Tesztelje az optimalizálási funkciókat

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. március 23-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 14 szerkesztést igényelnek .

Az alkalmazott matematikában a mesterséges tájként ismert tesztfüggvények hasznosak az optimalizáló algoritmusok teljesítményének értékelésére, mint például:

konvergencia ráta.
Pontosság.
robusztusság .
Összteljesítményét.

Ez a cikk néhány tesztfunkciót mutat be, hogy képet adjon azokról a különböző helyzetekről, amelyekkel az ilyen problémák leküzdése során szembe kell néznie.

A cikk bemutatja az egyenlet általános képletét, a célfüggvény helyét, a változók határait és a globális minimum koordinátáit.

Funkciók tesztelése egyetlen optimalizálási célhoz

Név	Képlet	Globális minimum	Keresési módszer
Rastrigin funkció	$f(\mathbf {x} )=An+\sum _{i=1}^{n}\left[x_{i}^{2}-A\cos(2\pi x_{i})\ jobb]$ ${\text{hol: }}A=10$	$f(0,\pontok ,0)=0$	$-5.12\leq x_{i}\leq 5.12$
Ackley függvény	$f(x,y)=-20\exp \left[-0,2{\sqrt {0,5\left(x^{2}+y^{2}\right)))\right]$ $-\exp \left[0.5\left(\cos(2\pi x)+\cos(2\pi y)\right)\right]+e+20$	$f(0,0)=0$	$-5\leq x,y\leq 5$
Gömb funkció	$f({\boldsymbol {x}})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}$	$f(x_{1},\dots ,x_{n})=f(0,\dots ,0)=0$	$-\infty \leq x_{i}\leq \infty$ , $1\leq i\leq n$
Rosenbrock funkció	$f({\boldsymbol {x}})=\sum _{i=1}^{n-1}\left[100\left(x_{i+1}-x_{i}^{2} \jobbra)^{2}+\left(x_{i}-1\jobbra)^{2}\jobbra]$	${\text{Min))={\begin{cases}n=2&\rightarrow \quad f(1,1)=0,\\n=3&\rightarrow \quad f(1,1,1) =0,\\n>3&\jobbra nyíl \quad f(\zárójel {1,\pontok ,1} _{n{\text{ times}}})=0\\\end{cases}}$	$-\infty \leq x_{i}\leq \infty$ , $1\leq i\leq n$
Beal funkciója	$f(x,y)=\left(1,5-x+xy\right)^{2}+\left(2,25-x+xy^{2}\right)^{2}$ $+\left(2,625-x+xy^{3}\jobb)^{2}$	$f(3,0.5)=0$	$-4.5\leq x,y\leq 4.5$
Goldstein-ár függvény	$f(x,y)=\left[1+\left(x+y+1\right)^{2}\left(19-14x+3x^{2}-14y+6xy+3y^{ 2}\jobbra)\jobbra]$ $\left[30+\left(2x-3y\right)^{2}\left(18-32x+12x^{2}+48y-36xy+27y^{2}\right)\right]$	$f(0,-1)=3$	$-2\leq x,y\leq 2$
Booth funkció	${\displaystyle f(x,y)=\left(x+2y-7\right)^{2}+\left(2x+y-5\right)^{2))$	$f(1,3)=0$	$-10\leq x,y\leq 10$
Bukin függvény N 6	$f(x,y)=100{\sqrt {\left\|y-0.01x^{2}\right\|}}+0.01\left\|x+10\right\|.\quad$	$f(-10,1)=0$	$-15\leq x\leq -5$ , $-3\leq y\leq 3$
Mátyás funkció	$f(x,y)=0,26\left(x^{2}+y^{2}\right)-0,48xy$	$f(0,0)=0$	$-10\leq x,y\leq 10$
