Finsler geometria

A Finsler -geometria a Riemann-féle geometria egyik általánosítása . A Finsler geometria a Finsler-metrikával rendelkező elosztókkal foglalkozik; vagyis úgy, hogy minden érintőtéren egy pontonként simán változó normát választunk.

Alapfogalmak

Legyen egy -dimenziós összefüggő sima sokaság és legyen egy érintőköteg . $M$ $n$ $TM$ $M$

A Finsler-metrika egy folytonos függvény , így bármely érintőtérre való korlátozása norma. Ebben az esetben általában a következő további tulajdonságokat feltételezzük: $M$ $F\colon TM\rightarrow [0,\infty ),$ $T_{p}M$

(Sima) is -sima függvény nem ; $F$ ${\displaystyle C^{\infty ))$ $(TM\setminus \{0\})$
(Erős konvexitás) Bármely pár esetén a bilineáris forma $(x,y)\in TM$

\mathbf {g} _{y}\colon T_{x}M\times T_{x}M\rightarrow \mathbb {R} ,

\mathbf {g} _{y}(u,v)={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t\,\partial s}} \lbrack F^{2}(x,y+su+tv)\rbrack {\Bigl |}_{s=t=0}

pozitívan meghatározott.

Jegyzetek

Ha feltesszük

g_{ij}(x,y)={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{i}\partial y^{j}} [F^{2}(x,y)]

akkor az űrlap átírható úgy $\mathbf {g} _{y}(u,v)$ ${\displaystyle \mathbf {g} _{y}(u,v)=g_{ij}(x,y)u^{i}v^{j))$

A -n definiált bármely nem nulla vektormezőhöz létezik egy Riemann-metrika a -n . $Y$ $U\subset M$ $\mathbf {g} _{Y}(u,v)$ $U$

Egy Finsler-metrikával rendelkező elosztó sima görbe esetén a hosszt egy integrál adja meg . $c:[a,b]\rightarrow M$ $M$ $F$ $L_{F}(c)=\int _{a}^{b}F(c(t),{\pont {c))(t))dt$

A Chern (vagy Rund) kovariáns differenciálási operátort a következőképpen definiáljuk: ahol , és $\nabla :T_{x}M\times \Gamma ^{\infty }(TM)\rightarrow T_{x}M$ $\nabla _{y}U:=\{dU^{i}(y)+U^{j}N_{j}^{i}(x,y)\}{\frac {\partial } {\részleges x^{i))}|_{x},$ $y\in T_{x}M$ $U\in \Gamma ^{\infty }(TM)$ $N_{j}^{i}(x,y)={\frac {\partial }{\partial y^{j))}\left[{\frac {1}{4))g^{ il}(x,y)\left\{2{\frac {\partial g_{ml}}{\partial x^{k}}}(x,y)-{\frac {\partial g_{mk}} {\partial x^{l))}(x,y)\right\}y^{m}y^{k}\jobbra].$

Az így bevezetett elosztón lévő csatlakozás általában nem affin kapcsolat. Egy kapcsolat akkor és csak akkor affin, ha a Finsler-metrika Berwald-metrika[ adja meg ] . Ez definíció szerint azt jelenti, hogy a geodéziai egyenletek ugyanolyan alakúak, mint a Riemann-geometriában, vagy a geodéziai együtthatók

$G^{i}(x,y)={\frac {1}{4}}g^{il}(x,y)\left\{2{\frac {\partial g_{jl)) {\partial x^{k))}(x,y)-{\frac {\partial g_{jk)){\partial x^{l))}(x,y)\right\}y^{j }y^{k}$ formában képviseli $G^{i}(x,y)=\Gamma _{jk}^{i}(x)y^{j}y^{k}.$

Egy vektor esetében vegyük figyelembe a függvényeket . Ekkor az átalakulások családját Riemann görbületnek nevezik. Legyen egy érintő 2-dimenziós sík. Egy vektorhoz meghatározzuk, hogy hol van egy olyan vektor, amely . nem függ a választástól . A számot a zászló zászló görbületének nevezzük . $y\in T_{x}M\backslash \{0\}$ ${\displaystyle R_{k}^{i}(y)=2{\frac {\partial G^{i}}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial ^{2}G ^{i}}{\partial x^{j}\partial y^{k}}}y^{j}+2G^{j}{\frac {\partial ^{2}G^{i}}{ \partial y^{j}\partial y^{k))}-{\frac {\partial G^{i)){\partial y^{j))}{\frac {\partial G^{j} }{\részleges y^{k))))$ $\mathbf {R} =\left\{\mathbf {R} _{y}=R_{k}^{i}(y){\frac {\partial }{\partial x^{i)) }\otimes dx^{k}|_{x}:T_{x}M\jobbra nyíl T_{x}M,y\in T_{x}M\backslash \{0\},x\in M\jobbra\ }$ $P\subset T_{x}M$ $y\in P\backslash \{0\}$ $K(P,y)={\frac {\mathbf {g} _{y}(\mathbf {R} _{y}(u),u)}{\mathbf {g} _{y} (y,y)\mathbf {g} _{y}(u,u)-\mathbf {g} _{y}(y,u)^{2}}},$ $u\in P$ ${\displaystyle P=\mathrm {span} \{y,u\))$ $K(P,y)$ $u\in P$ $K(P,y)$ ${\megjelenítési stílus (P,y)}$ $T_{x}M$

Történelem

A Finsler-tér ötlete már látható Riemann „ A geometria mögöttes hipotézisekről” (1854) című előadásában. Egy pozitív határozott másodfokú differenciálforma pozitív négyzetgyökével (a Riemann-féle metrika ) együtt Riemann figyelembe veszi a negyedrendű differenciálforma pozitív negyedik gyöke által adott metrikát is. A Finsler-metrika a következő természetes általánosítás.

