Lifshitz elmélet

A Lifshitz-elmélet van der Waals és Casimir fluktuációs erőinek általános elmélete . Az elmélet fő eredménye az elektromágneses tér szabadenergiájának képlete , amely lehetővé teszi az anyagfelületek között a fluktuációs erők hatására fellépő nyomás elérését. Lifshitz elméletében a közeg klasszikus , az elektromágneses tér pedig kvantum . Az elméletet Jevgenyij Mihajlovics Lifshitz szovjet fizikus dolgozta ki 1956-ban.

Lifshitz képlete

Az energia képlete nulla hőmérsékleten

Az energia két azonos síkpárhuzamos lemez közötti távolság függvényében:

E(a)={\frac {\hbar }{4\pi ^{2}}}\int _{0}^{\infty }k_{\perp }dk_{\perp }\int _{ 0}^{\infty }d\xi \left\{\ln[1-r_{\textrm {TM}}^{2}(i\xi ,k_{\perp })e^{-2aq}]+ \ln[1-r_{\textrm {TE}}^{2}(i\xi ,k_{\perp })e^{-2aq}]\right\}

(egy)

ahol . Itt látható az elektromágneses mező hullámvektorának vetülete a lemez felületi síkjára, a képzeletbeli frekvencia, a fénysebesség , a redukált Planck-állandó . Az anyag tulajdonságait a reflexiós együtthatókon keresztül veszik figyelembe - és . A reflexiós együtthatókat a Fresnel-képlet adja meg : ${\displaystyle q^{2}=q^{2}(i\xi ,k_{\perp })=k_{\perp }^{2}+\xi ^{2}/c^{2))$ $k_{\perp }$ $\xi$ $c$ $\hbar$ $r_{\textrm {TE))$ $r_{\textrm {TM}}$

r_{\textrm {TM}}(i\xi ,k_{\perp })={\frac {\epsilon (i\xi )q(i\xi ,k_{\perp })-k(i \xi ,k_{\perp })}{\epsilon (i\xi )q(i\xi ,k_{\perp })+k(i\xi ,k_{\perp })))),\quad r_ { \textrm {TE}}(i\xi ,k_{\perp })={\frac {q(i\xi ,k_{\perp })-k(i\xi ,k_{\perp })}{ q (i\xi ,k_{\perp })+k(i\xi ,k_{\perp ))))),

(2)

ahol . $k^{2}=k^{2}(i\xi ,k_{\perp })=k_{\perp }^{2}+\epsilon (i\xi )\xi ^{2}/ c^{2}$

A nulla hőmérsékletű nyomás képlete

Nyomás a két azonos síkpárhuzamos lemez közötti távolság függvényében:

P(a)=-{\frac {\hbar }{2\pi ^{2))}\int _{0}^{\infty }k_{\perp }dk_{\perp }\int _ {0}^{\infty }d\xi \;q\left\{[r_{\textrm {TM}}^{-2}(i\xi ,k_{\perp })e^{2aq}-1 ]^{-1}+[r_{\textrm {TE}}^{-2}(i\xi ,k_{\perp })e^{2aq}-1]^{-1}\right\}

(3)

Az alkalmazott jelölést fentebb leírtuk.

Képlet szabad energiához tetszőleges hőmérsékleten

Szabadenergia a hőmérséklet és a két különböző sík-párhuzamos lemez közötti távolság függvényében:

{\mathcal {F}}(a,T)={\frac {k_{\mathrm {B} }T}{2\pi }}\sum _{l=0}^{\infty }\ !{\text{ }}^{'}\int _{0}^{\infty }k_{\perp }dk_{\perp }\left\{\ln[1-r_{\textrm {TM}}^ {(1)}(i\xi _{l},k_{\perp })r_{\textrm {TM}}^{(2)}(i\xi _{l},k_{\perp })e ^{-2aq_{l}}]+\ln[1-r_{\textrm {TE}}^{(1)}(i\xi _{l},k_{\perp })r_{\textrm {TE }}^{(2)}(i\xi _{l},k_{\perp })e^{-2aq_{l}}]\right\}

(négy)

itt az összeg előjelében lévő prím a sorozat nullatagjának szorzóját jelöli, a reflexiós együtthatónál lévő 1 és 2 index az első és a második lemezt jelöli, a Boltzmann-állandó , , és a Matsubara-frekvenciák, amelyeket a kifejezés ad meg $1/2$ $k_{\mathrm {B} }$ $q_{l}^{2}=q^{2}(i\xi _{l},k_{\perp })=k_{\perp }^{2}+\xi _{l}^ {2}/c^{2}$ $\xi _{l}$

\xi _{l}=2\pi {\frac {k_{\mathrm {B} }T}{\hbar }}l

(5)

A nyomás képlete tetszőleges hőmérsékleten

Nyomás a hőmérséklet és a két különböző sík-párhuzamos lemez közötti távolság függvényében:

P(a,T)=-{\frac {k_{\mathrm {B} }T}{\pi }}\sum _{l=0}^{\infty }\!{\text{ } }^{'}\int _{0}^{\infty }q_{l}k_{\perp }dk_{\perp }\left\{\left[{\frac {e^{2aq_{l))} {r_{\textrm {TM}}^{(1)}(i\xi _{l},k_{\perp })r_{\textrm {TM}}^{(2)}(i\xi _{ l},k_{\perp })}}-1\jobbra]^{-1}+\left[{\frac {e^{2aq_{l}}}{r_{\textrm {TE}}^{( 1)}(i\xi _{l},k_{\perp })r_{\textrm {TE}}^{(2)}(i\xi _{l},k_{\perp }}))) - 1\jobbra]^{-1}\jobbra\}

(6)

Az alkalmazott jelölést fentebb leírtuk.

Jegyzetek

Lásd még

Irodalom

M. Bordag, G. L. Klimchitskaya, U. Mohideen, V. M. Mostepanenko. Előrelépések a Kázmér-effektusban. – 2009.