Integrált idősorok

Az integrált idősor egy nem stacionárius idősor , amelytől bizonyos sorrendű különbségek stacionárius idősorok. Az ilyen sorozatokat differenciál-stacionáriusnak is nevezik (DS-sorozat, Difference Stationary) . Az integrált idősorra példa a véletlenszerű séta , amelyet gyakran használnak a pénzügyi idősorok modellezésére.

Definíció

Egy integrált idősor definiálásához meg kell határozni az idősorok egy osztályát, amelyet trendstacionárius sorozatoknak nevezünk ( TS -sorozat , trendstacionárius). Egy sorozatot TS -sorozatnak nevezünk , ha létezik olyan f(t) determinisztikus függvény , hogy a különbség stacionárius folyamat. Különösen a TS-sorozat tartalmazza az összes álló sorozatot. Azonban sok TS-sorozat nem helyhez kötött. A TS sorozat tartalmaz például egy lineáris (determinisztikus) trendmodellt is, ahol a modellhiba stacionárius folyamat (általában fehér zaj). $x_t$ $x_{t}-f(t)$ $x_{t}=a+bt+\varepszilon _{t}$

Egy idősort k-rendű integráltnak mondunk (általában írva ) , ha a k -edik sorrendű sorozat különbségei stacionáriusak, míg egy kisebb rendű (beleértve a nulla rendű, azaz magát az idősort is) különbségei nem TS- sorozat . Közelebbről , I(0) stacionárius folyamat. $X_{t}$ $X_{t}\sim I(k)$ $\vartriangle ^{k}x_{t}$

Példa

Vegyünk egy példát - egy véletlenszerű sétafolyamatot sodrással (drift) - egy elsőrendű integrált folyamatot $I(1)$

$x_{t}=a+x_{{t-1}}+\varepszilon _{t}$

ahol a modell véletlenszerű hibája a fehér zaj . Az idősorok első eltérései nyilvánvalóan stacionáriusak. Képzeljük el a modellt egy kicsit más formában:

$x_{t}=a+x_{{t-1}}+\varepszilon _{t}=a+a+x_{{t-2}}+\varepszilon _{{t-1}}+\varepszilon _ {t}=a+a+a+x_{{t-3}}+\varepszilon _{{t-2}}+\varepszilon _{{t-1}}+\varepszilon _{t}=.. .=x_{0}+at+\sum _{{i=1}}^{{t}}\varepszilon _{i}$

Így egy véletlenszerű séta sodródással úgy néz ki, mint egy lineáris trendmodell, egy nagyon jelentős különbséggel - a modellhiba szórása arányos az idővel, azaz idővel a végtelenbe hajlik. Ráadásul egy véletlen hiba matematikai elvárása nulla. Még ha a lineáris (determinisztikus) trend kizárásának eljárását alkalmazzuk is az idősorra, akkor is egy nem stacionárius folyamatot kapunk - egy sztochasztikus trendet. $V(\sum _{{i=1}}^{{t}}\varepsilon _{i})=t\sigma ^{2}$

Integráció és egységgyökök

Az integrált idősor fogalma szorosan összefügg az autoregresszív modellek egységgyökeivel . Az egységgyökök jelenléte az idősormodell autoregresszív komponensének karakterisztikus polinomjában azt jelenti, hogy az idősor integrálva van. Ráadásul az egységgyökök száma egybeesik az integráció sorrendjével.

Lásd még

Irodalom

Ayvazyan S.A. Alkalmazott statisztika. Az ökonometria alapjai. 2. kötet - M . : Unity-Dana, 2001. - 432 p. - ISBN 5-238-00305-6 .
Magnus Ya.R., Katyshev P.K., Peresetsky A.A. Ökonometria. Kezdő tanfolyam. - M . : Delo, 2007. - 504 p. - ISBN 978-5-7749-0473-0 .
Ökonometria. Tankönyv / Szerk. Eliseeva I.I. - 2. kiadás - M. : Pénzügy és statisztika, 2006. - 576 p. — ISBN 5-279-02786-3 .