Riemann függvény (RFDF)

A Riemann-függvény egy példa egy olyan valós változó függvényére, amely az irracionális számok halmazán folytonos , de a racionális számok halmazán nem folytonos . Mint ilyen, fontos szerepet játszik a matematikai elemzésben [1] . Ez a Dirichlet függvény módosítása . Az orosz forrásokban Bernhard Riemann tiszteletére "Riemann-függvénynek" szokták nevezni , az angol irodalomban ennek a függvénynek nagyon sok más neve is van: Thomae függvény, pattogatott kukorica függvény, esőcsepp függvény, megszámlálható felhőfüggvény, módosított Dirichlet. függvény, a vonalzó függvény [2] .

Definíció

A Riemann-függvény egy valós argumentumhoz a következőképpen van definiálva . $R(x)$ $x$

Ha irracionális szám , akkor a függvény egyenlő nullával. Ha egy racionális szám irreducibilis törtként van ábrázolva (ahol ), akkor a függvény értéke egyenlő $x$
$x$ ${\frac {m}{n}}$ $n>0$ ${\frac {1}{n).$

Különösen, . $R(0)=1$

Tulajdonságok

A funkció korlátozott - értékeket vesz fel az intervallumban , periodikus, 1-gyel egyenlő periódussal: $R(x)$ $[0,1].$ $f(x+1)=f(x).$

A függvény mindenhol folytonos az irracionális számok halmazán, mivel a függvény határértéke minden ilyen pontban egyenlő nullával, de minden racionális pontban nem folytonos. Ráadásul minden racionális pontban a függvénynek szigorú lokális maximuma van [3] .

A Riemann-függvény sehol nem differenciálható , de Riemann bármilyen intervallumban integrálható. Ebben az esetben az integrál mindenhol nulla, mivel a függvény szinte mindenhol nulla . Vegyük észre, hogy a kapcsolódó Dirichlet-függvény nem integrálható Riemann -nal [4] .

Jegyzetek

↑ Shibinsky, 2007 , p. 24.
↑ William Dunham. A Calculus Galéria . - Princeton University Press, 2005. - 149. o . — ISBN 0-691-09565-5 .
↑ Shibinsky, 2007 , p. 62-63.
↑ Shibinsky, 2007 , p. 146-147.

Irodalom

Shibinsky VM Példák és ellenpéldák a matematikai elemzés során. oktatóanyag. - M . : Felsőiskola, 2007. - 543 p. - ISBN 978-5-06-005774-4 .

Linkek

A módosított Dirichlet-függvény . Letöltve: 2019. május 2.
Weisstein, Eric W. Dirichlet-függvény (angol) a Wolfram MathWorld webhelyén .