Pont Gergonne

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. május 17-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

Pont Gergonne
ΔABC háromszög, beírt körrel (kék), beírt kör középpontjával I, piros háromszöggel, amelyet a T a ,T b és T c érintőpontok és a Gergonne-pont (zöld, Ge) építettek
baricentrikus koordináták	${\frac {1}{-a+b+c)):{\frac {1}{a-b+c):{\frac {1}{a+bc))$
Trilineáris koordináták	${\frac {bc}{-a+b+c}}:{\frac {ac}{a-b+c}}:{\frac {ab}{a+bc}}$
ECT kód	X(7)
Összekapcsolt pontok
izotómiailag konjugálva	Nagel pont
További	mittenpunkt

Gergonne pont - a háromszög csúcsait a beírt kör ellentétes oldalainak érintkezési pontjaival összekötő szakaszok metszéspontja .

Általában , , vagy jelöléssel . $Ge$ $G$ $J$ $K$

Tulajdonságok

A Gergonne -pont annak a háromszögnek a Lemoine-pontja, amelyet a háromszög oldalainak a beírt körrel való érintkezési pontjai alkotnak.
A Gergonne-pont izotómiailag konjugált a Nagel-ponthoz .
A Gergonne -pont izogonálisan konjugált a beírt kör és a körülírt kör negatív homotéziájának középpontjához .
A Gergonne pont és a beírt kör középpontja közötti távolság négyzete a

$L^{2}=r^{2}-{\frac {3p^{2}r^{2}}{(4R+r)^{2}}}$

A Gergonne pont és a körülírt kör középpontja közötti távolság négyzete a

${\displaystyle L^{2}=R^{2}-{\frac {4p^{2}r(R+r)}{(4R+r)^{2))))$

A Gergonne-pont egy nyitott ortocentroid kör belsejében található , amelynek középpontja átszúrt. [egy]
A Gergonne-pont tulajdonságainak teljes készlete megtalálható Dekov cikkében. [2]

Gergonne háromszöge

Az ABC főháromszög Gergonne-háromszögét a három oldalának beírt körének három érintkezési pontja határozza meg. Jelöljük ezeket a csúcsokat T A , T B és T C néven . A T A pont az A csúcstal szemben helyezkedik el . Ezt a T A T B T C Gergonne-háromszöget az ABC háromszög érintési háromszögének is nevezik .

Tulajdonságok

Három egyenes AT A , BT B és CT C metszi egymást egy pontban - a Gergonne pontban, és Ge - X(7) -vel jelöljük .
A háromszög Gergonne-pontja a Gergonne -háromszög szimmediánjainak metszéspontja .
Hagyjuk , hogy az adott háromszögbe írt kör érintkezési pontjait szegmensekkel kössük össze, ekkor a Gergonne-háromszög alakul ki, és a kapott háromszögbe rajzoljuk be a magasságokat. Ebben az esetben a magasságok alapjait összekötő vonalak párhuzamosak az eredeti háromszög oldalaival. Ezért a Gergonne -háromszög és az eredeti háromszög derékszöge hasonló.
Gergonne háromszöge (az ABC háromszög esetében ) az ABC háromszög középpontjának részháromszöge .

Lásd még

Történelem

A Gergonne-pontot Joseph Diaz Gergonne (Joseph Diaz Gergonne, 1771. 06. 19. - 1859. 05. 04.) fedezte fel a 19. század elején .

Jegyzetek

↑ Christopher J. Bradley, Geoff C. Smith. A háromszög középpontjainak elhelyezkedése // Forum Geometricorum. - 2006. - Kiadás. 6 . - S. 57-70. .
↑ Deko Dekov. Számítógéppel generált matematika : The Gergonne Point // Journal of Computer-generated Euclidean Geometry. - 2009. - T. 1 . — P. 1–14. . Az eredetiből archiválva: 2010. november 5.