Véges növekmény képlete

A véges növekmény képlete , vagy a Lagrange-középérték tétel kimondja, hogy ha egy függvény folytonos egy szakaszon és egy intervallumban differenciálható , akkor van olyan pont , $f$ $[a;b]$ $(a;b)$ $c\in(a;b)$

{\frac {f(b)-f(a)}{ba}}=f'(c)

Geometriailag ezt a következőképpen lehet újrafogalmazni: a szakaszon van egy pont, ahol az érintő párhuzamos a grafikon szakasz végeinek megfelelő pontjain átmenő húrral . $[a;b]$

Mechanikai értelmezés : Legyen a pont távolsága pillanatnyilag a kiindulási helyzettől. Aztán ott van a pillanatról pillanatra megtett út , az arány az átlagos sebesség ebben az időszakban. Ez azt jelenti, hogy ha a test sebességét bármely pillanatban meghatározzuk , akkor az egy pillanatban megegyezik az ebben a szakaszban lévő átlagos értékével. $f(t)$ $t$ $f(b)-f(a)$ $t=a$ $t=b$ ${\frac {f(b)-f(a)}{ba))$ $t\in(a,b)$

Véges és infinitezimális növekmény

A „végső növekmény ” elnevezés azzal magyarázható, hogy ha a képletben a bal oldalt , a jobb oldali tényezőt pedig -vel jelöljük , akkor az ábrázolásban a képletet kapjuk: $f(b)-f(a)=f'(c)(ba)$ $\Delta y$ $(ba)$ $\Delta x$

\Delta y=f'(c)\Delta x

ami viszont már nagyon hasonlít a differenciál definíciójához :

dy=f'(x)dx

azzal a különbséggel, hogy a véges növekmény képletében van egy képlet a valódi növekmény megkeresésére , de a pontban lévő deriválton keresztül , amely valahol és között van . Ha a képletben nullázunk , akkor a határértékben [1] -et kapunk . $\Delta y$ $f'(c)$ $c$ $a$ $b$ $\Delta y=f'(c)\Delta x$ $\Delta x$ $dy=f'(x)dx$

Alkalmazások

A Lagrange-tétel néha alkalmazható a bizonytalanságok feltárására, hogy határokat találjunk.

Változatok és általánosítások

A Lagrange-féle véges növekmény-tétel az egyik legfontosabb, kulcstétel a differenciálszámítás egész rendszerében. A számítási matematikában nagyon sok alkalmazása van, és a matematikai elemzés fő tételei is ennek következményei.

A nullával egyenlő derivált intervallumon differenciálható függvény egy állandó.

Bizonyíték. Bármelyikre és létezik olyan pont , hogy . $x$ $y$ $c$ $f(y)-f(x)=f'(c)(yx)=0$

Ennélfogva mindenkire és , az egyenlőség igaz . $x$ $y$ $f(y)=f(x)$

Megjegyzés. A következő fontos monotonitási kritérium a differenciálható függvényekre hasonlóan bizonyítást nyer: Egy differenciálható függvény akkor és csak akkor nő/csökken egy szegmensen , ha a deriváltja ezen a szegmensen nemnegatív/nem pozitív. Ugyanakkor a derivált szigorú pozitivitása/negatívsága a függvény szigorú monotonitását jelenti . $f(x)$ $[a,b]$ $f'(x)$ $f(x)$

Taylor-képlet egy maradék taggal a Lagrange alakban). Ha a függvénydifferenciálhatóidő a pont szomszédságában, akkorkicsikre (vagyis azokra, amelyeknél a szakasza jelzett szomszédságban van) a Taylor-képlet érvényes: $f$ $n$ $x$ $h$ $[x,x+h]$

f(x+h)=f(x)+f'(x)h+f''(x){\frac {h^{2}}{2}}+...+f^{{(n) -1)}}(x){\frac {h^{{n-1}}}{(n-1)!}}+f^{{(n)))(x+\theta h){\frac {h^{{n}}}{n!}}

hol van valamilyen szám az intervallumból . $\theta$ $(0,1)$

Megjegyzés. Ez a következmény egyben általánosítás is. Mert , ez adja a Lagrange-tételt véges növekményre. $n=1$

Ha a változók függvénye az O pont szomszédságában kétszer differenciálható, és minden második kevert deriváltja folytonos az O pontban, akkor az egyenlőség ebben a pontban igaz: $n$ $f(x_{1},x_{2},\pontok,x_{n})$

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j))}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_ {én}}}$

Bizonyíték erre . $n=2$ Rögzítsük és vegyük figyelembe a különbségi operátorok értékeit $\Delta x$ $\Delta y$

\Delta _{x}:f(x,y)\jobbra nyíl {\frac {f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x))

és .

