Effektív kamatláb

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. augusztus 2-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

Az effektív kamatláb ( EIR, EIR, Effective Interest Rate ) az a kamatláb (diszkontláb), amely mellett egy pénzügyi eszközből (eszköz, kötelezettség, beruházási projekt stb.) származó cash flow diszkontált értéke megegyezik a ennek az eszköznek a jelenlegi értéke (befektetések). Az effektív kamatláb bármely időszakra meghatározható, de általában az éves effektív kamatlábról van szó.

Az EIR egy kamatos kamatláb, amely figyelembe veszi a pénz időértékét, lehetővé téve a különböző cash flow-k, eszközök, eszközök, kötelezettségek, projektek összehasonlítását.

Különböző helyzetekben különböző nevek használhatók. A kötvényeknél a lejáratig tartó hozam (YTM), befektetési projekteknél a belső megtérülési ráta (INR, IRR, Internal Rate of Return) fogalmát használják.

Az EIR módszer a pénzügyi eszközök és kötelezettségek IFRS szerinti értékelésének fő módszere (lásd IFRS 9), amikor azokat amortizált bekerülési értéken tartják nyilván. A kezdeti megjelenítéskor az instrumentum valós értéken kerül értékelésre, és az EIR meghatározására szolgál. Ezen túlmenően, az instrumentum értékét az eszközből származó pénzáramlás diszkontált értékeként határozzák meg az aktuális pillanat után ezen a kezdeti EIR-en.

Formalizált leírás

Általános meghatározás

A meghatározásnak megfelelően az S értékű pénzügyi eszköz EIR-jét (egy adott időpontban) általában az egyenlet r -ére vonatkozó megoldásként határozzák meg.

$S=\sum _{i=1}^{n}{\frac {CF_{t_{i}}}{(1+r)^{t_{i}}}}$

ahol az eszköz kifizetése az időpillanatban (az időt az aktuális pillanattól számítjuk r egységekben). $CF_{t_{i))$ $t_{i}$

Ha az EPS-t valamilyen bázisidőszakra határozzuk meg, akkor a fenti egyenletben m bázisidőszakot tartalmazó T időszak EPS-jének meghatározásához (m nem feltétlenül egész szám) a diszkonttényezők hatványaiban az időt is át kell váltani új egységekre. , illetve használata helyett . Ez egyenértékű a helyetti használattal , ezért kamatos kamatunk van, azaz $t_{i}$ $t_{i}/m$ $1+r$ ${\displaystyle (1+R)^{1/m))$

$R=(1+r)^{m}-1$

Egy kamatozó instrumentum EIR-je az eredeti összeg teljes visszafizetésével a futamidő alatt (vagy annak végén)

A következő feltételek egyidejűleg teljesüljenek a műszerre vonatkozóan:

1) a pénzügyi eszközre vonatkozó kifizetések kizárólag a tőketartozás és a fennmaradó részének kamatai visszafizetésére irányuló fizetések; 2) a kifizetések meghatározott időtartam (a továbbiakban: bázisidőszak) után történnek; 3) a szerződés szerinti névleges kamatláb változatlan a szerződés időtartama alatt (a bázisidőszaki kamatlábnál q-val jelöljük), és ez alapján számítják ki a kifizetések százalékos komponensét: a kamat erre a bázisidőszakra egyenlő a bázisidőszak eleji tőketartozás egyenlegének q-szorosának szorzata; 4) a szerződés időtartama alatt a tartozás kezdeti összege teljes mértékben visszafizetésre kerül (a konkrét adósságtörlesztési ütemezés nem számít, a tartozás a futamidő legvégén és a futamidő alatt teljes egészében törleszthető).

Kimutatható, hogy ezen feltételek mellett a bázisidőszaki effektív kamatláb megegyezik az azonos időszakra érvényes névleges kamatlábbal: . Ugyanakkor egy másik időszakra vonatkozó EIR nem egyenlő az azonos időszakra érvényes névleges kamatlábbal, hanem a kamatos kamat képletével újra kell számítani. Például az EPS m bázisidőszakra egyenlő lesz: , ami nem esik egybe az adott időszak névleges kamatlábával: $r=q$ ${\displaystyle R_{m}=(1+q)^{m))$ $Q=qm$

Bizonyíték

A bázisidőszak EPS-jét az egyenlet megoldásának r-hez viszonyított megoldásaként határozzuk meg:

S_{0}=\sum _{t=1}^{n}{\frac {CF_{t}}{(1+r)^{t}}}

Ugyanakkor a kifizetések a tőketartozás és a fennmaradó részének kamatai visszafizetését jelentik:

CF_{t}=-\Delta {S_{t}}+I_{t}=S_{t-1}-S_{t}+qS_{t-1}=(1+q)S_{t -1}-S_{t}

Ekkor az EPS megtalálásának egyenlete így fog kinézni:

