Mechanikai egyensúly

A mechanikai egyensúly egy mechanikai rendszer  állapota , amelyben az egyes részecskéire ható erők vektorainak összege nulla, és a testre ható erők tetszőleges forgástengelyéhez viszonyított nyomatékainak összege. szintén egyenlő nullával [1] .

Egyensúlyi állapotban a test nyugalomban van (a sebességvektor egyenlő nullával) a választott vonatkoztatási rendszerben , vagy egyenletesen mozog egy egyenesben.

Ahhoz, hogy egy test egyensúlyban legyen, a testre ható erők összegének nullával kell egyenlőnek lennie.

Definíció a rendszer energiáján keresztül

A kontinuummechanikában , ahol a folytonossági hipotézist elfogadják, ez a meghatározás nem alkalmazható. Ráadásul ez a definíció nem mond semmit az egyensúly egyik legfontosabb jellemzőjéről - a stabilitásáról . Ezért a mechanikai egyensúly általánosabb és általánosabb definíciója a következő: A mechanikai egyensúly  egy rendszer azon állapota, amelyben a konfigurációs térben egy nulla potenciális energiagradiensű ponton helyezkedik el .

Mivel az energiát és az erőket alapvető függőségek kötik össze, ez a meghatározás megegyezik az elsővel. Az energia definíciója azonban kibővíthető annak érdekében, hogy az egyensúlyi helyzet stabilitásáról információt kapjunk.

Az egyensúly típusai

A testek egyensúlyának három típusa van: stabil, instabil és közömbös. Az egyensúlyt akkor nevezzük stabilnak, ha a test kis külső behatások hatására visszatér eredeti egyensúlyi állapotába. Instabilnak nevezzük az egyensúlyt, ha a test enyhe elmozdulásával (nem tér vissza eredeti helyzetébe) az egyensúlyi helyzetből a rá ható erők eredője nem nulla és az egyensúlyi helyzetből irányul. Az egyensúlyt közömbösnek nevezzük, ha a testnek az egyensúlyi helyzetből való kismértékű elmozdulásával a rá ható erők eredője nullával egyenlő [1] .

Mondjunk egy példát egy szabadságfokkal rendelkező rendszerre . Ebben az esetben az egyensúlyi helyzet elégséges feltétele a potenciális energia lokális szélsőségének jelenléte a vizsgált pontban. Mint ismeretes, egy differenciálható függvény lokális szélsőértékének feltétele az első derivált nullával való egyenlősége . Annak meghatározásához, hogy ez a pont mikor minimum vagy maximum, elemezni kell a második deriváltját. Az egyensúlyi helyzet stabilitását a következő lehetőségek jellemzik:

Instabil egyensúly

Abban az esetben, ha a második derivált negatív, a rendszer potenciális energiája a lokális maximum állapotában van. Ez azt jelenti, hogy az egyensúlyi helyzet instabil . Ha a rendszert kis távolságra elmozdítjuk, akkor a rendszerre ható erők hatására tovább halad. Vagyis amikor a test kibillent az egyensúlyból, nem tér vissza eredeti helyzetébe.

Stabil egyensúly

Abban az esetben, ha a második derivált pozitív, a rendszer potenciális energiája egy lokális minimum állapotában van. Ez azt jelenti, hogy az egyensúlyi helyzet stabil (lásd Lagrange egyensúlyi stabilitási tételét ). Ha a rendszert kis távolságra elmozdítjuk, akkor visszaáll az egyensúlyi állapotba. Az egyensúly akkor stabil, ha a test súlypontja az összes lehetséges szomszédos helyzethez képest a legalacsonyabb pozíciót foglalja el. Ilyen egyensúly mellett a kiegyensúlyozatlan test visszatér eredeti helyére. Ha egy pontban a második derivált nagyobb nullánál ( ), akkor a pont stabil egyensúlyi pont. Ennek az ellenkezője nem feltétlenül igaz: egy stabil egyensúlyi pontnak lehet egy második deriváltja, amely egyenlő nullával. Például egy függvénynek van egy stabil egyensúlyi pontja a nullán, de a nullánál a második derivált nulla.

Közömbös egyensúly

Ebben a régióban az energia nem változik, és az egyensúlyi helyzet közömbös . Ha a rendszert kis távolságra elmozdítják, az új pozícióban marad. Ha eltéríti vagy mozgatja a testet, egyensúlyban marad. A függvény lokálisan állandó.

Stabilitás sok szabadságfokkal rendelkező rendszerekben

Ha a rendszernek több szabadságfoka van, akkor kiderülhet, hogy egy adott irányú eltéréssel az egyensúly stabil, de ha az egyensúly legalább egy irányban instabil, akkor általában is instabil. A legegyszerűbb példa egy ilyen helyzetre egy „nyereg” vagy „pass” típusú egyensúlyi pont.

Egy több szabadságfokkal rendelkező rendszer egyensúlya csak akkor lesz stabil, ha minden irányban stabil.

Jegyzetek

  1. ↑ 1 2 Kabardin O. F. Fizika. - M., Felvilágosodás, 1985. - p. 32-36

Linkek