Fluktuáció-disszipáció tétel

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. október 1-jén felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A fluktuáció-disszipáció tétel [1] a statisztikus fizika olyan tétele , amely egy rendszer fluktuációit ( spektrális sűrűségüket ) a disszipatív tulajdonságaival kapcsolja össze. A PDT abból a feltevésből származik, hogy a rendszer válasza egy kis külső hatásra ugyanolyan jellegű, mint a spontán fluktuációkra adott válasz.

A fluktuáció-disszipáció tétel lehetővé teszi egy termodinamikai egyensúlyi állapotban lévő rendszer molekuláris dinamikája és a rendszer dinamikus mérések során megfigyelt makroszkopikus viselkedése közötti kapcsolat kiszámítását. Így a rendszer molekuláris szintű modelljei felhasználhatók az anyagok lineáris makroszkopikus tulajdonságainak kvantitatív előrejelzésére.

A (még nem egyensúlyi) rendszerek viselkedésének eltérése a fluktuáció-disszipáció tételtől a vezető tudományos folyóiratokban való publikációk oka. [2]

Megfogalmazás

Ha a külső hatásra adott válasz úgy ábrázolható $x(t)$ $f(t)$

x(t)=\int \alpha (\tau )f(t-\tau )d\tau

vagy

{\tilde x}(\omega )={\tilde \alpha }(\omega ){\tilde f}(\omega )

akkor a "Statistical Mechanics" (L. D. Landau és E. M. Lifshits) [3] című kötet 124.9 egyenlete szerint egy termodinamikai mennyiség fluktuációinak spektrális sűrűsége az általánosított szuszceptibilitás képzeletbeli részéhez kapcsolódik a következőképpen: $S_{x}$ $\alpha ''(\omega )=\mathrm {Im} \,{\tilde {\alpha }}(\omega )$

S_{x}(\omega )=\hbar \alpha ''(\omega )\coth \left({\frac {\hbar \omega }{2k_{B}T}}\jobbra)

míg a termodinamikai mennyiség átlagos négyzetes ingadozása $\langle x^{2}\rangle$

\langle x^{2}\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\hbar \alpha ''(\omega )\coth(\hbar \omega /2k_{B}T) {\frac {d\omega }{2\pi }}

Könnyen belátható, hogy a klasszikus esetben ( ) a képlet azzá válik $k_{B}T\gg \hbar \omega$

S_{x}(\omega )={\frac {2k_{B}T}{\omega }}\alpha ''(\omega )

és kvantumban ( ) $T\jobbra nyíl 0$

S_{x}(\omega )=\hbar \alpha ''(\omega )

Érdemes megjegyezni azt is, hogy mivel egy stacionárius folyamat spektrális sűrűségének egyenletesnek kell lennie, gyakran a spektrális sűrűség helyett egyoldali spektrális sűrűséget használnak , amely csak a pozitív frekvencia féltengelyre van definiálva. Ilyen spektrális sűrűség már integrálva van től -ig . $S_{x}$ $S_{x}^{+}=2S_{x}$ $0$ $\infty$

Példák

Brown-mozgás

Einstein a Brown-mozgásról szóló tanulmányában ( 1905 ) megjegyezte, hogy ugyanazok a véletlenszerű erők, amelyek véletlenszerű sétát okoznak a Brown-mozgásban, viszkózus súrlódást is okoznak, amely a részecskékre hat, miközben azok folyadékon áthaladnak. Más szóval, a részecskék nyugalmi helyzetükhöz viszonyított koordinátáinak ingadozása ugyanolyan természetű, mint a disszipatív súrlódási erő, amelyet le kell győzni a rendszer bizonyos irányú megváltoztatásához.

Megfigyeléseiből a statisztikus fizika módszereivel egy váratlan összefüggésre következtetett a rendszer paraméterei között - az Einstein-Smoluchowski relációra :

D={\mu \,k_{B}T}

D , a diffúziós együttható és μ összefüggésben a részecske mobilitása ( μ a részecske sebességének az alkalmazott erőhöz viszonyított arányaként van kifejezve, μ = v d / F ), a Boltzmann-állandó , és T az abszolút hőmérséklet . $k_{B}$

Nyquist formula

1928-ban John B. Johnson felfedezte és Harry Nyquist elmagyarázta a termikus zaj jelenségét . Az elektromos ellenálláson átfolyó áram hiányában az RMS feszültség az ellenállástól és a mérési sávszélességtől függ : $R$ $k_{B}T$ $\Delta \nu$

\langle V^{2}\rangle =4Rk_{B}T\Delta \nu

. Következtetés

Az elektromos vezetőkben a legstabilabb ingadozások azok, amelyek állóhullámok megjelenéséhez vezetnek . Egy hosszúságú vezetőben a -tól frekvenciájú álló elektromágneses hullámok száma, a polarizációt is figyelembe véve egyenlő . Feltételezzük, hogy minden állóhullám energiája megfelel egy harmonikus oszcillátor energiájának. Ekkor a tól ig frekvenciájú állóhullámok energiája lesz . A lánc egységnyi hosszára jutó teljesítménye . A fluktuációs áramok összes energiája az ellenálláson ismét hővé alakul. A Joule-Lenz-törvény szerinti ellenállású vezető egységnyi hosszára eső teljesítményvesztesége , ahol a frekvenciájú hullámok fluktuációjának EMF középnégyzete . Megkapjuk a Nyquist-képletet [4] . $\nu$ $\nu +d\nu$ $L$ $dn(\nu )=2\cdot {\frac {2Ld\nu }{c}}$ $k_{B}T$ $\nu$ $\nu +d\nu$ $dE(\nu )=4\cdot {\frac {L}{c}}d\nu k_{B}T$ $dW={\frac {dE(\nu )}{\frac {L}{c}}}=4k_{B}Td\nu$ $R$ ${\frac {dW(\nu )}{d\nu }}={\frac {\langle {V^{2}}\rangle (\nu )}{R}}$ $\langle V^{2}\rangle$ $\nu$ $\langle V^{2}\rangle =4Rk_{B}T\Delta \nu$

Irodalom

↑ Herbert B. Callen és Theodore A. Welton. "Irverzibilitás és általános zaj", Phys. Fordulat. 83 , 34 (1951) doi : 10.1103/PhysRev.83.34
↑ Mizuno D. et al . "Nonequilibrium Mechanics of Active Cytoskeletal Networks", Science 315 , 370 (2007) doi : 10.1126/science.1134404
↑ Landau L. D. , Lifshits E. M. Statisztikai fizika. 1. rész – 5. kiadás. — M .: Fizmatlit , 2001. — 616 p. - (" Elméleti fizika ", V. kötet). — ISBN 5-9221-0054-8 .
↑ Nozdrev V.F., Senkevich A.A. Statisztikai fizika tanfolyam. - M., Felsőiskola, 1969. - p. 189