S_{0}=\sum _{t=1}^{n}{\frac {(1+q)S_{t-1}-S_{t}}{(1+r)^{t }}}=\sum _{t=1}^{n}{\frac {(1+q)S_{t-1}}{(1+r)^{t}}}-\sum _{t =1}^{n}{\frac {S_{t}}{(1+r)^{t}}}={\frac {1+q}{1+r}}\sum _{t=1 }^{n}{\frac {S_{t-1}}{(1+r)^{t-1}}}-\sum _{t=1}^{n}{\frac {S_{t }}{(1+r)^{t}}}

Jelöljük a kényelem kedvéért , és figyelembe véve, hogy mit és mit (a futamidő végén vissza kell fizetni az eszközt), az EIR egyenlete a következőképpen alakul: $k={\frac {1+q}{1+r))$ $\sum _{t=1}^{n}{\frac {S_{t-1}}{(1+r)^{t-1}}}=\sum _{t=1}^ {n}{\frac {S_{t}}{(1+r)^{t}}}-{\frac {S_{n}}{(1+r)^{n}}}+S_{0 }$ $S_{n}=0$

S_{0}=k(\sum _{t=1}^{n}{\frac {S_{t}}{(1+r)^{t}}}+S_{0})- \sum _{t=1}^{n}{\frac {S_{t}}{(1+r)^{t}}}

Így megkapjuk az egyenlőséget

(1-k)S_{0}=-(1-k)\sum _{t=1}^{n}{\frac {S_{t}}{(1+r)^{t} }}

Ha akkor ez a kifejezés lehetetlen egyenlőséghez vezet: mivel az egyenlőség bal és jobb oldala nem nulla, és ellentétes előjelűek. Ezért ennek az egyetlen következménye az . Ez azt jelenti , hogy a bázisidőszaki nominális és effektív kamatláb egyenlő egymással, amit igazolni kellett. $k<>1$ ${\displaystyle S_{0}=-\sum _{t=1}^{n}{\frac {S_{t}}{(1+r)^{t))))$ $k=1$ $q=r$

Így az ilyen eszközök esetében az EIR nem egyenletek megoldásával, hanem közvetlenül a szerződés szerinti nominális kamatból és a fizetési gyakoriságból egy képlettel határozható meg. Ha a nominális éves kamatláb egyenlő Q-val, és a kifizetések egyenlő t napos időszakokban történnek, akkor az évi bázisidőszakok száma m=365/t, az éves effektív kamatláb pedig

$R=(1+Q/m)^{m}-1$

Ilyen kamatozó instrumentum például az összes szokásos hitel és betét, kivéve, ha az EIR kiszámításakor figyelembe vettek további bevételeket vagy kiadásokat. Ugyanakkor nem számít a fizetési ütemezés (járadék, differenciált, futamidő végén stb.), csak az azonos fizetési periódusok (vagy kamattőkésítés), egyéb pénzáramlás hiánya számít mint a tőketartozás visszafizetése és egyenlegének kamata.

Figyelni kell azonban arra, hogy ha a kamatot például havi alapon, egy hónap napjainak pontos száma alapján számolják, akkor formálisan a hónapok időtartama nem azonos, így a fenti feltételek nem teljesen pontosak. és ennek megfelelően a fenti képlet nem pontos. Az ezzel kapcsolatos hiba azonban általában nem jelentős, és a gyakorlatban ez sok esetben elhanyagolható.

A legegyszerűbb speciális eset: kamatozó instrumentum a futamidő végén adósságtörlesztéssel

A legegyszerűbb esetben, ha van egy S értékű (hitelösszeg, névérték) eszköz (például hitel vagy kötvény), amelyet a futamidő végén pontosan ugyanannyiban törlesztenek, amelyre kamat q kamattal halmozódik fel egy rögzített bázisidőszakra (kamatperiódus ) az instrumentum futamideje alatt, akkor közvetlenül kimutatható, hogy a bázisidőszakra vonatkozó EIR megegyezik az adott időszakra vonatkozó névleges kamatlábbal. Valójában az éves EPS egyenlete erre a bázisidőszakra a következő

$S=\sum _{i=1}^{n}{\frac {q*S}{(1+r)^{i))}+{\frac {S}{(1+r) ^{n}}}=qS{\frac {1-(1+r)^{-n}}{r}}+S(1+r)^{-n}$

Innen

$S(1-(1+r)^{-n})=qS{\frac {1-(1+r)^{-n}}{r}}$

A bal és a jobb részt csökkentve azt kapjuk, hogy q=r , azaz a bázisidőszaki EPS és az azonos időszakra érvényes nominális kamatláb egyenlő egymással. $S(1-(1+r)^{-n})$

Megjegyzendő, hogy ugyanarra a nem névértéken, hanem más piaci áron vásárolt kötvényre a fenti állítás az EPS és a bázisidőszaki nominális kamatláb egyenlőségéről már nem igaz, mivel az eredetitől eltérő összeg időszak alatt vissza kell fizetni.

Effektív kamatláb

Formalizált leírás

Általános meghatározás

Egy kamatozó instrumentum EIR-je az eredeti összeg teljes visszafizetésével a futamidő alatt (vagy annak végén)

Lásd még