Levy funkció N 13	$f(x,y)=\sin ^{2}3\pi x+\left(x-1\right)^{2}\left(1+\sin ^{2}3\pi y\right )$ $+\left(y-1\right)^{2}\left(1+\sin ^{2}2\pi y\right)$	$f(1,1)=0$	$-10\leq x,y\leq 10$
Himmelblau funkció	$f(x,y)=(x^{2}+y-11)^{2}+(x+y^{2}-7)^{2}.\quad$	${\text{Min))={\begin{cases}f\left(3.0,2.0\right)&=0.0\\f\left(-2.805118,3.131312\right)&=0.0\\f\ bal(-3,779310,-3,283186\jobb)&=0,0\\f\left(3,584428,-1,848126\jobb)&=0,0\\\end{cases}}$	$-5\leq x,y\leq 5$
A hárompúpú teve funkciója	$f(x,y)=2x^{2}-1,05x^{4}+{\frac {x^{6}}{6}}+xy+y^{2}$	$f(0,0)=0$	$-5\leq x,y\leq 5$
Isom függvény	$f(x,y)=-\cos \left(x\right)\cos \left(y\right)\exp \left(-\left(\left(x-\pi \right)^{ 2}+\left(y-\pi \right)^{2}\right)\right)$	$f(\pi ,\pi )=-1$	$-100\leq x,y\leq 100$
„Kereszt a tálcán” funkció (Kereszttálca funkció)	$f(x,y)=-0,0001\left[\left\|\sin x\sin y\exp \left(\left\|100-{\frac {\sqrt {x^{2}+y^{ 2}}}{\pi }}\right\|\right)\right\|+1\right]^{0.1}$	${\text{Min))={\begin{cases}f\left(1,34941,-1,34941\right)&=-2,06261\\f\left(1,34941,1,34941\jobb)&=-2,06261\\ f\left(-1.34941,1.34941\right)&=-2.06261\\f\left(-1.34941,-1.34941\right)&=-2.06261\\\end{esetek}}$	$-10\leq x,y\leq 10$
Tojástartó funkció (tojástartó funkció)	$f(x,y)=-\left(y+47\right)\sin {\sqrt {\left\|{\frac {x}{2))+\left(y+47\right)\ jobb\|}}-x\sin {\sqrt {\left\|x-\left(y+47\right)\right\|}}$	$f(512,404.2319)=-959.6407$	$-512\leq x,y\leq 512$
Táblázatos tartó funkció	$f(x,y)=-\left\|\sin x\cos y\exp \left(\left\|1-{\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2))} {\pi ))\right\|\right)\right\|$	${\text{Min))={\begin{cases}f\left(8.05502,9.66459\right)&=-19.2085\\f\left(-8.05502,9.66459\right)&=-19.2085\\ f\left(8.05502,-9.66459\right)&=-19.2085\\f\left(-8.05502,-9.66459\right)&=-19.2085\end{esetek}}$	$-10\leq x,y\leq 10$
McCormick függvény	$f(x,y)=\sin \left(x+y\right)+\left(xy\right)^{2}-1,5x+2,5y+1$	$f(-0,54719,-1,54719)=-1,9133$	$-1.5\leq x\leq 4$ , $-3\leq y\leq 4$
Shaffer funkció N2	$f(x,y)=0,5+{\frac {\sin ^{2}\left(x^{2}-y^{2}\right)-0,5}{\left[1+0,001\ balra(x^{2}+y^{2}\jobbra)\jobbra]^{2}}}$	$f(0,0)=0$	$-100\leq x,y\leq 100$
Shaffer funkció N4	${\displaystyle f(x,y)=0,5+{\frac {\cos ^{2}\left[\sin \left(\left\|x^{2}-y^{2}\right\|\right) \jobbra]-0,5}{\left[1+0,001\left(x^{2}+y^{2}\jobbra)\jobbra]^{2))))$	$f(0.1.25313)=0.292579$	$-100\leq x,y\leq 100$
Stybinsky-Tang függvény	$f({\boldsymbol {x)))={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{4}-16x_{i}^{2}+5x_{ i}}{2}}$	$-39.16617n<f(\underbrace {-2.903534,\ldots ,-2.903534} _{n{\text{ times}}})<-39.16616n$	$-5\leq x_{i}\leq 5$ .. _ $1\leq i\leq n$

