _{i=1}^{p}a_{i}L^{i})(1-L)^{d} X_{t}+(1+\sum _{j=1}^{q}b_{j}L^{j})\varepszilon _{t}

vagy röviden:

{\displaystyle a(L)(1-L)^{d}X_{t}=c+b(L)\varepsilon _{t))

ahol ${\displaystyle a(L)=1-\sum _{i=1}^{p}a_{i}L^{i))$

{\displaystyle b(L)=1+\sum _{j=1}^{q}b_{j}L^{j))

Példa

Az ARIMA modell legegyszerűbb példája a jól ismert véletlenszerű sétamodell:

{\displaystyle x_{t}=x_{t-1}+\varepsilon _{t}\Rightarrow \triangle x_{t}=(1-L)x_{t}=\varepsilon _{t))

Ezért ez egy modell . $ARIMA(0;1;0)$

Integrált idősor

Az ARIMA modellek lehetővé teszik integrált vagy különbség-stacionárius idősorok modellezését ( DS-sorozat , differencia stacionárius).

Egy idősort integrált sorrendnek nevezünk (általában írt ), ha a sorrendi sorozat különbségei , azaz stacionáriusak, míg egy kisebb sorrend különbségei (beleértve a nulla sorrendet, vagyis magát az idősort is) nem stacionáriusak. egyes trendsorozatok (TS-sorozat, trendstacionárius) tekintetében. Ez különösen egy álló folyamat. $X_{t}$ $k$ $X_{t}\sim I(k)$ $k$ ${\displaystyle \triangle ^{k}x_{t))$ $én(0)$

Az idősorok integrálási sorrendje a modell sorrendje . $d$ $ARIMA(p,d,q)$

ARIMA (Box-Jenkins) módszertana

Az idősorok ARIMA megközelítése az, hogy először a sorozat stacionaritását értékelik. Különböző tesztek tárják fel az egységgyökök jelenlétét és az idősorok integrálásának sorrendjét (általában az első vagy másodrendűre korlátozódik). Továbbá szükség esetén (ha az integráció sorrendje nagyobb, mint nulla) a sorozatot a megfelelő sorrend különbségének figyelembevételével transzformáljuk, és már a transzformált modellhez is felépítünk valamilyen ARMA modellt, mivel feltételezzük, hogy az eredményül kapott folyamat stacionárius, ellentétben az eredeti nem stacionárius folyamattal (különbség-stacionárius vagy integrált rendelési folyamat ). $d$

ARFIMA modellek

Elméletileg az idősorok integrálási sorrendje nem egész, hanem tört érték lehet. Ebben az esetben törtrészesen integrált autoregresszív modellekről beszélünk – mozgóátlagról (ARFIMA, AutoRegressive Fractional Integrated Moving Average). A törtintegráció lényegének megértéséhez figyelembe kell venni az operátor kiterjesztését, amely egy hatványsorban a -edik különbséget veszi fel a töredékesek késleltetési operátorának hatványaiban ( Taylor sorozat kiterjesztése ): $d$ $d$ $d$

\triangle ^{d}=(1-L)^{d}=\sum _{k=0}^{\infty }\prod _{j=0}^{k-1}(dj) {\frac {(-1)^{k}}{k!}}L^{k}

Irodalom

Ayvazyan S.A. Alkalmazott statisztika. Az ökonometria alapjai. 2. kötet - M . : Unity-Dana, 2001. - 432 p. - ISBN 5-238-00305-6 .
Magnus Ya.R., Katyshev P.K., Peresetsky A.A. Econometrics. Kezdő tanfolyam. - M . : Delo, 2007. - 504 p. - ISBN 978-5-7749-0473-0 .
Ökonometria. Tankönyv / Szerk. Eliseeva I. I. – 2. kiadás. - M. : Pénzügy és statisztika, 2006. - 576 p. — ISBN 5-279-02786-3 .

Szótárak és enciklopédiák	nagy kínai Britannica (online)