Holevo tétele

A Holevo-tétel fontos korlátozó tétel a kvantumszámítástechnikában , amely a fizika és a számítástechnika interdiszciplináris területe . Néha Holevo -korlátnak is nevezik , mert a tétel felső korlátot szab a kvantumállapotról megismerhető információ mennyiségére (elérhető információ). A tételt Alekszandr Szemjonovics Holevo publikálta 1973-ban.

Bevezetés

A kvantuminformáció-elmélet más fogalmaihoz hasonlóan könnyebb megérteni a probléma lényegét a két ember közötti kommunikáció példáján. Tegyük fel, hogy van Alice és Bob . Alice-nek van egy klasszikus X valószínűségi változója , amely felveheti az {1, 2, …, n } értékeket a megfelelő valószínűségekkel . Alice elkészít egy kvantumállapotot , amelyet a halmazból kiválasztott sűrűségmátrix képvisel , és átadja ezt az állapotot Bobnak. Bob célja X értékének megtalálása , ami az állapot mérésén keresztül történik , amely a klasszikus eredményt adja, Y -val jelölve . Ebben az összefüggésben a rendelkezésre álló információ mennyisége, vagyis az az információmennyiség, amelyet Bob az X változón keresztül meg tud szerezni, az X és Y valószínűségi változók közötti kölcsönös információ I ( X : Y ) maximális értéke az összes lehetséges mérés során, amelyet Bob tud készíts [1] . $\{p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}}\}$ $\rho _{X}$ ${\displaystyle \{\rho _{1},\rho _{2},\dots \rho _{n}\))$ $\rho _{X}$

Jelenleg nem ismert képlet a rendelkezésre álló információk kiszámítására. Számos felső korlát létezik azonban, amelyek közül a legismertebb a Holevo-korlát, amelyet a következő tétel fejez ki [1] .

tétel állítása

Legyen vegyes állapotok halmaza, és ezek közül a valószínűségi eloszlás szerint kivont állapotok egyike . ${\displaystyle \{\rho _{1},\rho _{2},\dots ,\rho _{n}\))$ $\rho _{X}$ $P=\{p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}}\}$

Most minden POVM elemekkel leírt mérésnél ( pozitív operátor értékű mérték , pozitív operátoros mérték ) és a következő napon végzett méréseknél az X változóból Y mérési eredmény formájában elérhető információ mennyisége felülről az alábbiak szerint korlátozva van: $\{E_{Y}\}$ $\rho =\sum _{X}p_{X}\rho _{X}$

I(X:Y)\leqslant S(\rho )-\sum _{i}p_{i}S(\rho _{i})

hol ; a Neumann-entrópia . ${\displaystyle \rho =\sum _{i}p_{i}\rho _{i))$ $S(\cdot )$

Az egyenlőtlenség jobb oldalán lévő értéket Holevo információnak vagy Holevo értéknek χ nevezzük :

\chi :=S(\rho )-\sum _{i}p_{i}S(\rho _{i})

Bizonyítás

Ennek bizonyítására vegyünk három kvantumrendszert , melyeket . Ugyanakkor előkészítésnek , - Alice által előkészített és Bobnak továbbított kvantumállapotnak, valamint - Bob kapott információinak mérési eszközének tekinthető. $P,Q,M$ $P$ $K$ $M$

Egy összetett rendszer kezdetben olyan állapotban van $P\otimes Q\otimes M$

\rho ^{PQM}:=\sum _{x}p_{x}|x\rangle \langle x|\otimes \rho _{x}\otimes |0\rangle \langle 0|

Alice állapotát úgy tekinthetjük, mintha Alice-nek egy valószínűségi változó értéke lenne . Ekkor az előkészítési állapot egy kevert állapot , amelyet a sűrűségmátrix ír le , a Bobnak átadott kvantumállapot pedig a , és Bob mérőműszerei a kezdeti vagy tétlen állapotban vannak . $P$ $x$ $x$ $\sum _{x}p_{x}|x\rangle \langle x|$ $\sum _{x}p_{x}\rho _{x}$ $|0\rangle$

A kvantuminformációelmélet ismert eredményeinek felhasználása[ mi? ] megjeleníthető[ hogyan? ] hogy

S(P';M')\leqslant S(P;Q)

Ezenkívül néhány algebrai számítás után meg lehet mutatni[ hogyan? ] , ami ekvivalens az [1] tétel kijelentésével .