Tesztfüggvények feltételes optimalizáláshoz

Név	Képlet	Globális minimum	Keresési módszer
Rosenbrock funkció, köbösre és közvetlenre korlátozva [1]	$f(x,y)=(1-x)^{2}+100(yx^{2})^{2}$ , alávetve: $(x-1)^{3}-y+1<0{\text{ és }}x+y-2<0$	$f(1.0,1.0)=0$	$-1,5\leq x\leq 1,5$ , $-0.5\leq y\leq 2.5$
Rosenbrock funkcióját egy lemez korlátozza [2]	$f(x,y)=(1-x)^{2}+100(yx^{2})^{2}$ , alávetve: $x^{2}+y^{2}<2$	$f(1.0,1.0)=0$	$-1,5\leq x\leq 1,5$ , $-1.5\leq y\leq 1.5$
Korlátozott Mishra-Bird függvény [3] [4]	$f(x,y)=\sin(y)e^{\left[(1-\cos x)^{2}\right]}+\cos(x)e^{\left[(1 -\sin y)^{2}\right]}+(xy)^{2}$ , alávetve: $(x+5)^{2}+(y+5)^{2}<25$	$f(-3.1302468,-1.5821422)=-106.7645367$	$-10\leq x\leq 0$ , $-6.5\leq y\leq 0$
Módosított Townsend funkció [5]	$f(x,y)=-[\cos((x-0.1)y)]^{2}-x\sin(3x+y)$ , alá van vetve: ahol: t = Atan2(x,y) $x^{2}+y^{2}<\left[2\cos t-{\frac {1}{2}}\cos 2t-{\frac {1}{4}}\cos 3t -{\frac {1}{8}}\cos 4t\right]^{2}+[2\sin t]^{2}$	$f(2.0052938,1.1944509)=-2.0239884$	$-2,25\leq x\leq 2,5$ , $-2,5\leq y\leq 1,75$
Simonescu-függvény [6]	$f(x,y)=0,1xy$ , alávetve: $x^{2}+y^{2}\leq \left[r_{T}+r_{S}\cos \left(n\arctan {\frac {x}{y}}\right)\ jobbra]^{2}$ ${\text{ahol: }}r_{T}=1,r_{S}=0,2{\text{ és }}n=8$	$f(\pm 0,85586214,\mp 0,85586214)=-0,072625$	$-1,25\leq x,y\leq 1,25$