\Delta _{y}:f(x,y)\jobbra nyíl {\frac {f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y))

Lagrange tétele szerint vannak olyan számok , hogy $\theta _{1},\theta _{2}\in (0,1)$

\Delta _{y}\Delta _{x}f(x,y)=\Delta _{y}{\frac {\partial f}{\partial x))(x+\theta _{1}\Delta x ,y)={\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial f}{\partial x}}(x+\theta _{1}\Delta x,y+\theta _{2} \Delta y)\rightarrow {\frac {\partial }{\partial y)){\frac {\partial f}{\partial x))(x,y)

at a függvény második deriváltjainak folytonossága miatt . $(\Delta x,\Delta y)\jobbra nyíl 0$ $f(x,y)$

Hasonlóképpen bebizonyosodik, hogy . $\Delta _{x}\Delta _{y}f(x,y)\jobbra mutató {\frac {\partial }{\partial x)){\frac {\partial f}{\partial y))(x, y)$

De mivel , (amely közvetlenül ellenőrzött), ezek a határértékek egybeesnek. $\Delta _{y}\Delta _{x}f(x,y)=\Delta _{x}\Delta _{y}f(x,y)$

Megjegyzés. Ennek a képletnek a következménye a külső differenciál operátorának azonossága a differenciálformákon definiálva . $d^{2}=0$

Newton-Leibniz képlet . Ha egy függvénydifferenciálható egy szegmensen, és deriváltja Riemann integrálható ezen a szegmensen, akkor a képlet érvényes:. $f(x)$ $[a,b]$ $\int \limits _{{a}}^{{b}}f'(x)dx=f(b)-f(a)$

Bizonyíték. Legyen a szegmens tetszőleges partíciója . A Lagrange-tételt alkalmazva mindegyik szakaszon találunk egy olyan pontot , hogy . $T$ $a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<...<x_{n}=b$ $[a,b]$ $[x_{{k-1}},x_{k}]$ $\xi_k$ $f'(\xi _{k})(x_{k}-x_{{k-1}})=f(x_{k})-f(x_{{k-1}})$

Ezeket az egyenlőségeket összegezve a következőket kapjuk: $\sum \limits _{{k=1}}^{{n}}f'(\xi _{k})(x_{k}-x_{{k-1}})=\sum \limits _{ {k=1}}^{{n}}(f(x_{k})-f(x_{{k-1}}))=f(b)-f(a)$

A bal oldalon az integrál és az adott megjelölt partíció Riemann-integrálösszege látható. A partíció átmérőjének határáig átlépve megkapjuk a Newton-Leibniz képletet. $\int \limits _{{a}}^{{b}}f'(x)dx$

Megjegyzés. A Newton-Leibniz formula következménye (és általánosítása) a Stokes-formula , a Stokes-formula következménye pedig a Cauchy-féle integráltétel - az analitikus függvények elméletének (TFKP) fő tétele.

Tétel a véges növekmény becsléséről. Legyen a leképezés folytonosan differenciálható a tér konvex kompakt tartományában . Akkor . $F:\Omega \rightarrow {\mathbb {R}}^{m}$ $\Omega$ $\mathbb {R} ^{n}$ $|F(y)-F(x)|\leq \sup \limits _({\xi \in \Omega }}|DF(\xi )|\cdot |yx|$

Megjegyzés. Az olyan tételek bizonyítása, mint az inverz leképezési tétel , az implicit függvénytétel, a Cauchy-probléma megoldásának létezéséről és egyediségéről szóló tétel közönséges differenciálegyenletekre , nem teljesek a véges növekmények becslésére vonatkozó tétel alkalmazása nélkül .

Jegyzetek

↑ Nyikolaj Nyikolajevics Luzin. Differenciálszámítás / S.I. Novoselov. - 1. - Moszkva, B-62, Podsosensky per. 20: Állami Könyvkiadó "Felsőiskola", 1961. - S. 326. - 477 p.

Lásd még

Lagrange, Joseph Louis
A Cauchy-tétel ennek a tételnek a kiterjesztett változata.