Jegyzetek

Lényegében a Holevo-korlát azt bizonyítja, hogy n qubit esetén bár több (klasszikus) információt tudnak "hordani" a kvantum-szuperpozíciónak köszönhetően, a kinyerhető , azaz a gyakorlatban megszerezhető klasszikus információ mennyisége nem haladja meg az n klasszikust (azaz, nem kódolt kvantum) bitek . Ez két okból is meglepő. :

a kvantumszámítás gyakran sokkal erősebb, mint a hagyományos számítástechnika, hogy különösek azok az eredmények, amelyek azt mutatják, hogy csak csekély mértékben jobbak, vagy még rosszabbak, mint a hagyományos technikák;
komplex számok szükségesek egy qubit kódolásához, amely csak n bitet képvisel. $2^{n}$

Lásd még

Ultra-sűrű kvantumkódolás

Jegyzetek

↑ 1 2 3 Nielsen, Chuang, 2000 .

Irodalom

Holevo A.S. A kvantumkommunikációs csatornán továbbított információ mennyiségének határai // Az információátvitel problémái. - 1973. - T. 9 . - S. 177-183 .
Michael A. Nielsen, Isaac L. Chuang. 12.1.1 szakasz - (12.6) egyenlet // Kvantumszámítás és kvantuminformáció (angol) . - Cambridge, Egyesült Királyság: Cambridge University Press, 2000. - 531. o . - ISBN 978-0-521-63235-5 .
Mark M. Wilde (2011), From Classical to Quantum Shannon Theory, arΧiv : 1106.1445v2 [quant-ph]. Lásd a 11.6. szakaszt. Holevo tételét a 11.9.1. gyakorlatban mutatjuk be a 288. oldalon.

kvantuminformatika

Általános fogalmak

kvantumkommunikáció

kvantumcsatorna
- kvantumhálózat
kvantumkriptográfia
- Kvantumkulcs-elosztás
A kvantumenergia teleportálása
kvantum teleportáció
Ultra-sűrű kvantumkódolás
LOCC
kvantum desztilláció

Kvantum algoritmusok

kvantum szimulátor
Deutsch-Yozhi algoritmus
Bernstein-Wazirani algoritmus
Grover algoritmusa
Kvantum Fourier transzformáció
Shor algoritmusa
Simon problémája
Kvantumfázis-becslési algoritmus
Kvantumszámítási algoritmus
kvantumlágyítás
Algoritmikus hűtés
Kvantumalgoritmus lineáris egyenletrendszer megoldására
Amplitúdó erősítés

Kvantumkomplexitás elmélet

Turing kvantumgép
EQP
BQP
QMA
PostBQP
QIP

Kvantum számítástechnikai modellek

kvantumkör
- kvantumkapu
Egyoldalas kvantumszámítógép
- fürt
Adiabatikus kvantumszámítás
Topológiai kvantumszámítógép

Dekoherencia megelőzés

Kvantumhibák korrekciója
Stabilizációs kódok
Stabilizációs formalizmus
Kvantumkonvolúciós kód

Fizikai megvalósítások

kvantumoptika	Kavitációs kvantumelektrodinamika Kontúrkvantumelektrodinamika Lineáris optikán alapuló kvantumszámítás KLM protokoll Bozonikus mintavétel
szuperhideg atomok	Elnyelt ion kvantumszámítógép Optikai rács
hát alapú	Mágneses magrezonancián alapuló kvantumszámítógép Kane kvantumszámítógépe Veszteséges kvantumszámítógép - DiVincenzo NV központ
Szupravezető kvantumszámítógépek	töltés qubit streaming qubit Fázis qubit Transmon