Az ilyen mérőszámmal rendelkező sokaságok szisztematikus vizsgálata Paul Finsler 1918 -ban megjelent disszertációjával kezdődött , így az ilyen metrikus terek neve az ő nevéhez fűződik. Az ilyen irányú kutatási tevékenység alapját az a tényező, amely Carathéodory új geometriai módszereket vezetett be a variációs számításokba a problémák parametrikus formában történő tanulmányozására. Ezeknek a módszereknek a lényege az indikátor fogalma , és az indikátor konvexitása fontos szerepet játszik ezekben a módszerekben, mivel ez biztosítja a szükséges minimumfeltételek teljesülését a stacionárius görbék variációs problémájában.

Néhány évvel később a Finsler-geometria általános fejlődése során Finsler eredeti nézőpontjától az új elméleti módszerek felé fordult. Finsler, főként a variációszámítás fogalmaitól vezérelve, nem használta a tenzoranalízis módszereit . 1925-ben a tenzoranalízist szinte egyidejűleg alkalmazta az elméletben Sing , Taylor ( angol JH Taylor ) és Berwald ( német L. Berwald ). 1927-ben Berwald olyan általánosítást javasolt, amely nem elégíti ki a metrika, később Berwald-Moor térként ismert pozitív meghatározottságát .

A következő fordulat az elmélet fejlődésében 1934-ben következett be, amikor Cartan kiadott egy értekezést a Finsler-terekről. A kartáni megközelítés gyakorlatilag az összes későbbi, a Finsler-terek geometriájának kutatását uralta, és több matematikus is hangot adott azon nézetének, hogy az elmélet ennek eredményeként érte el végső formáját. Cartan módszere a Finsler-geometria kifejlesztéséhez vezetett a Riemann-féle geometria módszereinek közvetlen kidolgozásával.

kritizálta Cartan módszereit nevezetesen Wagner , Busemann és Rund Hangsúlyozták, hogy a Finsler-tér természetes lokális metrikája a Minkowski-metrika , míg az euklideszi metrika önkényes alkalmazása a Finsler-terek legérdekesebb jellemzőinek elvesztéséhez vezet. Ezen okok miatt az 1950-es évek elején további elméleteket terjesztettek elő, amelyek következtében észrevehető nehézségek merültek fel, Busemann megjegyezte ebben a témában: „A Finsler-geometria oldalról olyan erdő, amelyben minden növényzet tenzorokból áll ” .

Irodalom

Oroszul

G. S. Asanov. Finsler-tér egy keretmező által meghatározott algebrai metrikával - Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Probl. geom., 8, VINITI, M. , 1977, 67-87.
V. I. Bliznikas. Finsler-terek és általánosításaik - Itogi Nauki. Ser. Mat. Algebra. Nyárfa. Geom. 1967, VINITI, M. , 1969, 73-125.
V. G. Zhotikov. Bevezetés a Finsler-féle geometriába és általánosításaiba (fizikusok számára) - M .: MIPT , 2014. ISBN 978-5-7417-0462-2 .
P. K. Rasevszkij. Polimetrikus geometria, - A szeminárium előadásai a vektor- és tenzorelemzésről, azok geometriai, mechanikai és fizikai alkalmazásairól. 5. szám OGIZ, 1941.
P. K. Rasevszkij. Parciális differenciálegyenletek geometriai elmélete, - Bármelyik kiadás.
H. Rund. Finsler-terek differenciálgeometriája, - M. : "Nauka", 1981.

Angolul

PL Antonelli. Handbook of Finsler geometria, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2003.
D. Bao, SS Chern és Z. Shen. Bevezetés a Riemann-Finsler geometriába, Springer-Verlag, 2000. ISBN 0-387-98948-X .
SS Chern. A Finsler-geometria csak a Riemann-geometria a kvadratikus megszorítások nélkül – Megjegyzések: AMS, 43, 1996. szeptember.
Z Shen. Lectures on Finsler Geometry, - World Scientific Publishers, 2001. ISBN 981-02-4531-9 .
Z Shen. Permetezési és Finsler-terek differenciálgeometriája, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2001.

Linkek

A Finsler Geometry kezdőlapja – Zhongmin Shen webhelye a Finsler geometriáról. (Angol)
Nonprofit Alapítvány a Finsler Geometriai Kutatások Fejlesztéséért.
Chris Moseley (Calvin College), "Finsler and sub-Finsler geometries" (2013-as papírbemutató )
V. G. Zsotikov . „Mi a Finsler-geometria, és miért kell megérteniük a fizikusoknak” (a jelentés bemutatása)