Tesztfüggvények többcélú optimalizáláshoz

Cím / Kép	Képlet	Minimális	Keresési terület
Bean és Korn funkció	${\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left(x,y\right)&=4x^{2}+4y^{2}\\f_{2}\ bal(x,y\jobb)&=\bal(x-5\jobb)^{2}+\bal(y-5\jobb)^{2}\\\end{cases}}$	${\text{st}}={\begin{cases}g_{1}\left(x,y\right)&=\left(x-5\right)^{2}+y^{2 }\leq 25\\g_{2}\left(x,y\right)&=\left(x-8\right)^{2}+\left(y+3\right)^{2}\geq 7.7\\\end{cases}}$	$0\leq x\leq 5$ , $0\leq y\leq 3$
Chakong és Haimes funkció	${\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left(x,y\right)&=2+\left(x-2\right)^{2}+\left (y-1\jobbra)^{2}\\f_{2}\left(x,y\right)&=9x-\left(y-1\right)^{2}\\\end{cases} }$	${\text{st}}={\begin{cases}g_{1}\left(x,y\right)&=x^{2}+y^{2}\leq 225\\g_{ 2}\left(x,y\right)&=x-3y+10\leq 0\\\end{cases}}$	$-20\leq x,y\leq 20$
Fonseca és Fleming funkció	${\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=1-\exp \left(-\sum _{i= 1}^{n}\left(x_{i}-{\frac {1}{\sqrt {n))}\right)^{2}\right)\\f_{2}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=1-\exp \left(-\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}+{\frac {1}{\sqrt {n}} }\jobbra)^{2}\jobbra)\\\end{cases}}$		$-4\leq x_{i}\leq 4$ , $1\leq i\leq n$
teszt funkció 4	${\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left(x,y\right)&=x^{2}-y\\f_{2}\left(x, y\right)&=-0,5xy-1\\\end{cases}}$	${\text{st}}={\begin{cases}g_{1}\left(x,y\right)&=6.5-{\frac {x}{6}}-y\geq 0\ \g_{2}\left(x,y\right)&=7,5-0,5xy\geq 0\\g_{3}\left(x,y\right)&=30-5x-y\geq 0\\ \end{cases}}$	$-7\leq x,y\leq 4$
Kurzív függvény	${\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=\sum _{i=1}^{2}\left [-10\exp \left(-0,2{\sqrt {x_{i}^{2}+x_{i+1}^{2}}}\right)\right]\\&\\f_{2} \left({\boldsymbol {x}}\right)&=\sum _{i=1}^{3}\left[\left\|x_{i}\right\|^{0.8}+5\sin \left (x_{i}^{3}\jobbra)\jobbra]\\\end{cases}}$		$-5\leq x_{i}\leq 5$ , . $1\leq i\leq 3$
Schaffer-függvény N. 1	${\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left(x\right)&=x^{2}\\f_{2}\left(x\right)&= \left(x-2\right)^{2}\\\end{cases}}$		$-A\leq x\leq A$ . A forma értékeit sikeresen kell használni . A magasabb értékek növelik a probléma nehézségét. $A$ $tíz$ $10^{5}$ $A$
Schaffer-függvény N.2	${\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left(x\right)&={\begin{cases}-x,&{\text{if }}x\leq 1\\x-2,&{\text{if }}1<x\leq 3\\4-x,&{\text{if }}3<x\leq 4\\x-4,&{\ szöveg{if }}x>4\\\end{cases}}\\f_{2}\left(x\right)&=\left(x-5\right)^{2}\\\end{cases }}$		$-5\leq x\leq 10$ .
Poloni2 célfüggvény	${\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left(x,y\right)&=\left[1+\left(A_{1}-B_{1}\ bal(x,y\jobb)\jobb)^{2}+\left(A_{2}-B_{2}\left(x,y\right)\right)^{2}\jobbra]\\f_ {2}\left(x,y\right)&=\left(x+3\right)^{2}+\left(y+1\right)^{2}\\\end{cases}}$ ${\text{where}}={\begin{cases}A_{1}&=0,5\sin \left(1\right)-2\cos \left(1\right)+\sin \left( 2\jobb)-1,5\cos \left(2\right)\\A_{2}&=1,5\sin \left(1\right)-\cos \left(1\right)+2\sin \left( 2\jobb)-0,5\cos \left(2\right)\\B_{1}\left(x,y\right)&=0,5\sin \left(x\right)-2\cos \left(x \jobbra)+\sin \left(y\jobbra)-1,5\cos \left(y\jobbra)\\B_{2}\left(x,y\jobbra)&=1,5\sin \left(x\jobbra) )-\cos \left(x\right)+2\sin \left(y\right)-0.5\cos \left(y\right)\end{cases}}$		$-\pi \leq x,y\leq \pi$
Zister-Dieb-Teri függvény N. 1	${\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=x_{1}\\f_{2}\left({ \boldsymbol {x}}\right)&=g\left({\boldsymbol {x}}\right)h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left ({\boldsymbol {x}}\right)\right)\\g\left({\boldsymbol {x}}\right)&=1+{\frac {9}{29}}\sum _{i= 2}^{30}x_{i}\\h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right )&=1-{\sqrt {\frac {f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)}{g\left({\boldsymbol {x}}\right)))}\\ \end{cases}}$		$0\leq x_{i}\leq 1$ , . $1\leq i\leq 30$
Zister-Dieb-Teri függvény N. 2	${\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=x_{1}\\f_{2}\left({ \boldsymbol {x}}\right)&=g\left({\boldsymbol {x}}\right)h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left ({\boldsymbol {x}}\right)\right)\\g\left({\boldsymbol {x}}\right)&=1+{\frac {9}{29}}\sum _{i= 2}^{30}x_{i}\\h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right )&=1-\left({\frac {f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)}{g\left({\boldsymbol {x}}\right)))\right) ^{2}\\\end{cases}}$		$0\leq x_{i}\leq 1$ , . $1\leq i\leq 30$
