Elem (kategóriaelmélet)

A kategóriaelméletben az elem (vagy pont ) fogalma általánosítja a halmaz elemének szokásos fogalmát egy tetszőleges kategóriájú objektumra. Néha lehetővé teszi a morfizmusok tulajdonságainak újrafogalmazását (például a monomorfizmus tulajdonság ), amelyeket általában univerzális tulajdonságokkal írnak le , az elemek leképezésének ismertebb kifejezéseivel. A kategóriaelméletnek ezt a megközelítését (és különösen annak használatát Yoneda lemmájában ) Grothendieck javasolta .

Definíció

Legyen C egy kategória , A és T két C objektum . Ekkor az A objektum pontjai T értékkel nyilak . Ha egy objektumot a pontjainak halmazához társítunk a T-beli értékekkel, akkor a T " változóból" a halmazok kategóriájába kerül egy függvény, amelyet az A objektum pontfüggvényének nevezünk ; Yoneda lemmája szerint a pontfunkktor az A -t C objektumaként határozza meg egészen izomorfizmusig. $p\kettőspont T\-hoz A$

A morfizmusok tulajdonságai

A morfizmusok számos tulajdonsága pontokkal írható le. Például egy f morfizmust monomorfizmusnak nevezünk , ha

Bármely g , h morfizmusra igaz .

f\circ g=f\circ h

g=h

Legyen ezeknek a morfizmusoknak a formája a C kategóriában . Ekkor g és h pontok B -ben A -beli értékekkel , tehát a monomorfizmus definíciója ekvivalens: $f\kettőspont B\-C$ $g,h\kettőspont A\-B-ig$

f monomorfizmus, ha pontokra injektív módon hat.

Az ilyen újraformulálásokat óvatosan kell elvégezni. f epimorfizmus , ha a kettős tulajdonság teljesül:

Bármely g , h morfizmusra igaz .

g\circ f=h\circ f

g=h

Legyen ezek a morfizmusok a következő formában : . A halmazelméletben az „epimorfizmus” a következőket jelentené: $f\kettőspont A\-B-ig$ $g,h\kettőspont B\-C$

Minden B pont valamilyen A pont képe f hatására .

Ez az állítás egyáltalán nem az első fordítása a pontok nyelvére, és általános esetben nem ekvivalensek. Azonban például az Abel-kategória esetében a "monomorfizmusoknak" és az "epimorfizmusoknak" olyan erős feltételeknek kell megfelelniük, hogy pontokban értelmezhetők legyenek.

Egyes kategorikus konstrukciók, például a product , szintén tartalmaznak újrafogalmazásokat. Emlékezzünk vissza, hogy ha A , B két C objektum , akkor A × B szorzatuk olyan objektum, amelyre

vannak morfizmusok , és bármely T és morfizmushoz létezik egy egyedi morfizmus , amelyre és .

p\kettőspont A\x B\-A,

q\kettőspont A\x B\-B

f\kettőspont T\A-ra,g\kettőspont T\B-re

h\kettőspont T\-ig A\time B

f=p\circ h

g=q\circ h

Ebben a definícióban f és g az A és B pontok , amelyek értéke T -ban van , míg h az A × B pont T -ben lévő értékekkel . A definíciót a következőképpen lehet újrafogalmazni:

A × B egy C objektum vetületekkel , és p és q bijekciót határoz meg az A × B pontok és az A és B pontpárok között .

p\kettőspont A\time B\-A

q\kettőspont A\x B\-B

Kapcsolat a halmazelmélettel

Abban az esetben , ha C a halmazok kategóriája , van egy "egypontos halmaz" ( terminálobjektum ) - egy szingli {1}, és az S halmaz közönséges elemei megegyeznek az S elemei értékekkel {1}. Tekinthetjük azokat a pontokat, amelyek értéke {1,2} - S elempárok , vagy S × S elemei . Ebben az esetben S -t teljesen meghatározzák a {1}-pontjai. Ez azonban korántsem mindig igaz (jelen esetben ez annak a ténynek köszönhető, hogy bármely halmaz a {1} koprodukciója ).

Jegyzetek

Barr, Michael; Wells, Charles. Topózok, hármasok és elméletek (határozatlan) . — Springer, 1985. Archiválva : 2010. augusztus 21. a Wayback Machine -nél