Kölcsönösségi tétel

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2019. november 27-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A reciprocitás tétele egy sor olyan kapcsolódó tétel neve, amelyek leírják az időharmonikus elektromos áramsűrűségek (források) és a kialakuló elektromágneses mezők kölcsönös változását a Maxwell-egyenletekben lineáris izotróp és nem girotróp közeg esetén.

Valószínűleg a leghíresebb és legáltalánosabb ilyen tétel a Lorentz-lemma (és speciális esetei, mint például a Rayleigh–Carson-tétel ), amelyet Hendrik Lorentz bizonyított 1896-ban, Rayleigh és Helmholtz hasonló eredményei után , hanghullámokra és fényre alkalmazva. illetőleg. Egyszerűen fogalmazva, a lemma megállapítja, hogy a váltakozó áram és az általa generált elektromos tér közötti kapcsolat változatlan marad, ha megváltoztatjuk az áram folyási pontjának helyét és azt a pontot, ahol a mezőt megfigyeljük.

Lorenz lemmája

Egy sűrűségű áram generáljon elektromos és mágneses teret , míg mindhárom mennyiség az idő szögfrekvenciájú harmonikus függvénye , azaz időfüggésüket függvény írja le . Hozzon létre egy másik , azonos szögfrekvenciájú harmonikus áramot elektromos és mágneses terek és . A Lorentz-lemma szerint, ha a környezet kielégít bizonyos természeti feltételeket, akkor bármely térfogatot határoló felületre a következő igaz: ${\displaystyle \mathbf {J} _{1))$ ${\displaystyle \mathbf {E} _{1))$ $\mathbf {H} _{1}$ $\omega$ $\exp(-i\omega t)$ ${\displaystyle \mathbf {J} _{2))$ $\omega$ ${\displaystyle \mathbf {E} _{2))$ ${\displaystyle \mathbf {H} _{2))$ $S$ $V$

\int _{V}\left[\mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}-\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _ {2}\right]dV=\oint _{S}\left[\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}-\mathbf {E} _{2}\times \ mathbf {H} _{1}\right]\cdot \mathbf {dS} .

Ez az állítás differenciális formában is megfogalmazható ( a Gauss-Osztrogradszkij-tétel szerint ) [1] :

\mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}-\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}=\nabla \cdot \ balra[\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}-\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1}\right].

Az adott általánosított állításformát általában számos speciális esetre leegyszerűsítik. Különösen általában azt feltételezik, hogy és lokalizáltak (azaz ezeknek a függvényeknek mindegyike kompakt támogatással rendelkezik ), és hogy a hullámok amplitúdója a végtelenben nulla. Ebben az esetben a területintegrál egyenlő lesz nullával, és a lemma: ${\displaystyle \mathbf {J} _{1))$ ${\displaystyle \mathbf {J} _{2))$

\int \mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}\,dV=\int \mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2 }\,dV.

Ezt az eredményt néha Rayleigh–Carson-tételnek is nevezik . A képlet gyakran még inkább leegyszerűsödik, ha pontdipólus forrásokat vesszük figyelembe. Ebben az esetben az integrál eltűnik, és az eredmény egyszerűen az elektromos tér és az áramok megfelelő dipólusmomentuma szorzata. Az elhanyagolható vékony vezetékeknél viszont az egyik vezeték áramának szorzatát kapjuk a másik vezeték feszültségével, és fordítva.

Egy másik speciális esetben, amikor a kötet teljes egészében mindkét lokalizált forrást tartalmazza (vagy ha egyik forrást sem tartalmazza), a lemma a következő lesz: $V$ $V$

\oint _{S}(\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2})\cdot \mathbf {dS} =\oint _{S}(\mathbf {E } _{2}\times \mathbf {H} _{1})\cdot \mathbf {dS} .

Lásd még

Irodalom

Landau L. D., Lifshitz E. M. Folyamatos közeg elektrodinamikája. - M .: Gostekhizdat, 1957. - 532 p. - (Elméleti fizika).
Ronold W. P. King . Alapvető elektromágneses elmélet (Dover: New York, 1963). §IV.21.
C. Altman és K. Such . Kölcsönösség, térbeli leképezés és időfordítás az elektromágnesekben (Kluwer: Dordrecht, 1991).
H. A. Lorentz . "Poynting tétele az elektromágneses tér energiájáról és két általános állítás a fény terjedésére vonatkozóan" (nem elérhető link) Amsterdammer Akademie der Wetenschappen 4 p. 176 (1896).
RJ Potton . "Reciprocity in optics", Reports on Progress in Physics 67 , 717-754 (2004). (Egy áttekintő cikk a téma történetéről.)
JR Carson . "A reciprok tétel általánosítása" Bell System Technical Journal 3 (3), 393-399 (1924). Szintén JR Carson, "The reciprocal energy theorem", uo . 9 (4), 325-331 (1930).
Igen. N. Feld . "A kvadratikus lemmáról az elektrodinamikában" Szov. Phys-Dokl. 37 , 235-236 (1992).
C.-T. Tai . "Kiegészítő reciprocitási tételek az elektromágneses elméletben" IEEE Trans. Antenna kellékek. 40 (6), 675-681 (1992).
Wolfgang KH Panofsky és Melba Phillips. Klasszikus elektromosság és mágnesesség. (Addison-Wesley: Reading, MA, 1962).

Jegyzetek

↑ Semenov N.A. Lorentz Lemma. Kölcsönösségi tételek // Műszaki elektrodinamika . - Moszkva: "Kommunikáció", 1973. - S. 150. - 480 p.