Zister-Dieb-Terin függvény N. 3	${\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=x_{1}\\f_{2}\left({ \boldsymbol {x}}\right)&=g\left({\boldsymbol {x}}\right)h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left ({\boldsymbol {x}}\right)\right)\\g\left({\boldsymbol {x}}\right)&=1+{\frac {9}{29}}\sum _{i= 2}^{30}x_{i}\\h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right )&=1-{\sqrt {\frac {f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)}{g\left({\boldsymbol {x}}\right)))}-\ left({\frac {f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)}{g\left({\boldsymbol {x}}\right)))\right)\sin \left(10 \pi f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)\end{cases}}$		$0\leq x_{i}\leq 1$ , . $1\leq i\leq 30$
Zister-Dieb-TeriN funkció. négy	${\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=x_{1}\\f_{2}\left({ \boldsymbol {x}}\right)&=g\left({\boldsymbol {x}}\right)h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left ({\boldsymbol {x}}\right)\right)\\g\left({\boldsymbol {x}}\right)&=91+\sum _{i=2}^{10}\left(x_ {i}^{2}-10\cos \left(4\pi x_{i}\right)\right)\\h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right) ,g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)&=1-{\sqrt {\frac {f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)}{g\ bal ({\boldsymbol {x}}\right)}}}\end{cases}}$		$0\leq x_{1}\leq 1$ . _ $-5\leq x_{i}\leq 5$ $2\leq i\leq 10$
Zister-Dieb-Teri függvény N. 6	${\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=1-\exp \left(-4x_{1}\right )\sin ^{6}\left(6\pi x_{1}\right)\\f_{2}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=g\left({\boldsymbol {x }}\jobbra)h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)\\g\left( {\boldsymbol {x}}\right)&=1+9\left[{\frac {\sum _{i=2}^{10}x_{i}}{9}}\jobbra]^{0.25} \\h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)&=1-\left({\ frac {f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)}{g\left({\boldsymbol {x}}\right)}}\right)^{2}\\\end{cases }}$		$0\leq x_{i}\leq 1$ , . $1\leq i\leq 10$
Winnet funkció	${\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left(x,y\right)&=0,5\left(x^{2}+y^{2}\right) +\sin \left(x^{2}+y^{2}\right)\\f_{2}\left(x,y\right)&={\frac {\left(3x-2y+4\ jobb)^{2}}{8}}+{\frac {\left(x-y+1\right)^{2}}{27}}+15\\f_{3}\left(x,y \right)&={\frac {1}{x^{2}+y^{2}+1}}-1,1\exp \left(-\left(x^{2}+y^{2}\ jobb)\jobb)\\\end{esetek}}$		$-3\leq x,y\leq 3$ .
Osyzki és Kundu funkciója	$F_{1}(x)=-25\left(x_{1}-2\right)^{2}-\left(x_{2}-2\right)^{2}$ $-\left(x_{3}-1\right)^{2}-\left(x_{4}-4\right)^{2}-\left(x_{5}-1\right) ^{2}$ ${\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=F_{1}(x)\\f_{2}\ bal ({\boldsymbol {x}}\right)&=\sum _{i=1}^{6}x_{i}^{2}\\\end{cases}}$	${\text{st}}={\begin{cases}g_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=x_{1}+x_{2}-2\geq 0 \\g_{2}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=6-x_{1}-x_{2}\geq 0\\g_{3}\left({\boldsymbol {x} }\right)&=2-x_{2}+x_{1}\geq 0\\g_{4}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=2-x_{1}+3x_{ 2}\geq 0\\g_{5}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=4-\left(x_{3}-3\right)^{2}-x_{4}\ geq 0\\g_{6}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=\left(x_{5}-3\right)^{2}+x_{6}-4\geq 0\ vége{esetek}}$	$0\leq x_{1},x_{2},x_{6}\leq 10$ , , . $1\leq x_{3},x_{5}\leq 5$ $0\leq x_{4}\leq 6$
CTP1 függvény (2 változó)	${\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left(x,y\right)&=x\\f_{2}\left(x,y\right)&= \left(1+y\right)\exp \left(-{\frac {x}{1+y}}\right)\end{cases}}$	${\text{st}}={\begin{cases}g_{1}\left(x,y\right)&={\frac {f_{2}\left(x,y\right)} 0.858\exp \left(-0.541f_{1}\left(x,y\right)\right)}}\geq 1\\g_{1}\left(x,y\right)&={\frac {f_{2}\left(x,y\right)}{0,728\exp \left(-0,295f_{1}\left(x,y\right)\right)}}\geq 1\end{cases} }$	$0\leq x,y\leq 1$ .
Constr-Ex probléma	${\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left(x,y\right)&=x\\f_{2}\left(x,y\right)&= {\frac {1+y}{x}}\\\end{cases}}$	${\text{st}}={\begin{cases}g_{1}\left(x,y\right)&=y+9x\geq 6\\g_{1}\left(x,y \right)&=-y+9x\geq 1\\\end{cases}}$	$0.1\leq x\leq 1$ , $0\leq y\leq 5$

Lásd még

Irodalom

Pantelejev A. V., Metlitskaya D. V., E. A. Aleshina Globális optimalizálás módszerei. Metaheurisztikus stratégiák és algoritmusok // M.: Vuzovskaya kniga. 2013. 244 p. ISBN 978-5-9502-0743-3
Sergienko AB Tesztfunkciók a globális optimalizáláshoz.

Linkek

Többváltozós optimalizálási algoritmusok tesztelése

Jegyzetek

↑ Simionescu, PA (2002. szeptember 29.–október 2.). Új fogalmak az objektív függvények grafikus megjelenítésében (PDF) . ASME 2002 International Design Engineering Technical Conference és Computers and Information in Engineering Conference. Montreal, Kanada. pp. 891-897. Archivált (PDF) az eredetiből ekkor: 2017-01-08 . Letöltve: 2017. január 7 . Elavult használt paraméter |deadlink=( súgó )
↑ Korlátozott nemlineáris probléma megoldása - MATLAB & Simulink . www.mathworks.com . Letöltve: 2017. augusztus 29. Az eredetiből archiválva : 2017. augusztus 29. (határozatlan)
↑ Madárprobléma (Korlátozott) | Phoenix Integration (nem elérhető link) . wayback.archive.org . Letöltve: 2017. augusztus 29. Az eredetiből archiválva : 2016. december 29. (határozatlan)
↑ Mishra, Sudhanshu. Néhány új tesztfüggvény a taszító részecskeraj módszer globális optimalizálásához és teljesítményéhez (angol) // MPRA Paper : Journal. - 2006. Archiválva : 2018. november 4.
↑ Townsend, Alex Korlátozott optimalizálás a Chebfunban . chebfun.org (2014. január). Letöltve: 2017. augusztus 29. Az eredetiből archiválva : 2017. augusztus 29. (határozatlan)
↑ Simionescu , PA Számítógéppel segített grafikus és szimulációs eszközök AutoCAD felhasználók számára . — 1. — Boca Raton, FL: CRC Press , 2014. — ISBN 978-1-4822-5290-3 .